2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)-第八章-第6讲-空间坐标系与空间向量

第6讲空间坐标系与空间向量空间向量及其运算.(1)了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.(2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.(3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.1.空间向量的概念在空间，既有大小又有方向的量，叫做空间向量，记作a或AB→.空间向量可以在空间内自由平行移动.2.空间向量的运算(1)加法：AB→＋BC→＝AC→(三角形法则：首尾相连，指向终点).(2)减法：AB→－AC→＝CB→(三角形法则：共点出发，指向被减).(3)数乘向量：λa(λ∈R)仍是一个向量，且λa与a共线，|λa|＝|λ||a|.(4)数量积：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，a·b是一个实数.3.空间向量的运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a；a·b＝b·a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)[注意：(a·b)c＝a(b·c)一般不成立].(3)分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R)；a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4.空间向量的坐标运算(λx1，λy1，λz1)(1)若OP→＝xi＋yj＋zk，则(x，y，z)叫做向量OP→的坐标，也叫做点P的坐标.(2)设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，那么a±b＝(x1±x2，y1±y2，z1±z2)；λa＝_________________；a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2；cos〈a，b〉＝x1x2＋y1y2＋z1z2x21＋y21＋z21x22＋y22＋z22.(3)设M1(x1，y1，z1)，M2(x2，y2，z2)，(4)对于非零向量a与b，设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，那么有则|M1M2→|＝x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.a∥b⇔a＝λb⇔x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2；a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.1.已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k值是()DDA.11B.5C.357D.52.a＝(cosα，1，sinα)，b＝(sinα，1，cosα)，则a＋b与a－b的夹角为()A.0°C.60°B.30°D.90°A图D393.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，向量表达式DD1→－AB→＋BC→化简后的结果是()A.BD1→B.D1B→C.B1D→D.DB1→解析：如图D39，∵DD1→＝AA1→，DD1→－AB→＝AA1→－AB→＝BA1→，BA1→＋BC→＝BD1→，∴DD1→－AB→＋BC→＝BD1→.D图8-6-14.如图8­6­1，在四棱柱的上底面ABCD中，AB→＝DC→，则下列向量相等的是()A.AD→与CB→B.OA→与OC→C.AC→与DB→D.DO→与OB→解析：∵AB→＝DC→，∴|AB→|＝|DC→|，AB∥DC，即四边形ABCD为平行四边形.由平行四边形的性质知，DO→＝OB→.故选D.考点1空间向量的线性运算例1：如图8-6-2，已知空间四边形OABC中，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC的中点，点G在线段MN上，图8-6-2且MG＝3GN.设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，试用向量a，b，c表示向量OG→.思维点拨：利用三角形法则转化.解：OG→＝OM→＋MG→＝23OA→＋34MN→＝23OA→＋34(ON→－OM→)＝23OA→＋3412OB→＋OC→－23OA→＝23a＋38(b＋c)－12a＝16a＋38b＋38c.【规律方法】(1)本题结合图形特点运用向量的三角形法则或平行四边形法则、共线向量定理等基本关系表示出有关的向量.(2)向量的线性运算有一个常用的结论：如果点B是线段AC算.的中点，那么OB→＝12(OA→＋OC→).此结论常用于与中点相关的运【互动探究】图8-6-31.