第一学期期末数学练习

高三第一学期期末练习数学一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若713，则（）A．0cos0sin且B．0cos0sin且C．0cos0sin且D．0cos0sin且2．已知直线02)1(:1yxal与直线01)22(:2yaaxl互相垂直，则实数a的值为（）A．－1或2B．－1或－2C．1或2D．1或－23．已知m,l是异面直线，那么①必存在平面α，过m且与l平行；②必存在平面β，过m且与l垂直；③必存在平面γ，与m，l都垂直；④必存在平面π，与m，l的距离都相等.其中正确的结论是（）A．①②B．①③C．②③D．①④4．（理）要得到函数y=sin2x的图象，可以把函数)42sin(xy的图象（）A．向左平移8个单位B．向右平移8个单位C．向左平移4个单位D．向右平移4个单位（文）要得到函数)42sin(xy的图象，可以把函数y=sin2x的图象（）A．向左平移8个单位B．向右平移8个单位C．向左平移4个单位D．向右平移4个单位5．设圆锥的母线与其底面成30°角，若圆锥的轴截面的面积为S，则圆锥的侧面积等于（）A．S21B．SC．2SD．4S6．已知点A（－2，0）及点B（0，2），C是圆x2+y2=1上一个动点，则△ABC的面积的最小值为（）A．22B．2+2C．2D．2227．（理）从8盆不同的鲜花中选出4盆摆成一排，其中甲、乙两盆不同时展出的摆法种数为（）A．1320B．960C．600D．360（文）从8盆不同的鲜花中选出4盆摆成一排，其中甲、乙两盆有且仅有一盆展出的不同摆法种数为（）A．1320B．960C．600D．3608．设函数f(x)的定义域[－4，4]，其图象如图，那么不等式0sin)(xxf的解集为（）A．[－2，1]B．[－4，－2]∪[1，4]C．[－4，－π]∪[－2，0]∪[1，π]D．不同于（A）、（B）、（C）二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．在△ABC中，AB=2，BC=3，AC=7，则△ABC的面积为，△ABC的外接圆的面积为.10．在公差为d（d≠0）的等差数列{an}及公比为q的等比数列{bn}中，已知a1=b1=1，a2=b2，a8=b3，则d=；q=.11．（理）设a，b都是正实数，且2a+b=1，设T=2242baab则当a=且b=时，T的最大值为.（文）设a，b都是正实数，且a+b=1，设T=222baab则当a=且b=时，T的最大值为.12．设函数),1,0(log)(aaxxfa函数cbxxxg2)(且)(,21)12()22(xgff的图象过点A（4，－5）及B（－2，－5），则a=；函数)]([xgf的定义域为.13．（理）定义运算：bcaddcba，若复数),(Ryxyixz满足111z的模等于x，则复数z对应的Z（x，y）的轨迹方程为；其图形为.（文）定义运算：bcaddcba，若复数),(Ryxyixz满足111z=2，则x；y=.14．如图，矩形ABCD中，DC=3，AD=1，在DC上截取DE=1，将△ADE沿AE翻折到D′点，当D′在平面ABC上的射影落在AE上时，四棱锥D′—ABCE的体积是；当D′在平面ABC上的射影落在AC上时，二面角D′—AE—B的平面角的余弦值是.三、解答题：本大题共6个小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（本小题满分12分）已知：函数)()]4cos()4[sin()4(cos2)(22Rxxxxxf.（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；（Ⅱ）当函数f(x)取得最大值时，求自变量x的集合.16．（本小题满分12分）（理科学生做）解关于x的不等式：)10()(12aaaaxx且.（文科学生做）解不等式：1224xx.17．（本小题满分16分）在正方体ABCD—A1B1C1D1，棱长AA1=2.（Ⅰ）E为棱CC1的中点，求证：B1D1⊥AE；（Ⅱ）（理科学生做）求二面角C—AE—B的平面角的正切值；（文科学生做）求二面角E—AB—C的平面角的正切值；（Ⅲ）求点D1到平面EAB的距离.18．（本小题12分）有一组数据：),(,,,2121nnxxxxxx它们的算术平均值为10，若去掉其中最大的一个，余下的数据的算术平均值为9；若去掉其中最小的一个，余下数据的算术平均值为11.（Ⅰ）求出第一个数1x关于n的表达式及第n个数nx关于n的表达式.（Ⅱ）若nxxx,,,21都是正整数，试求第n个数nx的最大值，并举出满足题目要求且nx取到最大值的一组数据.19．（本小题满分16分）在直角坐标平面内，已知两点A（－2，0）及B（2，0），动点Q到点A的距离为6，线段BQ的垂直平分线交AQ于点P.（Ⅰ）证明|PA|+|PB|为常数，并写出点P的轨迹T的方程；（Ⅱ）（理科学生做）过点B的直线l与曲线T相交于M、N两点，线段MN的中点R与点S（－1，0）的连线的纵截距为t，试求t的取值范围.（文科学生做）过点B且倾斜角为120°的直线l与曲线T相交于M、N两点，试求△AMN的面积.20．（本小题满分12分）已知定义域为[0，1]的函数f(x)同时满足：（1）对于任意0)(],1,0[xfx总有；（2）f(1)=1（3）若)()()(,1,0,021212121xfxfxxfxxxx则有（Ⅰ）试求f(0)的值；（Ⅱ）试求函数f(x)的最大值；（Ⅲ）（理科学生做，文科学生不做）试证明：满足上述条件的函数f(x)对一切实数x，都有xxf2)(.