高考三月高三第二次联考数学试题(理科)

湖北省八校联考三月高三第二次联考数学试题（理科）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间120分钟.第I卷（选择题，共60分）参考公式：如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）.如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）=P（A）·P（B）.如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=CknPk(1－P)n－k球的表面积公式S=42R其中R表示球的半径球的体积公式V=334R其中R表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．计算iii21)1)(2(2（）A．2B．－2C．2iD．－2i2．将抛物线xy42沿向量a平移得到抛物线.442xyy则向量a为（）A．（－1，2）B．（1，－2）C．（－4，2）D．（4，－2）3．从2004年名学生中选取50名组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2004人中剔除4人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行.则每人入选的概率（）A．不全相等B．均不相等C．都相等，且为100225D．都相等，且为4014．计算32lim221xxxxx（）鄂南高中华师一附中黄冈中学黄石二中荆州中学孝感高中襄樊四中襄樊五中A．0B．41C．1D．不存在5．设b、c表示两条直线，、表示两个平面，下列命题中真命题是（）A．若//,cb，则.//cbB．若.//,//,ccbb则C．若.,,//则ccD．若.,,//cc则6．下列四个函数：①|,tan|xy②|,|lgxy③),2sin(xy④xy2其中是偶函数，又在区间（－1，1）内连续的函数的个数是（）A．0B．1C．2D．37．已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率等于（）A．53B．54C．135D．13128．在200443)1()1()1(xxx的展开式中3x系数等于（）A．42004CB．42005CC．232004CD．232005C9．已知0a，集合}1|{},|2||{xaxBaxxA，若BA，则实数a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（0，1）C．（0，1）),2(D．（0，1）),1(10．实数x、y满足不等式组11,02200xyWyxyxy则的取值范围是（）A．[－1，]31B．]31,21[C．[－),21D．[－)1,2111．若函数)0(cossin)(xaxxf的图象关于点M（)0,3对称，且在6x处函数有最小值.则a的一个可能的取值是（）A．0B．3C．6D．912．有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有（）A．240种B．192种C．96种D．48种第II卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填写在题中横线上.13．若a、b、c、d均为实数，使不等式0dcba和bcad都成立的一组值（a，b，c，d）是.（只要写出适合条件的一组值即可）14．正四棱锥P—ABCD的五个顶点在同一球面上，若正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为26，则此球的表面积为.15．已知动圆P与定圆C：22)2(yx=1相外切，又与定值线L：1x相切，那么动圆的圆心P的轨迹方程是.16．如图，第n个图形是由正2n边形“扩展”而来，（).,3,2,1n则第2n个图形中共有个顶点.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤.17．（本小题满分12分）已知复数2cos2sin3BAiBAz的摸mnBmAz,2,2.2||且、.Zn求BAtantan的值.18．（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱ABC—A1B1C1中，侧面AA1B1B⊥底面ABC，侧棱AA1与底面ABC成60°的角，AA1=2.底面ABC是边长为2的正三角形，其重心为G点.E是线段BC1上一点，且BE=31BC1.（1）求证：GE//侧面AA1B1B；（2）求平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小.19．（本小题满分12分）数列{na}的前n项和nS满足：).(32NnnaSnn（1）求数列{na}的通项公式na；（2）数列{na}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由.20．（本小题满分12分）某先生居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班.若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图.（例如：A→C→D算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为101，路段CD发生堵车事件的概率为).151（1）请你为其选择一条由A到B的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小；（2）若记路线A→C→F→B中遇到堵车次数为随机变量，求的数学期望.E21．（本小题满分14分）（1）在双曲线1xy上任取不同三点A、B、C，证明△ABC的垂心H也在该双曲线上.