2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)-第六章-第3讲-算术平均数与几何平均数

第3讲算术平均数与几何平均数1．了解基本不等式的证明过程．2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．1．基本不等式ab≤a＋b2(3)a＋b2叫做算术平均数，ab叫做几何平均数，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．(3)a＋b2叫做算术平均数，ab叫做几何平均数，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．2．几个常用的重要不等式(1)a∈R，a2≥0，|a|≥0当且仅当a＝0时取“＝”．(2)a，b∈R，则a2＋b2____2ab.(3)a0，则a＋1a≥2.(4)a2＋b22≥a＋b22.≥3．最值定理设x，y0，则x＋y≥2xy.(1)若积xy＝P(定值)，则和x＋y有最小值2P.(2)若和x＋y＝S(定值)，则积xy有最大值S22.即积定和最小，和定积最大．A．有最大值C．是增函数B．有最小值D．是减函数1．已知a＞b＞0，则下列不等式中成立的是()A．a＞b＞a＋b2＞abB．a＞a＋b2＞ab＞bC．a＞a＋b2＞b＞abD．a＞ab＞a＋b2＞b2．设函数f(x)＝2x＋1x－1(x0)，则f(x)()BB3．已知t0，则函数y＝t2＋1t的最小值为__________．4．已知x0，y0，且x＋4y＝1，则xy的最大值为______．2116解析：y＝t2＋1t＝t＋1t≥2t·1t＝2，当且仅当t＝1t时，ymin＝2.考点1利用基本不等式求最值(或取值范围)例1：(1)已知x＞0，y＞0，且1x＋9y＝1，则x＋y的最小值为__________．解析：∵x＞0，y＞0，1x＋9y＝1，∴x＋y＝(x＋y)1x＋9y＝yx＋9xy＋10≥6＋10＝16.当且仅当yx＝9xy时，上式等号成立．又1x＋9y＝1，得x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.答案：16(2)已知正数a，b满足a＋2b＝1，则1a＋1b的最小值是______________．解析：1a＋1b＝a＋2ba＋a＋2bb＝3＋2ba＋ab≥3＋22ba·ab＝3＋22.答案：3＋22(3)(2013年福建)若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是()A．[0,2]C．[－2，＋∞)B．[－2,0]D．(－∞，－2]答案：D解析：2x＋2y＝1≥22x·2y＝22x＋y＝2×2x＋y2＝2x＋y2＋1，即x＋y2＋1≤0，x＋y≤－2.故选D.【规律方法】(1)第(1)小题与第(2)小题需要将“1”灵活代入所求的代数式中，这种方法叫逆代法．(2)第(3)小题的关键在于如何从2x＋2y＝1中提炼出我们所需要的x＋y(只有2x·2y＝2x＋y才能得到x＋y)．(3)利用均值不等式及变式求函数的最值时，要注意到合理拆分项或配凑因式，而拆与凑的过程中，一要考虑定理使用的条件(两数都为正)；二要考虑必须使和或积为定值；三要考虑等号成立的条件(当且仅当a＝b时取“＝”号)，即“一正，二定，三相等”．【互动探究】1．(2013年四川)已知函数f(x)＝4x＋ax(x0，a0)在x＝3时取得最小值，则a＝__________.36解析：f(x)＝4x＋ax≥24x·ax＝4a，当且仅当4x＝ax，x＝a2时等号成立．故a2＝3，a＝36.考点2利用基本不等式求参数的取值范围例2：(2013年上海)设常数a0，若9x＋a2x≥a＋1对一切正实数x成立，则a的取值范围为________．思维点拨：若9x＋a2x≥a＋1对一切正实数x恒成立，其实质是9x＋a2xmin≥a＋1，则将原题转换成求9x＋a2x的最小值．答案：15，＋∞解析：若9x＋a2x≥a＋1对一切正实数x成立，即9x＋a2xmin≥a＋1对一切正实数x成立，9x＋a2xmin≥29x·a2x＝6a≥a＋1，a≥15.【互动探究】2．若对任意x0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是__________．解析：∵x0，∴x＋1x≥2，xx2＋3x＋1＝1x＋1x＋3≤15，即xx2＋3x＋1的最大值为15.故a≥15.15，＋∞考点3利用基本不等式处理实际问题例3：某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图6-3-1所示的矩形综合性休闲广场，其总面积为3000平方米，其中场地四周(阴影部分)为通道，通道宽度均为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同)，塑胶运动场地占地面积为S平方米．(1)分别写出用x表示y和用x表示S的函数关系式(写出函数定义域)；(2)怎样设计能使S取得最大值，最大值为多少？图6-3-1解：(1)由xy＝3000,2a＋6＝y，得y＝3000x(6x500)．S＝(x－4)a＋(x－6)a＝(2x－10)a＝(2x－10)·y－62＝(x－5)(y－6)＝3030－6x－15000x(6x500)．(2)S＝3030－6x－15000x≤3030－26x·15000x＝3030－2×300＝2430.当且仅当6x＝15000x，即x＝50时，等号成立，此时x＝50，y＝60，Smax＝2430.∴设计x＝50米，y＝60米时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米．【规律方法】形如函数y＝x＋pxp＞0的形式求最值时，可考虑用基本不等式，但要注意条件的限制，可借助函数图象解题，必要时可借助于导数.【互动探究】3．(2013年广东揭阳一模)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为400元．若每批生产x件，则平均每件产品的储存时间为x4天，且每件产品每天的储存费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与储存费用之和最小，每批应生产产品__________件．答案：40解析：设平均每件产品的生产准备费用与储存费用之和为y，则y＝x4·x·1＋400x＝x4＋400x≥20，当且仅当x4＝400x，即x＝40时，“＝”成立，故每批应生产产品40件．●难点突破●⊙在基本不等式中利用整体思想求最值例题：(1)若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是__________．解析：∵x2＋y2＋xy＝1，且xy≤x＋y22，∴(x＋y)2－xy＝1，即(x＋y)2－x＋y22≤1.∴(x＋y)2≤43，x＋y≤233.答案：233(2)已知x0，y0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是()A．3B．4C.92D.112答案：B解析：由均值不等式，得x＋2y＝8－x·(2y)≥8－x＋2y22，整理，得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0.∴(x＋2y－4)(x＋2y＋8)≥0.又x＋2y0，∴x＋2y≥4.【规律方法】本题主要考查了均值不等式在求最值时的运用.整体思想是分析这类题目的突破口，即x＋y与x＋2y分别是统一的整体，如何构造出只含x＋y构造xy亦可与x＋2y构造x·2y亦可形式的不等式是解本题的关键.