复数的有关概念

课时7复数的有关概念一．复习目标了解引进复数的必要性；理解复数的有关概念；掌握复数的代数表示及向量表示。二．例题讲解例1．下列四个命题中是真命题的是（D）A．12i的共轭复数是12iB．若两个复数的差的纯虚数，则它们一定为共轭复数C．若两个复数的和为实数，则它们为共轭复数D．若两个虚数的和与积都为实数，则它们为共轭复数例2．实数m分别取什么数值时，复数immmmz)152()65(22是：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）对应点在x轴上方；（5）对应点在直线05yx上。解：（1）由01522mm，得知：5m或3m时，z为实数；（2）由01522mm，得知：5m且3m时，z为虚数；（3）由065015222mmmm，得2m时，z为纯虚数；（4）由05)152()65(22mmmm，得知：4413m或4413m，z的对应点在直线05yx上。例3．设关于x的的方程是0)2()(tan2ixix；（1）若方程有实数根，求锐角和实数根；（2）证明：对任意)(2Zkk，方程无纯虚根。解：（1）设实数根是a，则0)2()(tan2ixia，即2tan2aa0)1(ia，∵a、Rtan，;01,02tan2aaa∴,1a且1tan，又20，∴1,4a；（2）若有纯虚数根)0,(Ri，则0)2()()(tan)(2iiii，∴022，且01tan这不可能。例4．已知itz333，其中Ct，且33tt为纯虚数。（1）求t的对应点的轨迹；（2）求||z的最大值、最小值。解：设),(Ryxyixt，则2222)3(693333yxyiyxyixyixtt∵33tt为纯虚数，∴0922yyxt的对应点的轨迹是以原点为圆心，3为半径的圆，并除去(-3,0)，(3,0)两点。（2）由t的轨迹可知,3||t∴3|)333(|it，圆心对应i333，半径为3。∴||z的最大值为9，最小值为3。三、同步练习：《高考三人行—学生用书》P362课时8复数的代数形式及其运算一、复习目标熟练掌握复数代数形式的加、减、乘、除运算法则，灵活利用i、的性质，或适当变形，创造条件，从而转化为关于i、的计算问题，同理要注意复数整体思想的把握以及复数运算几何意义的利用。二、例题讲解例1．（1）对于20042004)21()21(iiz，下列列结论成立的是（D）A．z是零B．z是纯虚数C．z是正实数D．z是负实数（2）32121232nnnniiii的值为（B）A．-2B．0C．2D．4（3）设非零复数x、y满足022yxyx则代数式20052005)()(yxyyxx的值是（B）A．19892B．-1C．1D．0（4）已知函数1510105)(2345xxxxxxf，则)2321(if的值是_____________(i2321)例2．设i为虚数单位，复数z和满足0122iizz。（1）若z和又满足iz2，求z和的值。（2）求证：如果3||z，那么|4|i的值是一个常数，并求这个常数。解：（1）∵iz2，∴iz2，代入0122iizz得：012)2(2)2(iiii即0524ii，设),(Ryxyix，则上式可变为：025622xiyyx。∴100205622yxxyyx或50yx。∴izi,或izi3,5。（2）法一：由0122iizz有|12||2|||12)2(iiziiz设),(Ryxyix，则有1444)44(32222yyxyyx，∴11822yyx33168|)4(||4|22yyxiyxi，∴|4|i的值是一个常数，且等于33。证法二：由0122iizz有|12||2|||12)2(iiziiz1144)12)(12()2)(2(3iiiiii，所以，271644)4)(4(|4|2iiiii，以下同上。例3．设z是虚数，zz1是实数，但21，（1）求||z的值及z的实部的取值范围；（2）设zzu11，求证：u为纯虚数；（3）求2u的最小值。（1）解：||z=1，z的实部的取值范围是)1,21(（2）证明：略（3）解：2u的最小值为1。