高考复习上海市高三数学十校联考试卷(理科)(解答)

2005年上海市高三数学十校联考试卷（理科）（解答）(南模、复兴、上外、复旦附中、延安、华东师大二附中、上海、上师大附中、交大附中、向明)一、填空题：1、若集合32xxA，集合03xxxB，则BA5,30,1。2、函数32log31xxxf的反函数的定义域是1,。3、已知椭圆1121622yx的左焦点是1F，右焦点是2F，点P在椭圆上，如果线段1PF的中点在y轴上，那么21:PFPF3:5。4、化简：xxxxx2sinsincsccossec21。5、已知2,1,1,1OBOA，以OBOA,为边作平行四边形OACB，则OC与AB的夹角为55arccos。6、在集合10,,3,2,1,6nnxx中任取一个元素，所取元素恰好满足方程21cosx的概率是51。7、正方体1111DCBAABCD中，与1AD异面，且与1AD所成角为60的面对角线共有4条。8、曲线142xxy的长度是34。9、若复数z满足iazai1，且z在复平面内所对应的点位于x轴的上方，则实数a的取值范围是1,1。10、一质点在直角坐标平面上沿直线匀速行进，上午7时和9时该动点的坐标依次为2,1和2,3，则下午5时该点的坐标是18,11。11、若对任意实数yx,都有3232324150522222yyxayyxayyxayxayx55442yayyxa，则543210aaaaaa243。12、对于各数互不相等的正数数组niii,,,21（n是不小于2的正整数），如果在qp时有qpii，则称pi与qi是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为此数组的“逆序数”。例如，数组1,3,4,2中有逆序“2，1”，“4，3”，“4，1”，“3，2”，其“逆序数”等于4。若各数互不相等的正数数组654321,,,,,aaaaaa的“逆序数”是2，则123456,,,,,aaaaaa的“逆序数”是13。二、选择题：13、若角和的始边都是x轴的正半轴，则是两角终边互为反向延长线的（A）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件14、函数21xxxf（A）（A）在1,1上单调递增（B）在0,1上单调递增，在1,0上单调递减（C）在1,1上单调递减（D）在0,1上单调递减，在1,0上单调递增15、2005年1月6日《文汇报》载当日我国人口达到13亿，如图为该报提供的我国人口统计数据。2000年第五次全国人口普查后，专家们估算我国人口数的峰值为16亿，如果我国的人口增长率维持在最近几年的水平，那么，我国人口数大致在年左右达到峰值。（B）16、定义域和值域均为aa,（常数0a）的函数xfy和xgy的图像如图所示，给出下列四个命题：（1）方程0xgf有且仅有三个解；（2）方程0xfg有且仅有三个解；（3）方程0xff有且仅有九个解；（4）方程0xgg有且仅有一个解。那么，其中正确命题的个数是（B）（A）1（B）2（C）3（D）4三、解答题：17、在一个圆形波浪实验水池的中心有三个振动源，假如不计其它因素，在t秒内，它们引发的水面波动可分别由函数32sin,sin21tyty和34sin3ty描述。如果两个振动源同时启动，则水面波动由两个函数的和表达。在某一时刻使这三个振动源同时开始工作，那么，原本平静的水面将呈现怎样的状态，请说明理由。解：由愿意得34sin32sinsin321tttyyy0sin23sin21sin23sin21sinttttt即三个振动源产生的振动被相互抵消，所以，原本平静的水面仍保持平静。18、解关于x的不等式xxxx221222解：12212222xxxx，∵02x，∴021222xx若1，则x221，即2log210x；若1，则x；若10，则122x，即0log212x；若0，则0x。19、过直角坐标平面xOy中的抛物线022ppxy的焦点F作一条倾斜角为4的直线与抛物线相交于A，B两点。（1）用p表示A，B之间的距离；（2）证明：AOB的大小是与p无关的定值，并求出这个值。解：（1）焦点0,1F，过抛物线的焦点且倾斜角为4的直线方程是2pxy由222pxypxy04322ppxx4,32pxxpxxBABAppxxABBA4(或ppAB44sin22)（2）222222222222222cosBBAABABABBAAyxyxyyxxyxyxBOAOABBOAOAOB4141342422222222pxxpxxxxpxxpxxyxyxyyxxBABABABABABBAABABA∴AOB的大小是与p无关的定值，AOB41413arccos。20、一个多面体的直观图，前视图（正前方观察），俯视图（正上方观察），侧视图（左侧正前方观察）如下所示。（1）求AA1与平面ABCD所成角的大小及面11DAA与面ABCD所成二面角的大小；（2）求此多面体的表面积和体积。解：（1）由已知图可得，平面ABA1平面ABCD，取AB中点H，连接HA1，在等腰ABA1中有ABHA1，则HA1平面ABCD，ABA1是AA1与平面ABCD所成角，AHBA21，∴ABA12arctan取AD中点K，连接KHKD,1，同理有KD1平面ABCD，即AHK是11DAA在平面ABCD内的射影，在11DAA中，aDAaADAA22,251111，28311aSDAA又281aSAHK，设面11DAA与面ABCD所成二面角的大小为，则31cos11DAAAHKSS∴面11DAA与面ABCD所成二面角的大小为31arccos。（2）此多面体的表面积22222522214834aaaaaS此多面体的体积33652221314aaaaaV21、已知数列na有aa1，pa2（常数0p），对任意的正整数n，nnaaaS21，并有nS满足2)(1aanSnn。（1）求a的值；（2）试确定数列na是否是等差数列，若是，求出其通项公式，若不是，说明理由；（3）对于数列nb，假如存在一个常数b使得对任意的正整数n都有bbn，且bbnnlim，则称b为数列nb的“上渐近值”，令2112nnnnnSSSSp，求数列npppn221的“上渐近值”。解：（1）021111aaaS，即0a（2）2111nnnnnannaSSa121nnannapnannnn112233432212∴na是一个以0为首项，p为公差的等差数列。（3）2121pnnaanSnn，2112nnnnnSSSSp2112222nnnnnn∴21111116141513141213112221nnnnnpppn321112321112112nnnn又∵32lim21npppnn，∴数列npppn221的“上渐近值”为3。22、（1）若直角三角形两直角边长之和为12，求其周长p的最小值；（2）若三角形有一个内角为97arccos，周长为定值p，求面积S的最大值；（3）为了研究边长cba,,满足3489cba的三角形其面积是否存在最大值，现有解法如下：))()()((162cbacbacbacbaS22222242222)()(2])(][)[(bacbacbaccba2222224)]([babac而64,81,0)]([222222babac，则36S，但是，其中等号成立的条件是8,9,222babac，于是1452c与43c矛盾，所以，此三角形的面积不存在最大值。以上解答是否正确？若不正确，请你给出正确的答案。（注：))()()((162cbacbacbacbaS称为三角形面积的海伦公式，它已经被证明是正确的）解：（1）设直角三角形两直角边长为x、x12，斜边长为y，则26726212222xxxy∴两直角边长为6时，周长p的最小值为2612。（2）设三角形中边长为x、y的两边所夹的角为97arccos，则周长p97222xyyxyx∴xyxyxyxyp3891422，即2649pxy又S232292297arccossin21pxyxy，∴面积S的最大值为2322p。（3）不正确。))()()((162cbacbacbacbaS22222242222)()(2])(][)[(cbacbacbaacb2222224)]([cbcba而16,64,0)]([222222cbcba，则16S，其中等号成立的条件是4,8,222cbcba，则54a∴当三角形的边长为4,8,54的直角三角形时，其面积取得最大值16。（另法：1690sin4821sin21AbcS）