【高考复习方案】专题5-解析几何-2015年高三数学(理科)二轮复习-浙江省专用

第13讲直线与圆第14讲椭圆、双曲线、抛物线第15讲圆锥曲线中的热点问题专题五解析几何第13讲直线与圆返回目录考点考向探究核心知识聚焦第13讲直线与圆体验高考返回目录核心知识聚焦1．[2011·浙江卷]若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直①，则实数m＝________.[答案]1[解析]∵直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0垂直，∴1×2－2×m＝0，即m＝1.⇒直线方程关键词：倾斜角、斜率、直线方程、两直线位置关系、距离公式，如①②③.主干知识第13讲直线与圆体验高考返回目录核心知识聚焦[答案]22．[2013·天津卷改编]过点P(2，2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直②，则a＝________．[解析]设过点P(2，2)的圆的切线方程为y－2＝k(x－2)，由题意得|k－2|1＋k2＝5，解之得k＝－12.又切线与直线ax－y＋1＝0垂直，所以a＝2.第13讲直线与圆体验高考返回目录[答案]x＋y－2＝03.[2013·广东卷改编]垂直③于直线y＝x＋1且与圆x2＋y2＝1相切于第一象限的直线方程是______________．[解析]设直线方程为y＝－x＋m，且原点到此直线的距离是1，则1＝|m|2，解得m＝±2.当m＝－2时，直线和圆相切于第三象限，舍去．故直线方程为y＝－x＋2，即x＋y－2＝0.核心知识聚焦体验高考返回目录4．[2014·陕西卷]若圆C的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程④为____________．[答案]x2＋(y－1)2＝1[解析]由圆C的圆心与点(1，0)关于直线y＝x对称，得圆C的圆心为(0，1)．又因为圆C的半径为1，所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.⇒圆的方程关键词：圆心、半径、标准方程、一般方程，如④.主干知识第13讲直线与圆核心知识聚焦体验高考返回目录5．[2014·江苏卷]在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长⑤为_________．[答案]2555[解析]由题意可得，圆心(2，－1)到直线的距离d＝|2－2－3|12＋22＝355，所以弦长为2r2－d2＝24－95＝2555.⇒直线、圆的位置关系关键词：相离、相切、相交、弦长、两圆的位置关系，如⑤⑥.主干知识第13讲直线与圆核心知识聚焦第13讲直线与圆体验高考返回目录[答案]96．[2014·湖南卷改编]若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切⑥，则m＝________．[解析]依题意可得C1(0，0)，C2(3，4)，则|C1C2|＝33＋42＝5.又r1＝1，r2＝25－m，所以r1＋r2＝25－m＋1＝5，解得m＝9.核心知识聚焦返回目录——教师知识必备——知识必备直线与圆的方程第13讲直线与圆倾斜角x轴正方向与直线向上的方向所成的角，直线与x轴平行或重合时倾斜角为0°概念斜率倾斜角为α，斜率k＝tanα(α≠90°)＝y2－y1x2－x1(x1≠x2)，(x1，y1)，(x2，y2)在直线上点斜式y－y0＝k(x－x0)在y轴上的截距为b时，y＝kx＋b直线与圆的方程直线的方程直线方程两点式y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1(x1≠x2，y1≠y2)在x，y轴上的截距分别为a，b时，xa＋yb＝1返回目录——教师知识必备——第13讲直线与圆直线方程一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，B≠0时，斜率k＝－AB，纵截距为－CB平行当不重合的两条直线l1和l2的斜率都存在时，l1∥l2⇔k1＝k2；如果不重合的两条直线l1和l2的斜率都不存在，那么它们都与x轴垂直，则l1∥l2垂直当两条直线l1和l2的斜率都存在时，l1⊥l