全国统一标准测试数学(文科B卷)

全国统一标准测试数学（文科B卷）第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题（本大题共12小题；每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.定义在R上的函数y=f(x)的值域为［a,b］,则f(x+1)的值域为A.［a,b］B.［a+1,b+1］C.［a－1,b－1］D.无法确定2.a=－1是直线ax+(2a－1)y+1=0和直线3x+ay+3=0垂直的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.不充分也不必要条件3.在等比数列｛an｝中，a1＞1,前n项和满足nlimSn=11a,那么a1的取值范围是A.(1,+∞)B.(1,4)C.(1,2)D.(1,2)4.已知m、l是异面直线，那么：①必存在平面α过m且与l平行；②必存在平面β过m且与l垂直；③必存在平面γ与m、l都垂直；④必存在平面π与m、l距离都相等.其中正确的结论是A.①②B.①③C.②③D.①④5.10个人抽2张球票，一人一次依次抽取（每抽一次不放回），则第k个人抽到球票的概率（k=1,2,…,10）为A.2B.51C.52D.1016.若得到函数y=sin(2x－4)的图象，可以把函数y=sin2x的图象A.向左平移8个单位B.向右平移8个单位C.向左平移4个单位D.向右平移4个单位7.设F1、F2是双曲线42x－y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且1PF·2PF=0,则｜1PF｜｜2PF｜的值为A.0B.2C.22D.48.已知复数2－i的辐角主值是θ,则23+3i的辐角主值是A.2－θB.2π－θC.θ－23πD.θ+29.若双曲线以y=±3x为渐近线，F（0，2）为焦点，则此双曲线方程为A.x2－32y=1B.x2－32y=－1C.3222yx=1D.3222yx=－110.已知函数f(x)是R上的增函数，A(0,－1),B(3,1)是其图象上的两点，那么｜f(x+1)｜＜1的解集是A.（1，4）B.（－1，2）C.（－∞,1]∪［4,+∞)D.(－∞,－1]∪［2,+∞)11.过正三棱锥S—ABC的一条侧棱SA及其外接球的球心O，作棱锥截面SAD.（如图）球心O在AD上，则此三棱锥的侧面三角形顶角的余弦值为A.21B.0C.－21D.4112.甲、乙两工厂2003年元月份的产值相等，甲厂的产值逐月增加，且每月增加的产值相同；乙厂产值也逐月增加，且每月增长的百分率相同.已知2004年元月份两厂的产值相等，那么2003年7月份产值高的工厂是A.甲厂B.乙厂C.两厂产值一样D.无法确定第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题（本大题共4小题；每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上）13.设f(x)=221x,利用课本中推导等差数列前n项和公式的求法，可求得f(－5)+f(－4)+f(－3)+…+f(4)+f(5)+f(6)的值为__________.14.函数y=332xx在点x=3处的导数值为__________.15.如下图，表示图中平面区域的公共区域的不等式组是__________.16.有一组数据：x1,x2,…xn（x1≤x2≤…≤xn）它们的算术平均值为10，若去掉其中最大的xn，余下数据的算术平均值为9；若去掉其中最小的x1,余下数据的算术平均值为11，则x1关于n的表达式为__________；xn关于n的表达式为__________.三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.（本小题满分12分）设x∈［4,3］,f(x)=41(sin2x－cos2x－23)+23sin2(x－4),求f(x)的最大值和最小值.18.（本小题满分12分）有一个问题，在半小时之内，甲能解决它的概率是21，乙能解决它的概率是31.计算：（Ⅰ）两人都未解决的概率；（Ⅱ）问题得到解决的概率.19.（本小题满分12分）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1E1=D1F1=411BA.（Ⅰ）求BE1与DF1所成角的余弦值；（Ⅱ）若A1C1∩B1D1=O，P为AA1上一点且DP⊥AD，求DP与底面ABCD所成角的正切值.20.（本小题满分13分）经市场调查分析知，某地明年从年初开始的前n个月，对某种商品需求总量f(n)（万件）近似地满足下列关系：f(n)=1501n(n+1)(35－2n)(n=1,2,3,…，12).（Ⅰ）写出明年第n个月这种商品需求量g(n)（万件）与月份n的函数关系式，并求出哪几个月的需求量超过1.4万件；（Ⅱ）若计划每月该商品的市场投放量都是P万件，并且要保证每月都满足市场需求，则P至少为多少万件？