高考数学模拟考试题9

高考数学模拟考试题（文科卷4）时量120分钟.满分150分一、本题共12小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．1．设a、b、c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则（）①（a·b）c-（c·a）b＝0②|a|-|b|＜|a-b|；③（b·c）a-（c·a）b不与c垂直；④（3a＋2b）·（3a-2b）＝9|a|2-4|b|2．其中的真命题是（）A．②④B．③④C．②③D．①②2．若直线mx＋ny＝4和⊙O∶422yx没有交点，则过（m，n）的直线与椭圆14922yx的交点个数（）A．至多一个B．2个C．1个D．0个3．将正方形ABCD沿对角线BD折成120°的二面角，C点到C处，这时异面直线AD与CB所成角的余弦值是（）A．22B．21C．43D．434．现用铁丝做一个面积为1平方米、形状为直角三角形的框架，有下列四种长度的铁丝各一根供选择，其中最合理（即够用，浪费最少）的一根是（）．A．4.6米B．4.8米C．5.米D．5.2米5．在△ABC中，||AC＝5，||BC＝3，||AB＝6，则ACAB＝（）A．13B．26C．578D．246．一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积与半球的体积恰好相等，则圆锥轴截面顶角的余弦值是（）A．43B．34C．53D．537．已知双曲线12222byax的离心率2[e，]2．双曲线的两条渐近线构成的角中，以实轴为角平分线的角记为，则的取值范围是（）．A．6π[，]2πB．3π[，]2πC．2π[，]32πD．32π[，π]8．已知函数)sin(2xy为偶函数0(＜＜π)，其图像与直线y＝2的某两个交点横坐标为1x，2x，||12xx的最小值为π，则（）A．2，2πB．21，2πC．21，4πD．2，4π9．过抛物线xy42的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则||AB等于（）A．10B．8C．6D．410．若)10(0logloglog3)1(212axxxaaa，则1x，2x，3x的大小关系是（）A．123xxxB．312xxxC．132xxx1B．231xxx二、填空题：本题共5小题，共20分，把答案填在题中的横线上11.若不等式23axx的解集是非空集合amxx则},4|{，m=.12．)(xf是定义在实数有R上的奇函数，若x≥0时，)1(log)(3xxf，则)2(f________．13．若点P（cos，sin）在直线上xy2上，则2cos22sin________．14．用一个与正方体的各面都不平行的平面去截正方体，截得的截面是四边形的图形可能是下列选项中的________（把所有符合条件的图形序号填入）．①矩形②直角梯形③菱形④正方形15．某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心F为焦点的椭圆，测得近地点A距离地面)km(m，远地点B距离地面)km(n，地球半径为)km(R，关于这个椭圆有以下四种说法：①焦距长为mn；②短轴长为))((RnRm；③离心率Rnmmne2；④若以AB方向为x轴正方向，F为坐标原点，则与F对应的准线方程为)())((mnRnRmx，其中正确的序号为________．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.（12分）设函数)(cossin322cos)(Rxxxxxf的最大值为M,最小正周期为T.（Ⅰ）求M、T；（Ⅱ）10个互不相等的正数ix满足),10,,2,1(10,)(ixMxfii且求xx21…+xn的值.17．（12分）无穷数列}{na的前n项和)(*NnnpaSnn，并且1a≠2a．（1）求p的值；（2）求}{na的通项公式；18．（14分）（甲）如图，已知斜三棱柱111CBAABC的侧面CA1⊥底面ABC，∠ABC＝90°，BC＝2，AC＝32，又1AA⊥CA1，1AA＝CA1．（1）求侧棱AA1与底面ABC所成的角的大小；（2）求侧面BA1与底面所成二面角的大小；（3）求点C到侧面BA1的距离．（乙）在棱长为a的正方体CBAOOABC中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF．（1）求证：ECFA；（2）当三棱锥BEFB的体积取得最大值时，求二面角BEFB的大小（结果用反三角函数表示）．19．（14分）在抛物线xy42上存在两个不同的点关于直线l；y＝kx＋3对称，求k的取值范围．20．（14分）某地区预计明年从年初开始的前x个月内，对某种商品的需求总量)(xf（万件）与月份x的近似关系为：*)(235)(1(1501)(Nxxxxxf，且)12x．（1）写出明年第x个月的需求量)(xg（万件）与月x的函数关系，并求出哪个月份的需求量最大，最大需求量是多少？