专题一、二次函数

专题一、二次函数[基本知识]1、二次函数的图象和性质；2、二次函数、二次不等式、二次方程的关系。[例题]例1、如果函数12axxy在区间]3,0[上有最小值2，那么实数a的值为（）A、2B、2C、2D、310例2、已知二次函数axxaxflg42)(lg)(2的最大值为3，求a的值。例3、二次函数),()(2Rcacbxxxf且1x时，,0)(xf当31x时，0)(xf恒成立；（1）求cb,之间的关系；（2）当3c时，是否存在实数m，使得xmxfxg2)()(在区间),0(上是单调函数？若存在，求出m的范围，若不存在，说明理由。例4、设二次函数)0()(2acbxaxxf，方程0)(xxf的两根为21,xx，满足axx1021；（1）当),0(1xx时，证明：1)(xxfx（2）设函数)(xf的图象关于直线0xx对称，证明：210xx。[练习]1、二次函数]1,1[,)(2xcbxxxf（I）用定义证明：当2b时，)(xf在]1,1[上是减函数；（II）当2b时，在]1,1[上是否存在一个x使得bxf)(；（III）若3b且]1,1[x上，2)(xf恒成立，求c的取值范围。集合1、设全集6,5,4,3,2,1I，集合3,2S，集合6,4,2,1T，则TS的真子集共有个。2、已知集合ZkkxxNkkxxM,24,,42，则（）A、NMB、NMC、NMD、NM3、已知全集I=R，集合RxxxQxxxP,55,05722，那么（）A、QPB、QPC、QPD、IQP4、已知集合02,04814222xaxaxSxxxM，若SM，则实数a（）A、)0,3[B、]6,3[C、]6,0()6,3[D、]6,0(5、全集为R，}5{},065{2axxBxxxA（a为常数），且,11B则（）A、RBAB、RBAC、RBAD、RBA6、已知集合}01{},65{2mxxBxxxA，且ABA，则实数m组成的集合是7、设全集},),{(RyxyxI，集合1),(,123),(xyyxNxyyxM，那么NM等于8、设集合PAAQdcbaP,,,,，则集合Q的元素个数为9、定义BxAxxBA且，若6,3,2,5,4,3,2,1NM，则MN=10、某中学高一（1）班有学生50人，参加数学小组的有25人，参加物理小组的有32人，求既参加数学小组，又参加物理小组的人数的最大值与最小值。专题二：抽象函数[基本知识]1、抽象函数的基本模型。2、抽象函数的性质。3、抽象函数的求解方法。[例题]1、（1）设函数)(xf定义在实数集上，函数)1(xfy与)1(xfy的图象关于（）A、直线1y对称B、直线0x对称C、直线0y对称D、直线1x对称（2）设)(xf是R上的奇函数，则函数)(sinxf是R上的函数；)(cosxf是R上的函数。（3）如果奇函数在)(xf在区间[3，7]上是增函数，那么)(xf在区间[-7，-3]上是（）A、增函数且最小值为-5B、增函数且最大值为-5C、减函数且最小值为-5D、减函数且最大值为-5（4）设函数)(xf定义域为R且满足：1）)1()1(xfxf；2）)()2(xfxf；3）3）)5()5(xfxf且)7()7(xfxf；4）)2()2()(xfxfxf（5）设)(xf是R上的奇函数，)()2(xfxf，当10x时，xxf)(，则)5.7(f等于（）A、5.0B、5.0C、5.1D、5.12、设函数的定义域为R，并满足条件：存在21xx，使得)()(21xfxf，又对任何yx,)()()(yfxfyxf成立，证明：（1）1)0(f；（2）0)(xf对任何x都成立。3、已知函数)(xf的定义域为R，且对任意Ryx,，恒有)()()(yfxfxyf；（1）证明：当Rx时，)()1(xfxf；（2）若1x时，恒有0)(xf成立，则)(xf必有反函数；（3）设)(1xf是的反函数，则)(1xf在其定义域内恒有)()()(2111211xfxfxxf成立。4、设)(xf是定义在R上的偶函数，其图象关于1x直线对称，对任意]21,0[,21xx，都有)()()(2121xfxfxxf，且0)1(af；（I）求)21(f，)41(f（II）证明)(xf是周期函数；（III）记)212(nnfan，求)(lnlimnna。练习：1、已知)(xf是定义在[-1，1]上的奇函数，且1)1(f，若0],1,1[,baba有0)()(babfaf；（I）证明)(xf是[-1，1]单调函数；（II）解不等式)11()21(xfxf。2、定义在R上的函数)(xf，对任意的Ryx,都)()()(yfxfxyf，当且仅当1x时，0)(xf成立；（1）设Ryx,，求证：)()()(xfyfxyf；（2）设Rxx21,，若)()(21xfxf比较21,xx的大小；（3）解不等式)10)(3()1(xafafxx专题四：函数)0()(kxkxxf[基本知识]1、)0()(kxkxxf的性质和图象。2、性质的应用。