英德中学20052006年数学期末模拟考试题

英德中学2005～2006年高二数学选修（2-1）期末模拟考试题（答案）一、选择题（15×4=60分）题目123456789101112答案ABCDCDBACBDC二、填空题（4×4=16分）13、21(ca)14、必要充分15、216、7三、解答题（共74分）17、（12分）将命题“正偶数不是质数”改写成“若则”的形式，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。解：原命题：若一个数是正偶数，则这个数不是质数.（假命题）逆命题：若一个数不是质数，则这个数是正偶数.（假命题）否命题：若一个数不是正偶数，则这个数是质数.（假命题）逆否命题：若一个数是质数，则这个数不是正偶数.（假命题）18、（12分）已知顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为15。求抛物线的方程.解：依题意可设抛物线方程为：axy2（a可正可负），与直线y=2x+1截得的弦为AB；则可设A（x1,y1）、B（x2,y2）联立122xyaxy得01)4(42xax即：4421axx4121xx15]1)44[(5]4))[(1(2212212axxxxkAB得：a=12或-4所以抛物线方程为xy122或xy4219、（12分）已知9x2+5y2=1的焦点F1、F2，在直线l：x+y－6=0上找一点M，求以F1、F2为焦点，通过点M且长轴最短的椭圆方程．解：由15922yx，得F1（2，0），F2（-2，0），F1关于直线l的对称点F1/（6，4），连F1/F2交l于一点，即为所求的点M，∴2a=|MF1|+|MF2|=|F1/F2|=45，∴a=25，又c=2，∴b2=16，故所求椭圆方程为1162022yx．20、（12分）A是△BCD所在平面外一点，M、N分别是△ABC和△ACD的重心.若BD=4，试求MN的长.xyzHGFEABCDA1B1C1D1解：连结AM并延长与BC相交于E，又连结AN并延长与CD相交于E，则E、F分别为BC及CD之中点.现在MN=AEAFAMAN3232=EFAEAF32)(32=)(32CECF=)(31)2121(32CBCDCBCD=BD31∴MN=|MN|=31|BD|=31BD=3421、（12分）给定双曲线1222yx。过A（2，1）的直线与双曲线交于两点P1及P2，求线段P1P2的中点P的轨迹方程．解：设),(111yxP，),(222yxP代入方程得122121yx，122222yx．两式相减得：0))((21))((21212121yyyyxxxx。又设中点P（x,y），将xxx221，yyy221代入，当21xx时得02222121xxyyyx·。又212121xyxxyyk，代入得04222yxyx。当弦PP12斜率不存在时，其中点P（2，0）的坐标也满足上述方程。因此所求轨迹方程是17)21(47)1(822yx。22、（14分）在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，,EF分别是1,DDBD的中点，G在棱CD上，且14CGCD，H为1CG的中点，应用空间向量方法求解下列问题.（1）求证：1EFBC;（2）求EF与1CG所成的角的余弦;（3）求FH的长.(16分)解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.则1E0,0,)2（，11113(,,0),(0,1,0),(1,1,1),(0,1,1),(0,,0)224FCBCG1111111(,,),(1,0,1)222110022EFEFBCEFBCEFBCBC则即（2）222111117(0,,1)0()1444CGCG，由（1）知222113()()1222EF1113130()022428EFCG11151cos,17EFCGEFBCEFCG故EF与1CG所成角的余弦值为5117.（3）11CGH为的中点，7111H0,,),(,,0)8222F（又22217114141(0)()(0)FH282288FH即＝四、参考题23．（05广东卷）（本小题满分14分）如图3所示，在四面体P—ABC中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB=342.F是线段PB上一点，341715CF，点E在线段AB上，且EF⊥PB.（Ⅰ）证明：PB⊥平面CEF；（Ⅱ）求二面角B—CE—F的大小.（I）证明：∵2221006436PCACPA∴△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形，同理可证△PAB是以∠PAB为直角的直角三角形，△PCB是以∠PCB为直角的直角三角形。故PA⊥平面ABC又∵3061021||||21BCACSPBC而PBCSCFPB3017341534221||||21故CF⊥PB,又已知EF⊥PB∴PB⊥平面CEF（II）由（I）知PB⊥CE,PA⊥平面ABC∴AB是PB在平面ABC上的射影，故AB⊥CE在平面PAB内，过F作FF1垂直AB交AB于F1，则FF1⊥平面ABC，EF1是EF在平面ABC上的射影，∴EF⊥EC故∠FEB是二面角B—CE—F的平面角。35610cottanAPABPBAFEB二面角B—CE—F的大小为35arctan24、（05广东卷）（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO（如图4所示）.（Ⅰ）求△AOB的重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；（Ⅱ）△AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.解：（I）设△AOB的重心为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则332121yyyxxx…（1）∵OA⊥OB∴1OBOAkk,即12121yyxx，……(2)又点A，B在抛物线上，有222211,xyxy，代入（2）化简得121xx∴32332)3(31]2)[(31)(3132221221222121xxxxxxxxyyy所以重心为G的轨迹方程为3232xy（II）22212122222122212222212121))((21||||21yyyxyxxxyxyxOBOASAOB由（I）得12212)1(2212221221662616261xxxxSAOB当且仅当6261xx即121xx时，等号成立。所以△AOB的面积存在最小值，存在时求最小值1；