2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)-第七章-第1讲-直线的方程

第七章解析几何第1讲直线的方程1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素．2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．3．掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角α，叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为________．(2)倾斜角的取值范围是____________．0°[0，π)2．直线的斜率(1)定义：当α≠90°时,一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率通常用小写字母k表示，即k＝tanα.当α＝90°时，直线没有斜率．(2)经过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为____________．k＝y2－y1x2－x1名称方程适用范围点斜式y－y1＝k(x－x1)不含垂直于x轴的直线斜截式____________不含垂直于x轴的直线两点式不含垂直于坐标轴的直线截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)平面直角坐标系内的直线都适用3．直线方程的五种形式y＝kx＋by－y1y2－y1＝x－x1x2－x1(x1≠x2，y1≠y2)xa＋yb＝1(ab≠0)x＝x1y＝y14.过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程(1)若x1＝x2，且y1≠y2时，则直线垂直于x轴，方程为__________________．(2)若x1≠x2，且y1＝y2时，则直线垂直于y轴，方程为__________________．(3)若x1≠x2，且y1≠y2时，直线方程为y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1.5．线段的中点坐标公式若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则x＝，y＝.x1＋x22y1＋y22CA1．(教材改编题)直线x＋3y＋m＝0(m∈k)的倾斜角为()A．30°B．60°C．150°D．120°2．(教材改编题)已知直线l过点P(－2,5)，且斜率为－34，则直线l的方程为()A．3x＋4y－14＝0B．3x－4y＋14＝0C．4x＋3y－14＝0D．4x－3y＋14＝03．已知点A(1,2)，B(3,1)，则线段AB的垂直平分线的方程为()BA．4x＋2y＝5C．x＋2y＝5B．4x－2y＝5D．x－2y＝54．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为()BA．－1B．1C．3D．－35．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则1a＋1b的值等于________．12考点1直线的倾斜角和斜率例1：已知两点A(－2，－3)，B(3,0)，过点P(－1,2)的直线l与线段AB始终有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．解：方法一：如图D23，直线PA的斜率是图D23k1＝2－－3－1－－2＝5.直线PB的斜率是k2＝0－23－－1＝－12.当直线l由PA变化到与y轴平行的PC位置时，它的倾斜角由锐角α(tanα＝5)增至90°，斜率的变化范围是[5，＋∞)；当直线l由PC变化到PB位置时，它的倾斜角由90°增至βtanβ＝－12，斜率的变化范围是－∞，－12.∴斜率的变化范围是－∞，－12∪[5，＋∞)．方法二：设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0，直线l与线段AB有公共点，则点A，B在直线l的两侧(或在直线上)，有[k(－2)－(－3)＋k＋2]·(3k＋k＋2)≤0，即(－k＋5)(4k＋2)≤0，解得k≤－12或k≥5.∴斜率的变化范围是－∞，－12∪[5，＋∞)．【规律方法】请注意本题是指直线l与线段AB而不是直线AB有公共点.首先求出直线PA，PB的斜率边界，然后数形结合利用倾斜角及斜率的变化规律得出斜率的范围；也可以利用特殊值法选定结果，如kPA＝5，kPB＝－12，最终的结果只可能是1,52或1,2∪[5，＋∞两种情形，过点P作x轴的平行线k＝0，此直线显然不合题意，即斜率范围内不应含0，故应为1,2∪[5，＋∞.【互动探究】1.已知直线l经过点P(1,1)，且与线段MN相交，M(－2,3)，N(－3，－2)，则直线l的斜率k的取值范围是__________．解析：直线PM的斜率kPM＝1－31－－2＝－23，直线PN的斜率kPN＝1－－21－－3＝34，显然斜率为0(与x轴平行的直线)符合题意，所以直线l的斜率k的取值范围是－23，34.－23，34考点2求直线方程例2：(1)直线l1：3x－y＋1＝0，直线l2过点(1,0)，且l2的)倾斜角是l1的倾斜角的2倍，则直线l2的方程为(A．y＝6x＋1B．y＝6(x－1)C．y＝34(x－1)D．y＝－34(x－1)答案：D解析：方法一：设直线l1的倾斜角为α，由tanα＝3，可求出直线l2的斜率k＝tan2α＝2tanα1－tan2α＝－34，再由l2过点(1,0)，可得直线方程为y＝－34(x－1)．故选D.方法二：由l2过点(1,0)，排除A选项，由l1的斜率k1＝31知，其倾斜角大于45°，从而直线l2的倾斜角大于90°，斜率为负值，排除B，C选项．故选D.(2)已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相)等，则a的值是(A．1C．－2或－1B．－1D．