2⇔k1·k2＝－1；当两条直线l1和l2中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，它们互相垂直直线与圆的方程直线的方程位置关系交点两直线的交点的坐标就是由两直线的方程组成的方程组的解返回目录——教师知识必备——第13讲直线与圆点点距P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离P1P2＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2点线距点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝Ax0＋By0＋CA2＋B2直线与圆的方程直线的方程距离公式线线距若直线l1∥l2，则直线l1：Ax＋By＋C1＝0到直线l2：Ax＋By＋C2＝0距离d＝C1－C2A2＋B2返回目录——教师知识必备——第13讲直线与圆定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹．定点叫作圆心，定长叫作半径标准方程圆心坐标(a，b)，半径r，方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2直线与圆的方程圆的方程圆一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D2＋E2－4F0)标准方程展开可得一般方程，一般方程配方可得标准方程．一般方程中圆心坐标为－D2，－E2，半径为D2＋E2－4F2返回目录——教师知识必备——第13讲直线与圆相交相切相离代数法方程组有两组解方程组有一组解方程组无解直线与圆几何法drd＝rdr代数法方程组有两组解方程组有一组解方程组无解直线与圆的方程圆的方程圆与圆几何法r1－r2dr1＋r2d＝r1＋r2或d＝r1－r2dr1＋r2或dr1－r2注：表中d根据上下文理解为圆心到直线的距离与两圆的圆心距．返回目录►考点一直线的方程及应用直线的倾斜角和斜率——求直线的斜率、倾斜角直线方程、两直线的位置关系——求直线方程、判断两直线的位置关系距离公式——求距离、距离公式的应用题型：选择、填空、解答分值：占有一定的分值难度：中等热点：与圆、圆锥曲线综合，在各种题型中均有第13讲直线与圆考点考向探究返回目录例1(1)在△ABC中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2lgsinB＝lgsinA＋lgsinC，则直线l1：xsin2A＋ysinA＝a与l2：xsin2B＋ysinC＝c的位置关系是()A．平行B．重合C．垂直D．相交但不垂直(2)设圆x2＋y2＝2的切线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于点A，B.当AB取最小值时，切线l的方程为____________________________．考点考向探究第13讲直线与圆返回目录[解析](1)由2lgsinB＝lgsinA＋lgsinC，得sin2B＝sinAsinC，故sin2Asin2B＝sinAsinC＝ac，从而得两直线方程的系数之比都相等，所以直线l1与l2重合.(2)方法一：由题意知切点在第一象限，设切点坐标为(x0，y0)，则该点与圆心连线的斜率为y0x0，切线垂直于切点与圆心的连线，故切线的斜率为－x0y0，所以切线方程为y－y0＝－x0y0(x－x0)，即x0x＋y0y＝x20＋y20.又点(x0，y0)在圆x2＋y2＝2上，所以切线方程为x0x＋y0y＝2，该直线与x，y轴的交点坐标分别为2x0，0，0，2y0.故切线与坐标轴围成的三角形的面积为12×2x0×[答案](1)B(2)x＋y－2＝0考点考向探究第13讲直线与圆返回目录第13讲直线与圆2y0＝42x0y0≥4x20＋y20＝42＝2，当且仅当x0＝y0＝1时等号成立，故所求的切线方程为x＋y－2＝0.方法二：设切线方程为y＝kx＋m，其中k0，m0，根据直线与圆相切得m1＋k2＝2，即m2＝2(1＋k2)．直线y＝kx＋m与两坐标轴的交点坐标分别为－mk，0，(0，m)，所以直线y＝kx＋m与两坐标轴所围成的三角形的面积为－12×m2k＝－1＋k2k＝(－k)＋－1k≥2，当且仅当k＝－1时等号成立，此时m＝2.