高三数学数列学科素质训练

2006－2007学年度上学期高中学生学科素质训练高三数学第一轮复习单元测试（2）—《数列》一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若互不相等的实数a、b、c成等差数列，c、a、b成等比数列，且103cba，则a=（）A．4B．2C．－2D．－42．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是（）A．5B．4C．3D．23．在等差数列na中，已知1232,13,aaa则456aaa等于（）A．40B．42C．43D．454．在等差数列｛an｝中，若aa+ab=12，SN是数列｛an｝的前n项和，则SN的值为（）A．48B．54C．60D．665．设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若S3S6＝13，则S6S12＝（）A．310B．13C．18D．196．设na是公差为正数的等差数列，若12315aaa，12380aaa，则111213aaa（）A．120B．105C．90D．757．已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若OCaOAaOB2001，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S200＝（）A．100B．101C．200D．2018．在等比数列na中，12a，前n项和为nS，若数列1na也是等比数列，则nS等于（）A．122nB．3nC．2nD．31n9．设4710310()22222()nfnnN，则()fn等于（）A．2(81)7nB．12(81)7nC．32(81)7nD．42(81)7n10．弹子跳棋共有60棵大小相同的球形弹子，现在棋盘上将它叠成正四面体球垛，使剩下的弹子尽可能的少，那么剩下的弹子有（）A．3B．4C．8D．911．设数列{}na的前n项和为nS，令12nnSSSTn，称nT为数列1a，2a，……，na的“理想数”，已知数列1a，2a，……，500a的“理想数”为2004，那么数列2，1a，2a，……，500a的“理想数”为（）A．2002B．2004C．2006D．200812．一给定函数)(xfy的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1a，由关系式)(1nnafa得到的数列}{na满足)(*1Nnaann，则该函数的图象是ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.13．数列｛an｝中，若a1=1，an+1=2an+3（n≥1），则该数列的通项an=.14．1110113112111,244)(ffffxfxx则设.15．在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以)(nf表示第n堆的乒乓球总数，则)3(f；)(nf（答案用n表示）.16．已知整数对排列如下,4,2,5,1,1,4,2,3,3,2,4,1,1,3,2,23,1,1,2,2,1,1,1，则第60个整数对是_______________.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）数列{an}的前n项和记为Sn，111,211nnaaSn（1）求{an}的通项公式;（2）等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且315T，又112233,,ababab成等比数列，求Tn18．（本小题满分12分）设数列}{na、}{nb、}{nc满足：2nnnaab，2132nnnnaaac（n=1，2，3，…），证明：}{na为等差数列的充分必要条件是}{nc为等差数列且1nnbb（n=1，2，3，…）19．（本小题满分12分）已知数列3021,,,aaa，其中1021,,,aaa是首项为1，公差为1的等差数列；201110,,,aaa是公差为d的等差数列；302120,,,aaa是公差为2d的等差数列（0d）.（1）若4020a，求d；（2）试写出30a关于d的关系式，并求30a的取值范围；（3）续写已知数列，使得403130,,,aaa是公差为3d的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列.提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？20．（本小题满分12分）某市去年11份曾发生流感，据统计，11月1日该市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人，由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日止，该市在这30日内感染该病毒的患者总共8670人，问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数.21．（本小题满分12分）等差数列{}na中，12a，公差d是自然数，等比数列{}nb中，1122,baba．