2011年高考一轮课时训练(理)11.2.3空间向量在立体几何中的应用 (通用版)

第三节空间向量在立体几何中的应用一、选择题1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，PQ是异面直线A1D和AC的公垂线，则直线PQ与BD1的关系是()A．异面直线B．平行直线C．垂直但不相交D．垂直相交答案：B2．已知矩形ABCD，PA⊥平面ABCD，则以下不等式中可能不成立的是()A.PA→·AB→＝0B.PC→·BD→＝0C.PD→·AB→＝0D.PA→·CD→＝0答案：B3．将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD＝a，则三棱锥D—ABC的体积为()A.a36B.a312C.312a3D.212a3答案：D4．如下图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为()A．(1,1,1)B.23，23，1C.22，22，1D.24，24，1解析：∵M在EF上，设ME＝x，∴M22x，22x，1∵A(2，2，0)，D(2，0,0)，E(0,0,1)，B(0，2，0)∴ED→＝(2，0，－1)，EB→＝(0，2，－1)，AM→＝22x－2，22x－2，1，设平面BDE的法向量n＝(a，b，c)由n·ED→＝0n·EB→＝0，得c＝2ac＝2b.故可取一个法向量n＝(1,1，2)，有n·AM→＝0，∴x＝1，∴M22，22，1，故选C.答案：C5．如下图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，若E、F分别是BC、DD1中点，则B1到平面ABF的距离为()A.33B.55C.53D.255解析：(1)建立如右图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,1)，B1(1,1,0)，F0，0，12，E12，1，1，B(1,1,1)．AB→＝(0,1,0)，B1E→＝－12，0，1，FA→＝1，0，12，∵FA→·B1E→＝1，0，12·－12，0，1＝0.∴AF→⊥B1E→，又AB→⊥B1E→.∴B1E→⊥平面ABF.平面ABF的法向量为B1E→＝－12，0，1，AB1→＝(0,1，－1)．B1到平面ABF的距离为|AB1→·B1E→||B1E→|＝255.答案：D二、填空题6．如下图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，异面直线AC与BC1的夹角为____________．解析：以D为坐标原点，建立如题图空间坐标系，设正方体棱长为1，则A(1,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,1)则AC→＝(－1,1,0)，BC1→＝(－1,0,1)，∴cosθ＝|AC→·BC1→||AC→||BC1→|＝12·2＝12，∴θ＝60°，即AC与BC1的夹角为60°.答案：60°7．如下图所示，已知矩形ABCD中，|AD|＝3，|AB|＝4.将矩形ABCD沿对角线BD折起，使得面BCD⊥面ABD.现以D为原点，DB作为y轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系，此时点A恰好在xDy坐标平面内．则A，C两点的坐标分别是________，A，C两点的距离是______.解析：由于面BCD⊥面ABD，从面BCD引棱DB的垂线CF即为面ABD的垂线，同理可得AE即为面BCD的垂线，故只需求得AE，CF，DE，DF的长度即可．答案：A125，95，0，C0，165，12533758．如下图所示，已知棱长为a的正四面体ABCD中，E、F在BC上，G在AD上，E是BC的中点，CF＝14CB，AG＝14AD，给出下列四个命题：①AC⊥BD；②FG＝104a；③侧面与底面所成二面角的余弦值为13；④AE→·CB→＜AE→·CD→.其中真命题的序号是______________.答案：①②③三、解答题9．(2009年滨州模拟)如下图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形，且PA＝AD＝2,E、F分别为棱AD、PC的中点．(1)求异面直线EF和PB所成角的大小；(2)求证：平面PCE⊥平面PBC；(3)求二面角E－PC－D的大小.解析：以直线AB为x轴，直线AD为y轴，直线AP为z轴建立空间直角坐标系，如右图，则A(0,0,0),B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)．(1)∵E为AD的中点，∴E(0,1,0),又F为PC的中点，∴F(1,1,1)．∴EF→＝(1,0,1)．又PB→＝(2,0，－2)，∴cos〈EF→，PB→〉＝1×2＋1×－21＋1·4＋4＝0，∴cos〈EF→，PB→〉＝90°，异面直线EF和PB所成角的大小为90°.(2)证明：由(1)知EF⊥PB，又∵BC→＝(0,2,0)，EF→＝(1,0,1)∴EF→·BC→＝0,∴EF⊥BC.∴又EF⊂平面PCE,∴平面PCE⊥平面PBC.(3)过点D作DH⊥PC于H,在Rt△PDC中，PD＝22，DC＝2,PC＝23，则CH＝233，PH∶HC＝2∶1,又P(0,0,2)，C(2,2,0)，∴H43，43，23∴DH→＝43，－23，23，又EF→＝(1,0,1)，cos〈DH→，EF→〉＝2263×2＝32，∴〈DH→，EF→〉＝30°.∴二面角E－PC－D的大小为30°.10．(2009年北京卷)如右图所示，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．(1)求证：平面AEC⊥平面PDB；(2)当PD＝2AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．解析：法一：如右图，以D为原点建立空间直角坐标系D－xyz，设AB＝a，PD＝h，则A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，D(0,0,0)，P(0,0，h)，(1)∵AC→＝(－a，a,0)，DP→＝(0,0，h)，DB→＝(a，a,0)，∴AC→·DP→＝0，AC→·DB→＝0，∴AC⊥DP，AC⊥DB，∴AC⊥平面PDB，∴平面AEC⊥平面PDB.(2)当PD＝2AB且E为PB的中点时，P()0，0，2a，E12a，12a，22a，设AC∩BD＝O，连接OE,由(1)知AC⊥平面PDB于O，∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角，∵EA→＝12a，－12a，－22a，EO→＝0，0，－22a，∴cos∠AEO＝EA→·EO→|EA→|·|EO→|＝22，∴∠AOE＝45°，即AE与平面PDB所成的角的大小为45°.法二：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，∴平面AEC⊥平面PDB.(2)设AC∩BD＝O，连接OE，由(1)知AC⊥平面PDB于O，∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角，∴O，E分别为DB、PB的中点，∴OE∥PD，OE＝12PD，又∵PD⊥底面ABCD，∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，在Rt△AOE中，OE＝12PD＝22AB＝AO，∴∠AOE＝45°，即AE与平面PDB所成的角的大小为45°.