第一学期期中考试高三数学试卷

第一学期期中考试高三数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页。共150分。考试用时120分钟。第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1.答卷前，将自己的班级、姓名、学号填在试卷指定的位置上．2.每小题选出答案后，填在答题卡指定的位置上．一．选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)．ii112A．1B．-1C．iD．i(2)．已知集合aaNM2,,1,0,1，若MNM，则实数a的值是A．0B．1C．-1D．1或-1(3).已知54sin，且2，则tan等于A．43B．34C．34D．34(4)．函数xy11log21在区间),0(上是A．增函数，且0yB．增函数，且0yC．减函数，且0yD．减函数，且0y(5).已知函数)1(xf是偶函数，当1x时，12xy，则当1x时，yA．432xxB．xx22C．342xxD．342xx(6)．数列an满足条件Saann2,211，则该数列是A．等差数列B．等比数列C．从第二项起是等差数列D．从第二项起是等比数列(7)．已知)(xf是可导的偶函数，且kxf)(0'，则)(0'xfA．kB．kC．k1D．k1(８).设11-x1)1(log)(21xxxxf,若1)(0xf，则x0的取值范围是A.,221,B.,21C.,21,21D.2,21(９)．已知数列4,,,121aa成等差数列，4,,,,1321bbb成等比数列，则baa212的值为A．21B．21C．21或21D．41(10)．已知121)(xxf，则)(1xfy的图象是A．B．C．D．（11）．若数列an的前n项和211nnS，则aaaann1111lim321的值为A.32B.65C.34D.61(12)．已知方程3log21xxa有一根的范围是（2，4），则实数a的值是A.4,141,0B.4,2C.22,41D.21,41第Ⅱ卷（非选择题,共90分）二．填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.(13)．若等差数列an中，7,375aa，则aaaaa109876.(14)．若22222lim222xxxax，则a．(15)．有6名学生借助互连网学习，每个学生上网的概率都是0.5（相互独立），设同时上网的人数为．E=；D=．（16）．已知定义在R上的偶函数)(xf满足)()1(xfxf，且在区间[-1，0]上是增函数，给出下面关于)(xf的命题：①)(xf是周期函数；②)(xf在[1，2]上是减函数；③)(xf的图象关于1x对称；④若]1,0[)(xxfy的反函数为)(1xfy，则]4,3[)(xxfy的反函数为)(41xfy．其中真命题的序号是．三．解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分)已知xxxxf11ln1)(．（Ⅰ）求)(xf的定义域，判断其奇偶性；（Ⅱ）判断)(xf在定义域上的单调性，并证明之．(18)(本小题满分12分)数列an中，02,311aaann,数列bn中，)(1*Nnabnnn．（Ⅰ）求数列an通项公式；（Ⅱ）求数列bn通项公式与前n项的和．(19)(本小题满分12分)设0a．p：函数)1(2aayx在区间),(上是增函数；q：不等式01)1(2xax的解集为R；如果p和q有且只有一个是真命题，求实数a的取值范围．(20)(本小题满分12分)．已知函数122)(xaxf是定义在R上的奇函数．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求)(xf的反函数)(1xf及其定义域；（Ⅲ）解关于x的不等式1)(1xf．(21)(本小题满分12分)已知有三个镇分别位于A、B、C三地，若AB=AC，AD⊥BC，D为垂足，AD相距)0(aakm,BC相距4km．现要在BC的垂直平分线上选一点P建一个变电站．（Ⅰ）若6a，点Ｐ距各镇多远时，才能使送变电线路最短；（Ⅱ）要使点Ｐ到三镇的最远距离为最小，点Ｐ应位于何处？