高三数学第二学期开学考试

江苏省扬州中学2006-2007学年度第二学期开学考试高三数学试卷2007.2一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，计50分）1．两个非空集合P和Q，它们都是全集I的子集，满足PQPPQP,，则（）A．QPB．QPC．QPD．QPCI2．0xy是指（）A．yx,中至少有一个不是0B．0x且0yC．0x或0yD．yx,不都是03．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为yx,，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则||yx的值为（）A．1B．2C．3D．4４．设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线sin0xAayc与sinsin0bxyBC的位置关系是()A．平行B．重合C．垂直D．相交但不垂直5．已知函数)0(1)1()0(sin)(xxfxxxf，如果当02m时，有2)()611(mff，则实数m等于（）A．61或65B．61或67C．61或611D．67或6116．已知：10101yyxyx且84422yxyxz，则z的最小值为（）A．223B．29C．22D．217．在数列}{na中，*)(2)1(,211Nnannaann，则10a为（）A．34B．36C．38D．408．设0ba，那么)(12baba的最小值是（）A．2B．3C．4D．59．正方体1111DCBAABCD的棱长为1，在正方体表面上与点A距离是332的点形成一条曲线，这条曲线的长度是()A．33B．23C．3D．36510．动点P为椭圆)0(12222babyax上异于椭圆顶点(,0)a的一点，F1、F2为椭圆的两个焦点，动圆C与线段F1P的延长线、F1F2的延长线及线段PF2相切，则圆心C的轨迹为除去坐标轴上的点的（）A．一条直线B．双曲线的右支C．抛物线D．椭圆二．填空题：（本大题共6小题，每小题5分，计30分）11．若指数函数()()xfxaxR的部分对应值如下表：x－202()fx0.69411.44则不等式1(|1|)0fx的解集为．12．有一解三角形的题因纸张破损有一个条件不清，具体如下：在ABC中，已知45,3Ba，，求角A．经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示60A，试将条件在横线处补全．13．设nxx)13(31展开式中的各项系数之和为A，而它的二项式系数之和为B，若272BA，那么展开式中2x的系数为．14．设RxxfxfxF),()()(．若]2,[是函数)(xF的单调递增区间，将)(xF的图象按向量)0,(a平移得到一个新的函数)(xG的图象，则)(xG的单调递减区间必定为．15．袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为．（用最简分数作答）16．等差数列na的前n项和为nS，公差0d.若存在正整数(3)mm，使得mmaS，则当nm（*Nn）时，有_____nnSa（填“”、“”、“=”）．三．解答题：（本大题共5小题，第17、18小题每小题12分，第19题14分，第20、21题每小题16分，共计70分）17．已知向量)1,1(m，向量n与向量m的夹角为43，且1nm．（Ⅰ）求向量n；（Ⅱ）设向量)0,1(a，向量))23(cos2,(cos2xxb，其中320x，若0an，试求||bn的取值范围．18．已知单调递增的等比数列}{na满足28432aaa，且23a是42,aa的等差中项．（Ⅰ）数列}{na的通项公式；（Ⅱ）若nnnnnbbbSaab2121,log，求使5021nnnS成立的正整数n的最小值．19．已知矩形ABCD中，12ADAB，，将ΔABD沿BD折起，使点A在平面BCD内的射影落在DC上，E、F、G分别为棱BD、AD、AB的中点．（I）求证：DA⊥平面ABC；（II）求点C到平面ABD的距离；（III）求二面角G—FC—E的大小．20．点P在以21,FF为焦点的双曲线1:2222byaxE)0,0(ba上，已知21PFPF，||2||21PFPF，O为坐标原点．（Ⅰ）求双曲线的离心率e；（Ⅱ）过点P作直线分别与双曲线渐近线相交于21,PP两点，且42721OPOP，0221PPPP，求双曲线E的方程；（Ⅲ）若过点)0,(mQ（m为非零常数）的直线l与（2）中双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、N，且QNMQ（为非零常数），问在x轴上是否存在定点G，使)(21GNGMFF？若存在，求出所有这种定点G的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知函数1163)(23axxaxxf，1263)(2xxxg，和直线9:kxym，又0)1(f．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）是否存在k的值，使直线m既是曲线)(xfy的切线，又是)(xgy的切线；如果存在，求出k的值；如果不存在,说明理由．（Ⅲ）如果对于所有2x的x,都有)(9)(xgkxxf成立，求k的取值范围．