－2或1答案：D解析：当直线过坐标原点时，其横、纵截距为0也相等，故a＝－2成立；当直线不过原点时，由x2＋aa＋y2＋a＝1，2＋aa＝2＋a，得a＝1.故选D.【规律方法】第1小题中直线l2的倾斜角是l1的倾斜角的2倍，不要理解为l2的斜率为l1的斜率的2倍，应该设直线l1的倾斜角为α，由tanα＝3，可求出直线l2的斜率k＝tan2α；第2小题中直线在x轴和y轴上的截距是指直线与x轴和y轴焦点的横坐标与纵坐标，既然是坐标，就可正可负，千万不要与距离混淆，还要注意直线过原点时，横、纵截距都为0，千万不要认为此时没有截距.【互动探究】2．已知点A(3,4)．(1)经过点A，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为____________________；(2)经过点A，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程为____________________；(3)经过点A，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线方程为____________________．答案：(1)4x－3y＝0或x＋y－7＝0(2)x－y＋1＝0或x＋y－7＝0(3)x＋2y－11＝0解析：(1)当直线经过原点时，方程为4x－3y＝0；当直线不经过原点时，设方程为xa＋ya＝1，代入点A的坐标，得a＝7，即直线方程为x＋y－7＝0.(2)斜率为1或－1,由点斜式，得x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.(3)由直线不经过原点，设直线方程为xa＋yb＝1.联立3a＋4b＝1和a＝2b，解得a＝11，b＝112，即得直线方程．考点3直线方程的综合应用例3：如图7-1-1，过点P(2,1)的直线l交x轴、y轴正半轴于A，B两点，求满足：图7-1-1(1)△AOB面积最小时l的方程；(2)|PA|·|PB|最小时l的方程．思维点拨：可设截距式方程，再由均值不等式求解；也可设点斜式方程,求出与坐标轴的交点坐标,再由均值不等式求解．解：方法一：设直线的方程为xa＋yb＝1(a＞2，b＞1)，由已知，得2a＋1b＝1.(1)∵22a·1b≤2a＋1b＝1，∴ab≥8.∴S△AOB＝12ab≥4.当且仅当2a＝1b＝12，即a＝4，b＝2时，S△AOB取最小值4.此时直线l的方程为x4＋y2＝1，即x＋2y－4＝0.(2)由2a＋1b＝1，得ab－a－2b＝0，即(a－2)(b－1)＝2.|PA|·|PB|＝2－a2＋1－02·2－02＋1－b2＝[2－a2＋1]·[1－b2＋4]≥2a－2·4b－1＝4.当且仅当a－2＝1，b－1＝2，即a＝3，b＝3时，|PA|·|PB|取最小值4.此时直线l的方程为x＋y－3＝0.方法二：设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k＜0)，则l与x轴、y轴正半轴分别交于点A2－1k，0，B(0,1－2k)．(1)S△AOB＝122－1k(1－2k)＝12×4＋－4k＋－1k≥12×(4＋4)＝4.当且仅当－4k＝－1k，即k＝－12时，S△AOB取得最小值4.此时直线l的方程为y－1＝－12(x－2)，即x＋2y－4＝0.(2)|PA|·|PB|＝1k2＋1·4＋4k2＝4k2＋4k2＋8≥4.当且仅当2k＝2k，即k＝－1时，|PA|·|PB|取得最小值4.此时直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0.【互动探究】3．已知直线x＋2y＝2与x轴、y轴分别相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为______．12解析：由题意知，A(2,0)，B(0,1)，所以线段AB的方程为x2＋y＝1，x∈[0,2]．又动点P(a，b)在线段AB上，所以a2＋b＝1，a∈[0,2]．又a2＋b≥2ab2，所以1≥2ab2，解得0≤ab≤12.当且仅当a2＝b＝12，即P的坐标为1，12时，ab取得最大值12.●思想与方法●⊙直线中的函数与方程思想例题：如果直线l经过点P(2,1)，且与两坐标轴围成的三角形面积为S.(1)当S＝3时，这样的直线l有多少条？(2)当S＝4时，这样的直线l有多少条？(3)当S＝5时，这样的直线l有多少条？(4)若这样的直线l有且只有2条，求S的取值范围；(5)若这样的直线l有且只有3条，求S的取值范围；(6)若这样的直线l有且只有4条，求S的取值范围．解：设直线方程为xa＋yb＝1，因为直线经过点P(2,1)，故有2a＋1b＝1，所以b＝aa－2.(1)当S＝3时，S＝12ab＝12a·aa－2＝3，有a2a－2＝±6，即a2－6a＋12＝0或a2＋6a－12＝0，前一个方程Δ0无解，后一个方程Δ0有两个不相等的解，所以这样的直线共有2条．(2)当S＝4时，S＝12ab＝12a·aa－2＝4，有a2a－2＝±8，即a2－8a＋16＝0或a2＋8a－16＝0，前一个方程Δ＝0有一个解，后一个方程Δ0有两个不相等的解，所以这样的直线共有3条．(3)当S＝5时，S＝12ab＝12a·aa－2＝5，有a2a－2＝±10，即a2－10a＋20＝0或a2＋10a－20＝0，前一个方程Δ0有两个不相等的解，后一个方程Δ0有两个相不等的解，所以这样的直线共有4条．(4)若这样的直线l有且只有2条，则S＝12ab＝12a·aa－2，有a2a－2＝±2S，即a2－2Sa＋4S＝0或a2＋2Sa－4S＝0，后一个方程Δ0恒成立，肯定有两个不相等的解，所以如果这样的直线只有2条，那么前一个方程必须有Δ0，即(－2S)2－4·4S0.故S的取值范围为(0,4)．(5)若这样的直线l有且只有3条，S＝12ab＝12a·aa－2，有a2a－2＝±2S，即a2－2Sa＋4S＝0或a2＋2Sa－4S＝0，后一个方程Δ0恒成立，肯定有两个不相等的解，所以如果这样的直线只有3条,那么前一个方程必须有Δ=0，即(－2S)2－4×4S＝0.故S＝4.(6)若这样的直线l有且只有4条，S＝12ab＝12a·aa－2，有a2a－2＝±2S，