高三数学参考答案及评分标准一、选择题（每小题5分，共40分）1.C2.B3.D4.理A文B5.C6.A7.理A文B8.D二、填空题（每小题5分，其中第一空3分，第二空2分，共30分.）9．37;23310．5；611．理：2122;21;41文：21;21;2112．2；－1x313．理：)21(22xy抛物线文：3；01432;12262三、解答题（共80分）15．（本题满分12分）解：)22sin(1)22cos(1)(xxxf…………3分=sin2x－cos2x…………5分=)42sin(2x…………7分∴)(xf的最小正周期T=π…………8分当)(xf取得最大值时，只须2242kx…………10分即)(83zkkxx∴当)(xf取得最大值时，自变量x的集合为zkkxx,83|……12分16．（本题满分12分）（理科）解：原不等式可以化成212xxaa…………2分（Ⅰ）当a1时，原不等式为212xx上述不等式021112)2(401022xxxxxxx或…………5分解得：1271xx或即72x…………7分（Ⅱ）当0a1时，原不等式为212xx上述不等式128401022xxxxx…………9分解得：x7…………12分综合（Ⅰ）（Ⅱ）可得当a1时，原不等式的解集为}72|{xx当0a1时，原不等式的解集为}.7|{xx（文科）解：原不等式可以化成12222xx…………2分即122xx…………4分上述不等式021112)2(401022xxxxxxx或…………8分解得：1271xx或…………12分即原不等式的解集为}.72|{xx17．（本题满16分）（1）证明：连结A1C1.∵AA1⊥平面A1C1∴A1C1是AE在平面A1C1上的射影.在正方形A1B1C1D1中，B1D1⊥A1C1∴B1D1⊥AE…………5分（2）（理科）连结BD交AC于O，过B点BF⊥AE交AE于F，连结OF.∵EC⊥平面AC，在正方形ABCD中，BD⊥AC，∴BD⊥平面ACE.∴OF是BF在平面EAC上的射影，∴AE⊥FO.∴∠BFO是二面角B—AE—C的平面角.……9分在正方形ABCD中，BO=AO=221AC，在Rt△ACE中，AE=3，∵△AOF∽△AEC，∴ECAEOFOA∴32312AEECOAOF在Rt△BOF中，3OFOBBFOtg…………11分（文科）∵AB⊥平面BC1，BE平面BC1，BC平面BC1，∴BE⊥AB，BC⊥AB，∠EBC是二面角E—AB—C的平面角.…………9分在Rt△ECB中，21BCECEBCtg…………11分（3）过C1作C1G⊥BE交BE的延长线于G，∵AB⊥平面BC1，C1G平面BC1，∴AB⊥C1G，∴C1G⊥平面ABE.∵D1C1//AB，D1C1平面ABE，∴D1C1//平面ABE.∴D1到平面ABE的距离等于C1到平面ABE的距离……14分∵△C1GE∽△BCE，∴BEBCECGC11∴55251211BEECBCGC∴D1到不在ABE的距离等于552…………16分18．（本题满分12分）解：依条件：)3()1(11)2()1(9)1(103212121nxxxnxxxnxxxnnn…………3分（Ⅰ）由（1）－（2）得：9nxn再（1）－（3）得：x1=11－n……6分（Ⅱ）∵x1是正整数，∴x1=11－n≥1，101n，∴xn=n+9≤19…………10分当n=10时，8019,1932101xxxxx此时，取14,13,12,11,9,8,7,698765432xxxxxxxx即可,∴当n=10时，xn的最大值是19.………………12分19．（本题满分16分）解：（Ⅰ）连结PB.∵线段BQ的垂直平分线与AQ交于点P，∴|PB|=|PQ|.又|AQ|=6，∴|PA|+|PB|=|PA|+|PQ|=|AQ|=6（常数）.…………2分又|PA|+|PB||AB|，从而P点的轨迹T是中心在原点，以A、B为两个焦点，长轴在x轴上的椭圆，其中，2a=6，2c=4，∴椭圆方程为.15922yx…………6分（Ⅱ）（理科）当直线l与x轴垂直时，MN的中点为R（2，0）直线RS的纵截距t=0…………7分当直线l与x轴不垂直时，设其斜率为k，点M),(),,(),,(2211RRyxRyxNyx.由159)2(22yxxky，消去y整理得：0453636)95(2222kxkxk…………9分∴59362221kkxx，则5918)(212221kkxxxR5910)25918()2(222kkkkkxkyRR直线RS的方程为)1(527102xkky.令x=0，可得直线RS的纵截距.527102kkt如果k=0，则t=0；如果k≠0，则.52710kkt∵156||5||27|527|kkkk当且仅当915k时，等号成立.…………14分∴09159150tt或综上可知，所求t的取值范围是[－915，915].…………16分（文科）直线l斜率3120tgk，又l过B（2，0）点，其方程为)2(3xy由159)2(322xxxy，消去y整理得：32x2－108x+63=0…………9分设点M),,(),,(2211yxNyx则3263,827321082121xxxx|MN|=212212212214)(2)()(xxxxyyxx=2415815232634)827(2…………12分点A（－2，0）到直线l的距离为d，则321)3(|320)2(3|22d……14分∴△AMN的面积为4