故所求的切线方程为y＝－x＋2，即x＋y－2＝0.考点考向探究返回目录第13讲直线与圆方法三：设A(a，0)，B(0，b)(a，b0)，则直线AB的方程为xa＋yb＝1，即bx＋ay－ab＝0.因为直线和圆相切，所以圆心到直线的距离d＝|－ab|a2＋b2＝2，整理得2（a2＋b2）＝ab，即2(a2＋b2)＝(ab)2≥4ab，所以ab≥4，当且仅当a＝b＝2时取等号．又|AB|＝a2＋b2＝ab2≥22，所以|AB|的最小值为22，此时a＝b＝2，故切线l的方程为x2＋y2＝1，即x＋y－2＝0.考点考向探究返回目录第13讲直线与圆[小结]确定直线的几何要素，一个是直线的方向，另一个是直线上的一个点，只要这两个问题解决了，直线就完全确定了．在解析几何里用得最广泛的是直线方程的点斜式，因为即使是我们知道了直线过两个点，往往也是先根据过两点的斜率公式求出直线的斜率，再使用点斜式方程求出直线方程．在直线方程中要重点掌握点斜式方程．考点考向探究返回目录变式题(1)已知直线l1：(a－2)x＋3y＋2a＝0和l2：x＋ay＋6＝0，则l1∥l2的必要不充分条件是a＝()A．1B．1或3C．－1D．3或－1(2)已知直线ax＋y＋2＝0与双曲线x2－y24＝1的一条渐近线平行，则这两条平行直线之间的距离是___________．第13讲直线与圆[答案](1)D(2)255考点考向探究返回目录[解析](1)先求l1∥l2的充要条件，当a＝0时，直线l1的斜率存在，直线l2的斜率不存在，此时两直线不可能平行，故a≠0，所以l1∥l2的充要条件是a－21＝3a≠2a6，得a＝－1.由此可知选项A，B既不是充分条件也不是必要条件，选项C为充要条件，选项D为必要不充分条件．(2)不妨设双曲线x2－y24＝1的一条渐近线方程为2x－y＝0.∵直线ax＋y＋2＝0与2x－y＝0平行，∴a＝－2，∴直线ax＋y＋2＝0即为2x－y－2＝0，∴两直线间的距离为|0－（－2）|22＋（－1）2＝255.第13讲直线与圆考点考向探究返回目录►考点二圆的方程及应用确定圆的几何条件——求圆心、圆的半径圆的标准方程和一般方程——1.求圆的方程；2.与圆锥曲线综合题型：选择、填空、解答分值：5分难度：中等热点：求圆的方程，在解答题中与圆锥曲线综合，考查圆的方程和性质的应用第13讲直线与圆考点考向探究返回目录例2已知圆M的圆心在第一象限，圆M过原点O，被x轴截得的弦长为6，且与直线3x＋y＝0相切，则圆M的方程为____________________．第13讲直线与圆[答案](x－3)2＋(y－1)2＝10[解析]设圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，a0，b0，根据题意得a2＋b2＝r2①，r2－b2＝9②，|3a＋b|10＝r③.由①②③解得a＝3，b＝1，r2＝10.故圆M的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10.考点考向探究返回目录[小结]求圆的方程要确定圆心的坐标(横坐标、纵坐标)和圆的半径，这实际上是三个独立的条件，只有根据已知把三个独立条件找出才可能通过解方程组的方法确定圆心坐标和圆的半径，列条件和解方程组时要注意其准确性．第13讲直线与圆变式题已知⊙M的圆心在抛物线x2＝4y上，且⊙M与y轴及抛物线的准线都相切，则⊙M的方程是()A．x2＋y2±4x－2y＋1＝0B．x2＋y2±4x－2y－1＝0C．x2＋y2±4x－2y＋4＝0D．x2＋y2±4x－2y－4＝0考点考向探究返回目录[解析]抛物线x2＝4y的准线方程为y＝－1.设圆心坐标为(a，b)，半径为r，则a2＝4b①，b＋1＝r②，a＝r③.由①②③，解得b＝1，a＝±2，r＝2，所以圆M的方程为(x±2)2＋(y－1)2＝4，即x2＋y2±4x－2y＋1＝0.[答案]A第13讲直线与圆考点考向探究返回目录►考点三直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆的位置关系——1.直线与圆的位置关系的判断；2.求直线被圆所截得的弦长圆与圆的位置关系——判断两圆的位置关系题型：选择、填空、解答分值：5分不等难度：中等热点：直线、圆、圆锥曲线的综合第13讲直线与圆考点考向探究返回目录第1