命题：钱伟校对：姜卫东江苏省扬州中学2006-2007学年度高三第二学期开学考试数学试卷答题纸2007.2一、选择题：（每题5分，共50分）题号12345678910答案CBDCDBCCDA二、填空题：（每题5分，共30分）11．)2,1()1,0(12．226c13．114．]2,23[15．500021716．三、解答题：（第17、18小题每小题12分，第19题14分，第20、21题每小题16分，共计70分）17．解：（I）设),(yxn，143cos2122yxyx则01yx或10yx)1,0()0,1(或n（II）))32cos(,(cos)1)23(cos2,(cos2xxxxbn)]234cos(2[cos211)32(coscos||222xxxxbn)32cos(211)2sin232cos21(211xxx25||2221)32cos(1320bnxx。18．解：（I）设}{na的首项为1a公比为q，)2(2282131131211qaqaqaqaqaqa212qq或，}{na单调递增2,21aqnna2（II）nnnb2，22)1(1nnnS，由5021nnnS有262,50222)1(11nnnnnn26322,2616254最小值为5。19．解：（I）证明：依条件可知DA⊥AB①∵点A在平面BCD上的射影落在DC上,即平面ACD经过平面BCD的垂线∴平面ACD⊥平面BCD又依条件可知BC⊥DC,∴BC⊥平面ACD,∵DA平面ACD∴BC⊥DA②BBCAB∴由①、②得DA⊥平面ABC（II）解：设求点C到平面ABD的距离为d,于是ABCDABDCVV由（I）结论可知DA⊥平面ABC∴DA是三棱锥D—ABC的高∴由ABCDABDCVV，得ABCABDDASdS3131解得22d即点C到平面ABD的距离为22（或者证明CG⊥平面ABD，求CG的长即可）。（III）解：由（I）结论可知DA⊥平面ABC∵AC、CG平面ABC∴DA⊥AC①DA⊥CG②由①得ΔADC为直角三角形，易求出AC＝1,于是ΔABC中AC＝BC＝1∵G是等腰ΔABC底边AB的中点∴CG⊥AB③ADAAB④∴由②、③、④得CG⊥平面ABD∵CG平面FGC∴平面ABD⊥平面FGC在平面ABD内作EH⊥FG，垂足为H∴EH⊥平面FGC,作HK⊥FC，垂足为K连结EK，故EK⊥FC∴∠EKH为二面角E—FC—G的平面角设RtΔABD边BD上的高为h，容易求出36h66EH在ΔEFC中，容易求出252322FCECFE，，三边长满足90222FECECFEFC，于是在RtΔFEC中容易求出1030EK35sinEKEHEKH于是二面角E—FC—G的大小为35arcsin20．解：（I）aPFaPFaPFPFPFPF2||,4||2|||||,|2||2121215)2()2()4(22221ecaaPFPF（II）14:2222ayaxE渐近线为xy2设),(),2,(),2,(222111yxPxxPxxP494273212121xxxxOPOP，0221PPPP3)2(2,322121xxyxxx代入E化简2892221aaxx18222yx（III）假设在x轴上存在定点)0,(tG使)(21GNGMFF，设),(),,(,:4433yxNyxMmkyxl联立l与E的方程得0848)14(222mkmyyk故)2(1484)1(1482243243kmyykkmyy)0,102(),,(214343FFyytxtxGNGM)(21GNGMFF)3(0)1()1()(04343tmyyktxtx由QNMQ043yy)4(43yy∴（3）即为)5(0)1()1(23tmky，将（4）代入（1）（2）有kmmy22)1(23代入（5）得mt2故在x轴上存在定点)0,2(mG使)(21GNGMFF。21．解：（Ⅰ）因为axaxxf663)(2,所以0)1(f即0663aa,所以a=－2.(Ⅱ)因为直线m恒过点（0，9）.先求直线m是y=g(x)的切线.设切点为)1263,(0200xxx,因为66)(00xxg.所以切线方程为))(66()1263(00020xxxxxy,将点（0，9）代入得10x.当10x时，切线方程为y=9,当10x时，切线方程为y=12x+9.由0)(/xf得012662xx，即有2,1xx当1x时，)(xfy的切线18y，当2x时，)(xfy的切线方程为9y9y是公切线，又由12)(/xf得1212662xx0x或1x，当0x时)(xfy的切线为1112xy，当1x时)(xfy的切线为1012xy，912xy，不是公切线综上所述0k时9y是两曲线的公切线(Ⅲ).（1）)(9xgkx得3632xxkx，当0x，不等式恒成立，Rk.当02x时，不等式为6)1(3xxk，而6])(1)[(36)1(3xxxx06230k当0x时，不等式为6)1(3xxk，126)1(3xx12k当2x时,)(9xgkx恒成立，则120k（2）由9)(kxxf得111232923xxxkx当0x时，119恒成立，Rk，当02x时有xxxk2012322设xxxxh201232)(2=xx208105)43(22，当02x时8105)43(22x为增函数，x20也为增函数8)2()(hxh要使9)(kxxf在02x上恒成立，则8k由上述过程只要考虑80k，则当0x时12166)(2/xxxf=)2)(1(6xx在]2,0(x时0)(/xf，在),2(时0)(/xf)(xf在2x时有极大值即)(xf在),0