姜堰中学数学综合练习(四)

江苏省姜堰中学数学综合练习(四)2007．4班级学号姓名一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．已知集合(,)|Axyyx，(,)|1yBxyx，则A、B的关系为（）A．ABB．AÜBC．BÜAD．AB2．从8名女生，4名男生中选出6名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法种数为（）A．4284CCB．3384CCC．612CD．4284AA3．已知△ABC中，CCBA则,sin2tan等于（）A．6B．4C．3D．24．已知f（x）=)6()2()6(4xxfxx，则f（3）=（）A．1B．2C．3D．45．已知向量的夹角为与则若cacbacba,25)(,5||),4,2(),2,1(（）A．30°B．60°C．120°D．150°6．与是两个不同的平面,对下列条件：①存在平面，使得、都垂直于；②存在平面，使得、都平行于；③内有不共线的三点到的距离相等；④存在异面直线l、m，使得l//，l//，m//，m//，其中可以判定与平行的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．若x，y是正数，则22)21()21(xyyx的最小值是（）A．3B．27C．4D．298．设k1,f(x)=k(x-1)(x∈R)，在直角坐标系中，函数y=f(x)的图象与x轴交于A点，它的反函数的图象与y轴交于B点，并且这两个函数图象交于P点，已知四边形OAPB的面积为3，则k的值为（）A.3B.34C.23D.569．设1F、2F为曲线1C：12622yx的焦点，P是曲线2C：1322yx与1C的一个交点，则2121·PFPFPFPF的值为（）A．41B．31C．32D．3110．已知函数fx在定义域R内是增函数，且0fx，则2gxxfx的单调情况一定是（）A．在,0上递增B．在,0上递减C．在R上递减D．在R上递增第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.)11．若23xy≥0，则2212xy的最小值是．12．曲线)0)(,(33aaaxy在点处的切线与x轴、直线ax所围成的三角形的面积为a则,61=.13．设地球O的半径为R，P和Q是地球上两点，P在北纬45，东经20，Q在北纬45，东经110，则P与Q两地的球面距离为_____________14．在nxx)3(2131的二项展开式中各项系数之和为t，其二项式系数之和为h，若272th，则其二项展开式中2x项的系数为__________15．已知函数f(x)对任意实数p、q满足：()()()fpqfpfq,(1)f3,则)7()8()4()5()6()3()3()4()2()1()2()1(2222ffffffffffff=．16．连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是（填写所有正确选项的序号）.①菱形②有3条边相等的四边形③梯形④平行四边形⑤有一组对角相等的四边形三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知函数2()2sin23sincosfxmxmxxn的定义域为0,2，值域为5,4．试求函数()sin2cosgxmxnx（xR）的最小正周期和最值．18．（本小题满分14分）袋中装有m个红球和n个白球，且m≥n≥2，这些红球和白球除了颜色不同外，其余都相同，从袋中同时取出2个球.(1)若取出的是2个红球的概率等于取出的是一红一白的2个球的概率的整数倍,试证m必为奇数;(2)在m、n的数组中,若取出的球是同色的概率等于不同色的概率,试求同时满足m+n≤40的所有数组(m,n).19．（本小题满分14分）如图，直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的高为3，底面是边长为4且∠DAB=60°的菱形，AC∩BD=0，A1C1∩B1D1=O1，E是O1A的中点.（1）求二面角O1－BC－D的大小；（2）求点E到平面O1BC的距离.20．（本小题满分15分）在平面直角坐标系中，已知向量(,0)(,0),OFccc为常数且(,)(),OGxxxR||FG的最小值为1，tCaOE,(2）().aR为常数,且ac,t动点P同时满足下列三个条件：（1）||||;(2)cPFPEPEa·(,0);OFR且（2）动点P的轨迹C经过点B（0，－1）.（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）是否存在方向向量为m=（1，k）（k≠0）的直线l，l与曲线C相交于M、N两点，使||||,BMBNBN且BM与的夹角为60°？若存在，求出k值，并写出直线l的方程；若不存在，请说明理由.21．（本小题满分15分）已知数列na各项均不为0，其前n项和为nS，且对任意*nN都有(1)nnpSppa（p为大于1的常数），记12121CCC()2nnnnnnnaaafnS．(1)求na；(2)试比较(1)fn与1()2pfnp的大小（*nN）；(3)求证：2111(21)()(1)(2)(21)112nppnfnfffnpp剟，（*nN）．参考答案题号12345678910答案CADCCBCBDA11.4512.±113．