(22)(本小题满分14分)设an为函数)()21()21)(21)(21()(*32Nnxxxxxfnn展开式中x2的系数．（Ⅰ）求a2，a3的值；（Ⅱ）证明对任意2n，)12)(12(381nnna；（Ⅲ）求nkkna212lim第一学期期中考试高三数学答案一、选择题：BCDBDDBCACBC二、填空题：13、-6014、315、23,316、①③④三、解答题：17、解：（1）∵xx110且x≠0即11xx0且x≠0∴-1x0或0x1∴定义域为（-1，0）∪（0，1）∵又f(-x)=x1+lnxx11∴f(x)+f(-x)=ln1=0即f(x)是奇函数.（2）设x1,x2∈(0,1)，且x1x2，则f(x1)-f(x2)=11x+ln1111xx+21x-ln2211xx=2121xxxx+ln))(())((21211111xxxx∵0x1x21∴x1-x20,x1x20,01+x11+x2,01-x21-x1,∴02111xx1,01211xx1∴0))(())((21211111xxxx1即ln))(())((21211111xxxx0∴f(x1)-f(x2)0∴f(x1)f(x2)∴f(x)在(0,1)上是增函数,又∵f(x)是奇函数∴f(x)在(-1,0)上也是增函数18、解：（1）∵a1=3,an+1-2an=0∴{an}是首项为3，公比为2的等比数列∴an=3•2n-1（2）∵bn•an=(-1)n∴bn=(-1)n•na1=(-1)n•1231n∴Sn=b1+b2+…+bn=-31+231+…+(-1)n1231n=21121131n)(=-n)(21192=12192n)(19、如果P是真命题，则a2-a-11∴a2-a-20∴a-1或a2又∵a0∴a2如果q是真命题，则Δ=(a-1)2-40∴-1a3又∵a0∴0a3∵P与q中有且只有一个真命题，∴0a≤2或a≥3故a∈(0,2)∪[3,+∞]20、解：（1）∵f(x)在R上有定义，且f(x)是奇函数∴f(0)=0∴a-1=0即a=1（2）∵y=1-122x∴2x+1=y12∴2x=yy11∴x=log2yy11∴y=f-1(x)=log2yy11(-1x1)（3）∵f-1(x)1∴log2yy111∴xx110且xx112解得-1x31∴不等式f-1(x)1的解集是(-1,31)21、解：（1）如图，设PD=xkm，供电线路总长为ykm，则ABCPDy=2)(xx642(0≤x≤6)∴y,=1422xx令y,=0得2x=42x，∴x=332∴当点P距A地6-332km，距B、C两地都是334km时，供电线路最短。42x,42x≥|a-x|（2）点P到三镇的最远距离为f(x)=|a-x|.42x|a-x|由42x≥|a-x|得2ax≥a2-4即x≥aa242，∴当a≥2时，42x在(aa242,+∞)是增函数，|a-x|在(0,aa242)上是减函数，∴当x=aa242时，f(x)取最小值，此时P在D上方aa242km处，又∵当0a2时，42x在x=0处取最小值2，而|a-x|在(-∞,aa242)上是减函数，其最小值|a-x|2此时点P与D重合。22、解：（1）∵f2(x)=(1+2x)(1+22x)∴展开式中x2的系数为2•22∴a2=2•22=8同理f3(x)=(1+2x)(1+22x)(1+23x)，∴展开式中x2的系数为2•22+(2+22)23∴a3=2•22+(2+22)23=56（2）①当n=2时，左=a2=8，右=38(22-1)(2-1)=8，∴左=右，即等式成立。②假设当n=k(k≥2)时，等式成立，即ak=38(2k-1)(2k-1-1)，∴ak+1=ak+(2+22+…+2k)•2k+1=38(2k-1)(2k-1-1)+212)21(21kk=38(2k-1)(2k-1+83•2k+2)=38(2k-1)(4•2k-1-1)=38(2k+1-1)(2k-1)∴当n=k+1时等式成立，由①②可知对一切大于等2的正整数，等式均成立。（3）∵an=38(2n-1)(2n-1-1)∴)121121(83)12)(12(82321111kkkkkkka∴nkkka212=nkkk21)12121(83=)1211(83n∴nlimnkkka212=nlim)1211(83n=83