21.(本小题满分13分)设椭圆3922xy=1的内接三角形是△PAB，射线OP的倾斜角为3，直线AP、BP的倾斜角互补.（Ⅰ）求证：直线AB的斜率是定值；（Ⅱ）求△PAB面积的最大值.22.（本小题满分12分）设数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn满足关系式：3tSn－(2t+3)Sn－1=3t(t＞0,n=2,3,4,…).（Ⅰ）求证：数列{an}是等比数列；（Ⅱ）设数列{an}的公比为f(t)，作数列{bn}使b1=1,bn=f(11nb)(n=2,3,4,…).求bn;（Ⅲ）求和：b1b2－b2b3+b3b4－b4b5+…+b2n－1b2n－b2nb2n+1.参考答案一、1.A2.A3.D4.D5.B6.B7.B8.C9.B10.B11.D12.A二、13.3214.－6115.06320220yxyxy16.11－nn+9三、17.（12分）解：f(x)=41(－cos2x－23)+2)22cos(1x·232分=83－43sin2x－41cos2x4分=83－21sin(2x+6).6分∵x∈［4,3］,∴(2x+6)∈［32,65］.8分∴当x=4时，f(x)min=－83；10分当x=3时，f(x)max=823.12分18.（12分）解：（1）设在半小时内甲能独立解决该问题是事件A，乙能独立解决该问题是事件B.2分那么两人都未解决该问题是事件A·B.3分由于两人是相互独立地求解，于是得到P（A·B）=P（A）·P（B）=（1－21）（1－31）=31.7分（2）“问题得到解决”这一事件的概率为1－P（A·B）=1－31=32.12分19.(12分)解：(Ⅰ)不妨设正方体的边长为1，建立空间直角坐标系O—xyz，如图，则B（1，1，0）、E1（1，43，1）、D（0，0，0）、F1（0，41，1）.1BE=（1，43，1）－（1，1，0）=（0，－41，1），1DF=（0，41，1）－（0，0，0）=（0，41，1），4分|1BE|=417，|1DF|=417，1BE·1DF=0×0+(－41×41)+1×1=1615,∴cos＜1BE,1DF＞=4174171615||||1111DFBEDFBE=1715.6分（Ⅱ）设P点坐标为（1，0，z），DP=（1，0，z）,O(21,21,1),A(1,0,0).AO=(－21,21,1),8分∵DP⊥AO，∴DP·AO=－21+z=0.z=21,即|AP|=21.10分∴DP与底面ABCD所成角为∠ADP，则tanADP=21.12分20.（13分）解：（Ⅰ）当n=1时，g(1)=f(1)=2511.2分当n≥2时，g(n)=f(n)－f(n－1)=251(－n2+12n)(经检验n=1时也成立).解不等式251（－n2+12n）＞1.4,5分得5＜n＜7.7分∵n∈N,∴n=6,即第六个月的需求量超过1.4万件.（Ⅱ）由题设可知，对于n=1,2,…,12恒有nP≥f(n),即P≥1501(n+1)(35－2n)9分=－1501［－2（n－433）2+8332+35］11分当且仅当n=8时，Pmin=5057=1.14.∴每月至少投放1.14万件.13分21.(13分)（Ⅰ）证明：OP的直线方程为y=3x.1分联立方程xyxy313922，得点P坐标为（26，223）.设AP方程为y－223=k(x－26)，BP方程为y－223=－k(x－26),联立方程)26(22313922xkyxy，得xA=26323622kkk.同理,得xB=26323`622kkk.∴AB的斜率为kAB=36)(BABABABAxxkxxkxxyy.∴AB的斜率为定值.（Ⅱ）解：设直线AB的方程为y=3x+m，P点到直线AB的距离为d.则d=2||m，将直线方程代入椭圆方程，得6x2+23mx+m2－9=0.∴|AB|=2362m.S△ABP=21d|AB|=321·)36(322mm≤233.当且仅当m=±3时，取等号,∴(S△APB)max=233.13分22.（12分）（Ⅰ）证明：∵3tSn－(2t+3)Sn－1=3t，①∴3tSn+1－(2t+3)Sn=3t.②1分由②－①,得3t(Sn+1－Sn)－(2t+3)(Sn－Sn－1)=0.2分3tan+1=(2t+3)an.∵ttaann3321，又∵t＞0,a1=1＞0，3分∴an＞0,则{an}成等比数列.4分（Ⅱ)解：由（Ⅰ)知f(t)=tt332=t132.∴bn=f(11nb)=32+bn－1，bn－bn－1=32(n≥2,n∈N*).∴{bn}为等差数列且b1=1，公差d=32.则bn=1+32(n－1)=312n.8分（Ⅲ）解：b1b2－b2b3+b3b4－b4b5+…+b2n－1b2n－b2nb2n+1=b2(b1－b3)+b4(b3－b5)+…+b2n(b2n－1－b2n+1)9分=－2×32(b2+b4+…+b2n)（∵b2=353122,b2n=314n.）10分=－]2)31435([34nn11分=－94n(2n+3).12分