[例题]例1、（1）设函数axxaxf2)3()(的图象如图所示，则a的范围是（）A、)1,(B、)3,0(C、)3,1(D、)3,2(（2）函数43)(2xxxf的值域为例2、知函数),1[,2)(2xxaxxxf，（1）当21a时，求函数)(xf的最小值；（2）若对任意0)(),,0[xfx横成立，试求实数a的取值范围。例3、已知函数),(3)(2为非零常数aaxaxxxf（1）解不等式;)(xxf（2）设ax时，)(xf的最小值为6，求a的值。例4、设计一幅宣传画，要求画面面积为48402cm，画面的宽与高的比为)1(，画面的上、下各留8cm空白，左右各留5cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？如果要求]43,32[，那么为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？练习：1、设定义域为R的奇函数)(xf是增函数，若当20时，0)22()sin2(cos2mfmf求m的取值范围。2、已知0a，函数2)(bxaxxf；（1）当0b时，若对任意Rx都有1)(xf，证明：ba2；（2）当1b时，证：对任意]1,0[x，1)(xf的充要条件是bab21；（3）当10b时，讨论：对任意]1,0[x，1)(xf的充要条件。3、已知二次函数：)0()(2acbxaxxf的图象与x轴有两个不同的公共点，若0)(cf，且cx0时，0)(xf；（1）比较a1与c的大小；（2）证明：12b；（3）当1c时，求证：012tctbta4、二次函数,)(2cbxxxf若0)(xf的根在]1,0[内，（1）求证：1c；（2）161)1()0(ff（3）若0)(xf有一个根为21，且当]1,0[x时，)(xf的最大值为M，求证：41M。5、已知),,()(2Rcbacbxaxxf（1）若0ca，)(xf在]1,1[上的最大值为2，最小值为25，证明：0a且2ab。（2）若0a，qp,是满足1qp的实数，且对任意的实数yx,均满足)()()(qxpxfxqfxpf，证明：10p。高考数学填空题怎么填填空题是数学高考的三种基本题型之一，其求解方法分为：直接运算推理法、赋值计算法、规律发现法、数形互助法等等.解题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整.合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求.下面将按知识分类加以例说.1.函数与不等式例1已知函数1xxf，则._______31f讲解由13x，得431xf，应填4.请思考为什么不必求xf1呢？例2集合NxxMx,2110log11的真子集的个数是.______讲解NxxxxM,10010Nx2,lgx1，显然集合M中有90个元素，其真子集的个数是1290，应填1290.快速解答此题需要记住小结论;对于含有n个元素的有限集合,其真子集的个数是.122例3若函数baxxaxy,,322的图象关于直线1x对称，则._____b讲解由已知抛物线的对称轴为22ax,得4a，而12ba，有6b，故应填6.例4如果函数221xxxf，那么._____4143132121fffffff讲解容易发现11tftf，这就是我们找出的有用的规律，于是原式＝2731f，应填.27本题是2002年全国高考题，十分有趣的是，2003年上海春考题中也有一道类似题：设221xxf，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得.______650f45ffff2.三角与复数例5已知点Pcos,tan在第三象限，则角的终边在第____象限.讲解由已知得,0cos,0sin,0cos,0tan从而角的终边在第二象限，故应填二.例6不等式120lgcos2x（,0x）的解集为__________.讲解注意到120lg，于是原不等式可变形为.0cos0cos2xx而x0，所以20x，故应填.20Rxxx，例7如果函数xaxy2cos2sin的图象关于直线8x对称，那么._____a讲解2sin12ay，其中atan.8x是已知函数的对称轴，282k，即Zkk，43，于是.143tantanka故应填1.在解题的过程中，我们用到如下小结论：函数xAysin和xAycos的图象关于过最值点且垂直于x轴的直线分别成轴对称图形.例8设复数24cossin21z在复平面上对应向量1OZ，将1OZ按顺时针方向旋转43后得到向量2OZ，2OZ对应的复数为sincos2irz，则.____tan讲解应用复数乘法的几何意义，得43sin43cos12izzicossin2cossin222，于是，1tan21tan2cossin2cossin2tan故应填.1tan21tan2例9设非零复数yx,满足022yxyx，则代数式20052005yxyyxx的值是____________.讲解将已知方程变形为112yxyx，解这个一元二次方程，得.2321iyx显然有231,1,而166832005,于是原式＝200520052005111＝20052200521＝.112在上述解法中，“两边同除”的手法达