3R14.115.2416.②③⑤17．解)62sin(22cos2sin3)(xmnmxmxmxfmn0,2x72,666x1sin(2),162x当m＞0时，max()fx4)21(2nmm，5)(minnmxf解得2,3nm，从而，()3sin4cos5sin()gxxxx()xR，T=2，最大值为5，最小值为－5；当m＜0时，解得3,1mn，从而，()3sin2cos13sin()gxxxx，T=2，最大值为13，最小值为13．18.(1)证明:设取出2个球是红球的概率是取出的是一红一白的2个球的概率的k倍(k为整数),则有22CCnmm=k211CCCnmnm,∴2)1(mm=kmnm=2kn+1.∵k∈Z,n∈Z,∴m=2kn+1为奇数.(2)解:由题意,有222CCCnmnm=211CCCnmnm,∴2)1(mm+2)1(nn=mn.∴(m-n)2=m+n.∵m≥n≥2,∴m+n≥4.∴4≤m+n≤4072.∴m-n的值只可能是2,3,4,5,6,相应m+n的值分别是4,9,16,25,36,.6,365,254,163,92,4nmnmnmnmnmnmnmnmnmnm或或或或即解得.15,2110,156,103,61,3nmnmnmnmnm或或或或注意到m≥n≥2,故(m,n)数组值为(6,3),(10,6),(15,10),(21,15).19．证明（I）过O作OF⊥BC于F，连接O1F，∵OO1⊥面AC，∴BC⊥O1F，∴∠O1FO是二面角O1－BC－D的平面角，…………3分∵OB=2，∠OBF=60°，∴OF=3.在Rt△O1OF在，tan∠O1FO=133,3OOOF∴∠O1FO=60°即二面角O1—BC—D为60°…………6分解（II）在△O1AC中，OE是△O1AC的中位线，∴OE∥O1C∴OE∥O1BC，∵BC⊥面O1OF，∴面O1BC⊥面O1OF，交线O1F.过O作OH⊥O1F于H，则OH是点O到面O1BC的距离，…………9分点E到面O1BC的距离等于OH，360sinOHOFOH∴OH=3.2∴点E到面O1BC的距离等于3.2…………12分解法二：（I）∵OO1⊥平面AC，∴OO1⊥OA，OO1⊥OB，又OA⊥OB，建立如图所示的空间直角坐标系（如图）∵底面ABCD是边长为4，∠DAB=60°的菱形，∴OA=23，OB=2则A（23，0，0），B（0，2，0），C（－23，0，0），O1（0，0，3）)3,0,32(),3,2,0(11COBO设平面O1BC的法向量为1n=（x，y，z），则1n⊥1OB，1n⊥1OC，∴2302330yzxz，则z=2，x=－3，y=3，∴1n=（－3，3，2），而平面AC的法向量2n=（0，0，3）∴cos1n，2n=,21436||||2121nnnn，设O1－BC－D的平面角为α，∴cosα=1,2∴α=60°.故二面角O1－BC－D为60°.（II）设点E到平面O1BC的距离为d，∵E是O1A的中点，∴1EO=（－3，0，32），则d=2323)3(|)2,3,3()23,0,3(|||||222111nnEO∴点E到面O1BC的距离等于32。20．解（1）∵|22222|()2(),222ccFGxcxxc∴21,22ac即由2(,)(),.aOEttRc2a可知点E在直线x=上c由（1）、（2）可知点P到直线x=2(0),aaFaccc距离与到点的距离之比为再由椭圆的第二定义可知，点P的轨迹是椭圆，椭圆C的方程为：221,yb22222x其中b=a-c.a由（3）可知b=1，∴a2=b2+c2=1+2=3.∴椭圆C的方程为221.3xy（2）设直线l的方程为:y=kx+m，设M（),(),,2211yxNyx22222,,(13)6330.33ykxmykxkmxmxy消去得x1+x2=222123133;316kmxxkkmΔ=36k2m2－12（m2－1）（1+3k2）=12[3k2－m2+1]＞0①线段MN的中点G（x0，y0），x0=2220022131313;3132kmmkmkmkxykkmxx，线段MN的垂直平分线的方程为：y－2213()1313mkmxkkk∵||||,BMBN∴线段MN的垂直平分线过B（0，－1）点，∴－1－222313313131kmkkmkkm，∴m=2132k②②代入①，得3k2－（2213)10,11,0.2kkk解得且③∵||||,BMBNBMBN且与的夹角为60°，∴△BMN为等边三角形，∴点B到直线MN的距离d=22221231|2311|1|m1|d|,|23kkkkMN而|MN|=222212111||1()4kxxkxxxx)13(1231131334)316(1222222222mkkkkmkkmk=2222222213113)1)231(3(12311kkkkkkk∴2222333111,2213kkkk解得k2=13,,33k即满足③式.代入②，得m=213111.22k直线l的方程为：y=313x21．解：(1)∵(1)nnpSppa，①∴11(1)nnpSppa．②②－①，得11(1)nnnpapapa，即1nnapa．在①中令1n，可得1ap．∴na是首项为1ap，公比为p的等比数列，nnap．(2)由(1)可得(1)(1)11nnnppppSpp．12121CCCnnnnnaaa1221CCC(1)(1)nnnnnnnppppp．∴12121CCC()2nnnnnnnaaafnS1(1)2(1)nnnpppp，(1)fn11