（2）若A、B是双曲线1xy在第一象限内的一支上的两点，且|AB|=2.求线段AB的中点M的轨迹方程；（3）在（2）的条件下，求点M（yx,）的横、纵坐标之积xy的取值范围.22．（本小题满分12分）已知函数)0.()1ln(1)(xxxxf（1）函数)(xf在区间（0，+）上是增函数还是减函数？证明你的结论；（2）若当0x时，1)(xkxf恒成立，求正整数k的最大值.2004年三月高三第二次联考数学（理科）参考答案及评分细则一、AACBCCBBCDDB二、13．（2，1，－3，－2）（只要写出的一组值适合条件即可）14．3615．xy8216．nn2三、17．解：依题意有（2)2(cos)2sin322BABA……3′.22)cos(12)cos(13BABA……6′.0)sinsincos(cos)sinsincos(cos3,0)cos()cos(3BABABABABABA21tantan,sinsin2coscosBABABA……12′18．解法1：（1）延长B1E交BC于F，ECB1∽△FEB，BE=21EC1∴BF=21B1C1=21BC，从而F为BC的中点.……2′∵G为△ABC的重心，∴A、G、F三点共线.且11//,31ABGEFBFEFAFG，又GE侧面AA1B1B，∴GE//侧面AA1B1B……6′（2）在侧面AA1B1B内，过B1作B1H⊥AB，垂足为H，∵侧面AA1B1B⊥底面ABC，∴B1H⊥底面ABC.又侧棱AA1与底面ABC成60°的角，AA1=2，∴∠B1BH=60°，BH=1，B1H=.3在底面ABC内，过H作HT⊥AF，垂足为T，连B1T.由三垂线定理有B1T⊥AF，又平面B1CE与底面ABC的交线为AF，∴∠B1TH为所求二面角的平面角.……9′∴AH=AB+BH=3，∠HAT=30°，∴HT=AH2330sin，在Rt△B1HT中，332tan11HTHBTHB，从而平面B1GE与底面ABC成锐二面角的大小为332arctan……12′解法2：（1）∵侧面AA1B1B⊥底面ABC，侧棱AA1与底面ABC成60°的角，∴∠A1AB=60°，又AA1=AB=2，取AB的中点O，则AO⊥底面ABC.以O为原点建立空间直角坐标系O—xyz如图.则A（0，－1，0），B（0，1，0），C（3，0，0），A1（0，0，3），B1（0，2，3），C1（3，1，3）.……3′∵G为△ABC的重心，∴G（33，0，0），131BCBE∴E（33，1，33）∴.31)33,1,0(1ABCE又GE侧面AA1B1B，∴GE//侧面AA1B1B……6′（2）设平面B1GE的法向量为).,,(cban则由;033233001cbaGEnEBn得及.033cb可取).3,1,3(n……8′又底面ABC的法向量为),1,0,0(m…9′设平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小为，则.721arccos,721||||cosnmnm……12′19．解：（1）当Nn时有：),1(32,3211naSnaSnnnn两式相减得：32322111nnnnnaaaaa……3′5063,3,324)3(23111111aaaSaaann又∴数列{3na}是首项6，公比为2的等比数列.从而7.323,26311nnnaa另解：归纳猜想再用数学归纳法证，过程略，请相应给分.（2）假设数列{na}中存在三项)(,,,tsraaatsr，它们可以构成等差数列，,tsraaa只能是straaa2，)323(2)323()323(str即1222str……9′rtsrrsrt,.(*)2211、s、t均为正整数，∴（*）式左边为奇数右边为偶数，不可能成立.因此数列{na}中不存在可以构成等差数列的三项.……12′20．解：（1）记路段MN发生堵车事件为MN.因为各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以路线A→C→D→B中遇到堵车的概率P1为1－P（)()()(1)DBPCDPACPDBCDAC=1－[1－P（AC）][1－P（CD）][1－P（DB）]=1－103651514109；……2′同理：路线A→C→F→B中遇到堵车的概率P2为1－P（)103(800239)小于FBCFAC…3′路线A→E→F→B中遇到堵车的概率P3为1－P（)103(30091)小于FBEFAE……4′显然要使得由A到B的路线途中发生堵车事件的概率最小.只可能在以上三条路线中选择.因此选择路线A→C→F→B，可使得途中发生堵车事件的概率最小.……6′（2）路线A→C→F→B中遇到堵车次数可取值为0，1，2，3.8.24006371212017109121120310912112017101)()()()1(7,800561)()0(FBCFACPFBCFACPFBCFACPPFBCFACPP.31240033240077224006371800561001,24003121203101)()3(9,24007712120310912120171011211203101)()()()2(EFBCFACPPFBCFACPFBCFACPFBCFACPP答：路线A→C→F→B中遇到堵车次数的数学期望为21.3121．解（1）（方法1）在双曲线1xy上任取不同三点)1,(11xxA、)1,(22xxB、)1,(33xxC设△ABC的垂心H为),(yx.由0)11,()1,(232311xxxxxyxxBCAH，及23xx得：11321)(xxxxxy…………①………………2′同理由22311)(0xxxxxyCABH有…………②…………3′由①、②解得：321321,1xxxyxxxx.H点的坐标适合方程1xy，ABC的垂心H也该双曲线上.…………5′（方法2）求出两条高线方程，解出H坐标，仿上给分.（2）设)1,(11xxA、)1,(22xxB，),,(),,0,0(2121yxMxxxx且由已知有：221x