（Ⅰ）试找出一个d的值，使{}nb的所有项都是{}na中的项；再找出一个d的值，使{}nb的项不都是{}na中的项（不必证明）；（Ⅱ）判断4d时，是否{}nb所有的项都是{}na中的项，并证明你的结论；（Ⅲ）探索当且仅当d取怎样的自然数时，{}nb的所有项都是{}na中的项，并说明理由．22．（本小题满分14分）已知数列{na}中，112nnaa（n≥2，Nn），（1）若531a，数列}{nb满足11nnab（Nn），求证数列{nb}是等差数列；（2）若531a，求数列{na}中的最大项与最小项，并说明理由；（3）（理做文不做）若211a，试证明：211nnaa．参考答案（2）1．D．依题意有22,,310.acbbcaabc4,2,8.abc2．C．3302551520511ddada，故选C．3．B．∵等差数列na中12a，2313aa∴公差3d．∴45613345aaaaddd＝1312ad＝42．4．B．因为461912aaaa，所以1999()2aaS=54，故选B．5．A．由等差数列的求和公式可得31161331,26153SadadSad可得且0d所以6112161527312669010SaddSadd，故选A．6．B．12322153155aaaaa，1232228080aaaadaad，将25a代入，得3d，从而11121312233103530105aaaaad.选B．7．A．依题意，a1＋a200＝1，故选A．8．C．因数列na为等比，则12nnaq，因数列1na也是等比数列，则22121122212(1)(1)(1)22(12)01nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaqqq即2na，所以2nSn，故选择答案C．9．D．f（n）=3(1)432[12]2(81)127nn，选D．10．B．正四面体的特征和题设构造过程，第k层为k个连续自然数的和，化简通项再裂项用公式求和.依题设第k层正四面体为,kkkkk2213212则前k层共有6062121212121222kkkkkL，k最大为6，剩4，选B．11．A．认识信息，理解理想数的意义有，20025014984995002501,5004984995002004500321500321aaaaaaaa，选A．12．A．函数认识数列xyNnaafannn),(*1，则函数在)1,0(上为凸函数，选A．13．由112332(3)nnnnaaaa，即133nnaa=2，所以数列｛na＋3｝是以（1a+3）为首项，以2为公比的等比数列，故na＋3=（1a+3）12n，na=12n－3.14．由11xfxf，整体求和所求值为5．15．2)1()()(111211nnaaaaaanaannnnn)(nf的规律由)2(2)1()1()(nnnanfnfn，所以22)1()(223)2()3(222)1()2(1)1(222nnfnffffff所以)]321()321[(21)(222nnnf6)2)(1(]2)1(6)12)(1([21nnnnnnnn16．观察整数对的特点，整数对和为2的1个，和为3的2个，和为4的3个，和为5的4个，和n为的n－1个，于是，借助21321nnn估算，取n=10，则第55个整数对为1,11，注意横坐标递增，纵坐标递减的特点，第60个整数对为7,517．（1）由121nnaS可得1212nnaSn，两式相减得112,32nnnnnaaaaan又21213aS∴213aa故{an}是首项为1，公比为3得等比数列∴13nna.（2）设{bn}的公差为d，由315T得，可得12315bbb，可得25b，故可设135,5bdbd又1231,3,9aaa由题意可得2515953dd解得122,10dd∵等差数列{bn}的各项为正，∴0d，∴2d∴213222nnnTnnn18．1必要性：设数列}{na是公差为1d的等差数列，则：)(311nnnnaabb)(2nnaa=)(1nnaa)(23nnaa=1d－1d=0，∴1nnbb（n=1，2，3，…）成立；又2)(11nnnnaacc)(12nnaa)(323nnaa=61d（常数）（n=1，2，3，…）∴数列}{nc为等差数列.2充分性：设数列}{nc是公差为2d的等差数列，且1nnbb（n=1，2，3，…），∵2132nnnnaaac……①∴432232nnnnaaac……②①－②得：)(22nnnnaacc)(231nnaa)(342nnaa=2132nnnbbb∵)(12nnnncccc2212)(dccnn∴2132nnnbbb22d……③从而有32132nnnbbb22d……④④－③得：0)(3)(2)(23121nnnnnnbbbbbb……⑤∵0)(1nnbb，012nnbb，023nnbb，∴由⑤得：01nnbb（n=1，2，3，…），由此，不妨设3dbn（n=1，2，3，…），则2nnaa3d（常数）故312132432daaaaacnnnnnn……⑥从而3211324daacnnn31524daann……⑦⑦－⑥得：3112)(2daaccnnnn，故311)(21dccaannnn3221dd（常数）（n=1，2，3，…），∴数列}{na为等差数列.综上所述：}{na为等差数列的充分必要条件是}{nc为等差数列且1nnbb（n=1，2，3，…）.19．（1）3,401010.102010