（2）如果将该商品每月都投放市场p万件（销售未完的商品都可以在以后各月销售），要保证每月都足量供应，问：p至少为多少万件？21．（14分）已知函数22log)(xxxfa的定义域为[，]，值域为)1([logaa，)]1(logaaa，并且)(xf在[，]上为减函数．（1）求a的取值范围；（2）求证：42；参考答案1．A2．B3．D4．C5．B6．D7．C8．A9．B10．C:11.8112．-113．-214．①③④15．①③④16.)62sin(22cos2sin3)(xxxxf……………………2分（Ⅰ）M=2…………4分T=22…………6分（Ⅱ）,2262,2)(kxxfii)(6Zkkxi…………9分又9,,1,0,100kxi610)921(1021xxx=3140………………12分17．（1）∵111paSa∴01a，且p＝1，或01a．若是01a，且p＝1，则由22212paSaa．∴21aa，矛盾．故不可能是：01a，且p＝1．由01a，得02a．又22212paSaa，∴21p．（2）∵11)1(21nnanS，nnnaS21，∴nnnnaana21)1(2111．nnnaan1)1(．当k≥2时，11kkaakk．∴n≥3时有223211aaaaaaaannnnn22)1(123221anannnn．∴对一切*Nn有：2)1(anan．18．（甲）（1）∵侧面CA1底面ABC，∴AA1在平面ABC上的射影是AC．AA1与底面ABC所成的角为∠ACA1．∵CAAA11，CAAA11，∴∠ACA1＝45°．（2）作OA1⊥AC于O，则OA1⊥平面ABC，再作OE⊥AB于E，连结EA1，则ABEA1，所以∠EOA1就是侧面BA1与底面ABC所成二面角的平面角．在Rt△EOA1中，3211ACOA，121BCOE，∴3tan11OEOAEOA．EOA160°．（3）设点C到侧面BA1的距离为x．∵BCACABCAVV11，∴ABCABCBCAABCSxSOASxSOA1113131．（*）∵31OA，1OE，∴2131EA．又222)32(22AB，∴22222211ABAS．又2222221ABCS．∴由（*）式，得12222x．∴1x（乙）（1）证明：如图，以O为原点建立空间直角坐标系．设AE＝BF＝x，则A（a，0，a），F（a-x，a，0），C（0，a，a），E（a，x，0），∴FA（-x，a，-a），EC（a，x-a，-a）．∵0)(2aaxaxaECFA，∴ECFA．（2）解：记BF＝x，BE＝y，则x＋y＝a，则三棱锥BEFB的体积为22241)2(61ayxbaxyaV．当且仅当2ayx时，等号成立，因此，三棱锥BEFB的体积取得最大值时，2aBFBE．过B作BD⊥BF交EF于D，连结DB，则EFDB．∴∠DBB是二面角BEFB的平面角．在Rt△BEF中，直角边2aBFBE，BD是斜边上的高，∴42BD在Rt△DBB中，tan∠22BDBBDBB．故二面角BEFB的大小为22arctan．19．∵k＝0不符合题意，∴k≠0，作直线l：bxky1，则ll．∴满足条件的EABlBA、xylk的中点过交于两个不同点与；42由xybxky412消去x，得0412byyk，041412bk．01kb．（*）设1(xA，)2y、2(xB、)2y，则kyy421．又bxxkyy2122121．∴)2(221bkkxx．故AB的中点)2((bkkE，)2k．∵l过E，∴3)2(22bkkk，即kkkb2322．代入（*）式，得)1(032032012323333kkkkkkkkk0)3(2kk01k20．（1）251133211501)1()1(fg．当x≥2时，)1()()(xfxfxg)237()1(1501)235)(1(1501xxxxxx)]23937()23335[(150122xxxxx)672(1501xx)12(251xx．∴*)(12(251)(Nxxxxg，且)12x．∵2536]2)12([251)(2xxxg．∴当x＝12-x，即x＝6时，2536)(maxxg（万件）．故6月份该商品的需求量最大，最大需求量为2436万件．（2）依题意，对一切x{1，2，…，12}有)()()2()1(xfxgggpx．∴)235)(1(1501xxp（x＝1，2，…，12）．∵)23335(1501)(2xxxh]433281369[15012x∴14.1)8()(maxhxh．故p≥1.14．故每个月至少投放1.14万件，可以保证每个月都保证供应．21．（1）按题意，得)1(log)(22logmaxaxfaa．∴．，01022即2．又)1(log)(22logminaxfaa∴关于x的方程)1(log22logxaxxaa．在（2，＋∞）内有二不等实根x＝、．关于x的二次方程xaax)1(20)1(2a在（2，＋∞）内有二异根、．9100)1(2)1(242210)1(8)1(102aaaaaaaaaaa且．故910a．（2）令)1(2)1()(2axaaxxΦ，则)218(4)4()2(aaΦΦ)19(8aa0．∴42．