数学4月份月考试题及答案(理科)

高2007届第二轮复习质量检测试题（2007.4.10）数学（理科）命题段泽文本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50）各题答案必需答在答题卡上。1．已知等差数列}{na中，1,16497aaa，则12a的值是（）A．15B．30C．31D．642．设复数),(),,(,)1(212baPRbabiaiiz那么点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．函数1)(3xaxxf有极值的充要条件是（）A．0aB．0aC．0aD．0a4．函数122logsin(2)3yx的一个单调递减区间是（）A.(,)612B.(,)126C.(,)63D.25(,)365．若)3,2(),1,(xbxa，那么22||||abab的取值范围是（）A．)22,(B．]42,0[C．]42,42[D．),22[6．设,,为互不重合的平面，l,m,n为互不重合的直线，给出下列四个命题：①若,,则∥；②若,,mnm∥,n∥，则∥；③若∥,,l则l∥；④若,,,lmnl∥,则m∥n.其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．47．设椭圆的中心在原点O，右焦点为F，右准线为l，如果在l上存在点M，使线段OM的垂直平分线经过F，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．)1,23[B．)1,22[C．)1,22(D．)1,21(8．若随机变量)22(,1,2),,(~2PDEN则且为（）A．(2)(2)B．(4)(2)C．(4)(2)D．(4)(0)19．若函数()()yfxxR满足(2)()fxfx,且(1,1]x时()||fxx,则函数()yfx的图象与函数lg||yx的图象的交点个数为（）A．16B．18C．20D．无数个10．已知M、N是60111yxyxyx所围成的区域内的不同两点，则||MN的取值范围是（）A．(0，2]B．(0，5]C．(0，17]D．[0，17]第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）把答案填写在答题卡相应位置上.11．若椭圆221(0)99xy的离心率为12，则λ等于___________12．)()13(6Raxax的展开式的常数项是－20，则23lim()________nnaaaa13．设离散型随机变量可能的取值为1、2、3、4，()Pkakb（1,2,3,4k），又的数学期望为3E，则ab___________14．设集合{1,0,1},{2,3,4,5,6}AB，映射，BAf:满足：(1)(0)(1)fff，则这样的映射共有____________个15．已知1()sincosfxxx，记2132()(),()(),......,fxfxfxfx1()(),nnfxfx(,2)nNn，则122007()()......()222fff_________16．已知数列)}({*Nnan满足：*1log(2)()nnannN，定义使123....kaaaa为整数的*()kkN叫“期盼数”，则区间[1,2007]内所有的期盼数的和_________M三、解答题：（本大题共6小题，共76分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.200702280117．（13分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c且满足CbBcacoscos)2(（1）求角B的大小；（2）向量m)sin,(cosAA，向量n)sin,(cosAA，求m·n的最小值.18．（13分）已知nS为数列na的前n项和，且2232nnSann，n=1,2,3…（1）求证:数列2nan为等比数列；（2）设cosnnban，求数列nb的前n项和nP；19．（13分）设A、B是两个平面区域，面积分别为AS、BS，且AB，则区域A内的随机点落在区域B内的概率ABSSp．则称这样的概率模型为几何概型.现有两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去.求两人能够会面的概率.20．（13分）如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是梯形，PA平面ABCD,BC//AD,AB=CD,0120ABC,ABPAAD2,点E,F分别在棱PD,PC上,且满足)1,0(PCPFPDPE．（1）求证:EF//平面ABCD；（2）当21时,求AE与平面PAC所成的角的正切值；（3）是否存在,使平面AEF平面PCD?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.PABCDEFBAoyxM21．（12分）已知椭圆方程为22128xy，射线2(0)yxx与椭圆的交点为,M过M作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于BA、两点（异于M）．