如图8­6­3，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，设AA1→＝a，AB→＝b，AD→＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)AP→；(2)A1N→；(3)MP→＋NC1→.解：(1)∵P是C1D1的中点，∴AP→＝AA1→＋A1D1→＋D1P→＝a＋AD→＋12D1C1→＝a＋c＋12AB→＝a＋c＋12b.(2)∵N是BC的中点，∴A1N→＝A1A→＋AB→＋BN→＝－a＋b＋12BC→＝－a＋b＋12AD→＝－a＋b＋12c.(3)∵M是AA1的中点，∴MP→＝MA→＋AP→＝12A1A→＋AP→＝－12a＋a＋c＋12b＝12a＋12b＋c.又NC1→＝NC→＋CC1→＝12BC→＋AA1→＝12AD→＋AA1→＝12c＋a，∴MP→＋NC1→＝12a＋12b＋c＋a＋12c＝32a＋12b＋32c.考点2空间向量的数量积运算夹角的大小.图8-6-4例2：如图8­6­4，已知正方体ABCD­A1B1C1D1，求BC1→与AC→解：不妨设正方体的棱长为1，BC1→·AC→＝(BC→＋CC1→)·(AB→＋BC→)＝(AD→＋AA1→)·(AB→＋AD→)＝AD→·AB→＋AD→2＋AA1→·AB→＋AA1→·AD→＝0＋AD→2＋0＋0＝AD→2＝1，又∵|BC1→|＝2，|AC→|＝2，∴cos〈BC1→，AC→〉＝BC1→·AC→|BC1→||AC→|＝12×2＝12.∵〈BC1→，AC→〉∈[0，π]，∴〈BC1→，AC→〉＝π3.∴BC1→与AC→夹角的大小为π3.【规律方法】(1)求几何体中两个向量的夹角可以把其中一个向量平移到与另一个向量的起点重合，从而转化为求平面中的角的大小.的大小,转化为求两个向量的数量积及两个向量的模,求出〈a,b〉(2)由两个向量的数量积定义，得cos〈a,b〉＝a·b|a||b|，求〈a,b〉的余弦值,进而求〈a,b〉的大小.在求a·b时注意结合空间图形,把a,b用基向量表示出来,进而化简得出a·b的值．【互动探究】2.如图8­6­5，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，AA1＝2，求异面直线BA1与AC所成角的余弦值.图8-6-5解：∵BA1→＝BA→＋AA1→＝BA→＋BB1→，AC→＝BC→－BA→，且BA→·BC→＝BB1→·BA→＝BB1→·BC→＝0，∴BA1→·AC→＝－BA2→＝－1.又|AC→|＝2，|BA1→|＝1＋2＝3，∴cos〈BA1→，AC→〉＝BA1→·AC→|BA1→||AC→|＝－16＝－66.则异面直线BA1与AC所成角的余弦值为－66.例3：已知正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为BB1，C1D1的中点，建立适当的坐标系，求平面AMN的法向量.思维点拨：在平面AMN内找两个相交向量分别与法向量垂直.考点3空间向量的坐标运算图D40解：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系.如图D40.设棱长为1，则A(1,0,0)，M1，1，12，N0，12，1.∴AM→＝0，1，12，AN→＝－1，12，1.设平面AMN的法向量n＝(x，y，z)，∴n·AM→＝y＋12z＝0，n·AN→＝－x＋12y＋z＝0.令y＝2，得x＝－3，z＝－4.∴n＝(－3,2，－4).∴(－3,2，－4)为平面AMN的一个法向量.【规律方法】本题的关键就是在平面AMN内找两个相交向量分别与法向量垂直，向量的坐标为向量的运算、夹角与距离提供了运算基础，关键是建立适当的坐标系，确定点与向量的坐标.3.(2014年广东)已知向量a＝(1,0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是()BA.(－1,1,0)B.(1，－1,0)C.(0，－1,1)D.(－1,0,1)【互动探究】图8-6-6●易错、易混、易漏●⊙向量夹角不明致误例题：如图866，在120°的二面角αlβ中，A∈l，B∈l，AC⊂α，BD⊂β，且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B.已知AC＝AB＝BD＝6，试求线段CD的长.正解：∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴CA→·AB→＝0，BD→·AB→＝0.又∵二面角α­AB­β的平面角为120°，∴〈CA→，BD→〉＝60°.∴CD2＝|CD→|2＝(CA→＋AB→＋BD→)2＝CA→2＋AB→2＋BD→2＋2(CA→·AB→＋CA→·BD→＋BD→·AB→)＝3×62＋2×62×cos60°＝144.∴CD＝12.【失误与防范】(1)求解时，易混淆二面角的平面角与向量此处应结合图形，根据向量的方向与二面角的棱的方向关系正确地转化为向量夹角.(2)对所用的公式要熟练，变形时运用公式要正确并注意符号等细节，避免出错.夹角的概念，把〈CA→，BD→〉＝60°易错解为〈CA→，BD→〉＝120°，