（1）求证:直线AB的斜率ABk为定值；（2）求△AMB面积的最大值。22．（12分）设1x是)()()(22Rxebaxxxfx的一个极值点，（1）求a与b的关系式（用a表示b）并求)(xf的单调区间.（2）是否存在实数m，使得对任意)1,2(a及1,2,21总有1)2()2()1(amff3e恒成立，若存在求出m的范围。若不存在，说明理由.一、选择题：题号12345678910答案ACCACBBDBC二、填空题：11.312．2113．11014．3515．—116．解：*11232312log(2)(),......log3log4......log(2)log(2)nnkkannNaaaakk要使)2(log2k为正整数，可设11*1*()22,()22()122200719()nnnknknnNnnN即令99123410112923410[1,2005]()(22)(22)(22)(22).......(22)2(21)(222.......2)2918212056,2056nnnMknM则区间内所有企盼数的和17．解：（1）由CbBcacoscos)2(得CBBCAcossincos)sinsin2(即ACBBAsin)sin(cossin2又∵),0(A∴0sinA∴21cosB又),0(B故3B（2）∵3B又∵32CA∴)32,0(A,)34,0(2A∴1≤12cosA又∵m·nAAA2cossincos22∴m·n的最小值为118.（Ⅰ）解：2232nnSann，21121312nnSann.11222,212(2)nnnnaananan.2nan是以2为公比的等比数列（Ⅱ）111124,4aSaa,121422a.22,22nnnnanan.当n为偶数时，12313124()()nnnnPbbbbbbbbbb31221223221nn2422222422nn224122122(21)12123nnnnn；当n为奇数时，Pn=12213nn.综上，125,332(21)3nnnnnPnn（为奇数），（为偶数）19.解：设两人到达的时间分别为7点到8点之间的x分钟、y分钟.用表示每次试验的结果，则所有可能结果为：；记两人能够会面为事件A，则事件A的可能结果为：.如图所示，试验全部结果构成区域Ω为正方形ABCD.而事件A所构成区域是正方形内两条直线，所夹中间的阴影部分.根据几何概型公式，得到：.所以，两人能够会面的概率为.20．解：（1）证：//PEPFEFCDPDPC又EFABCD平面,//EFABCD平面（2）//,,BCADABCDABCD是等腰梯形,又00120,60ABCADCBAD设BCa,则22ADPAABa,3ACa222223ACBCaaAD,ACCD又PA平面ABCD,PACD,CD平面PAC又//EFCD,EF平面PAC,EAF是AE与平面PAC所成角.又12u,F是PD的中点,且1122EFCDa又172,3,22aPAaACaAFPC,在AEFRt中,7tan7EFEAFAE.（3）当47u时,平面AEF平面PCD.PA平面ABCD，ACPAABCDAC,平面,在PACRt中,由（2）知，aPCaACaPA73,2，若47u，则aPFPCPF77474FPAAPCPFPAPAPCaaPFPAaaPAPC277742,2727PFAPAC，而AFPCPFAPAC009090，又,PACEF平面则AEFPCFAFEFEFPC平面而,,AEFPCDPCDPC平面平面平面，即47u时，平面AEF平面PCD.21．解（1）∵斜率k存在，不妨设k＞0，求出M（1-，2-）．直线MA方程为)1(2xky，直线MB方程)1(2xky分别与椭圆方程联立，可解出22444Akkxk，22444Bkkxk∴2)2(BABABABAxxxxkxxyy．∴2ABk．（2）设直线AB方程为mxy2，与2422yx联立，消去y得mxx4820)8(2m．由得-4＜m＜4，且m≠0，点M到AB的距离为5||md．222m-162528-m-)2m(5AB设△MAB的面积为S．∴4)216(161)16(161||41222222mmdABS．当22m时，得2maxS．22．解（1）xeabxaxxf22/])2([)(由0)1(/f得32ab∴xeaaxxxf22)32()(xxeaxxeaxaxxf222/)3)(1(]3)2([)(令0)(/xf得axx3,121由于1x是)(xf的极值点，故21xx，即4a①当4a时，12xx，故]3,1[a为)(xf的单调增区间；),3[]1,(a、为)(xf的单调减区间。②当4a时，12xx，故]1,3[a为)(xf的单调增区间；),1[]3,(、a为)(xf的单调减区间。（2）由12a得534a，从而知)(xf在]1,2[上单调递减，在]1,1[上单调递增，)(xf的值域为],)2[(])1(),2(max),1([43eeafff假设存在实数m满足题设，依题意有：343[(2)1](2)maeeae恒成立，即01)3(eam恒成立，令1)3()(eamag，则有0)1(0)2(gg，解得emem4)7(21，即em4注：[也可通过分离变量m求解（从略）]故存在实数]4,(em满足题设。