数学期望课件

《概率统计》下页结束返回第四章随机变量的数字特征何谓随机变量的数字特征？通常是指与随机变量有关的，虽然不能完整地刻划随机变量，但却能较为集中地反映随机变量某些方面的重要特征的一些数值.1.数学期望的概念及性质2.方差的概念及性质3.常见分布的数字特征4.协方差、相关系数的概念及性质下页《概率统计》下页结束返回一、离散型随机变量的数学期望引例．有甲、乙两射手各射击100次，他们的射击技术用下表给出：甲射手射击情况击中环数8910次数301060频率0.30.10.6乙射手射击情况击中环数8910次数205030频率0.20.50.3§4.1数学期望问谁的射击水平高？解：“射击水平”一般用平均击中环数来反映.所以，只要对他们的平均击中环数进行比较即可.下页《概率统计》下页结束返回甲射手射击情况击中环数8910次数301060频率0.30.10.6乙射手射击情况击中环数8910次数205030频率0.20.50.383091010609.3,100X甲82095010309.1,100X乙显然，甲射手的水平较高.下页问谁的射击水平高？解：“射击水平”一般用平均击中环数来反映.所以，只要对他们的平均击中环数进行比较即可.下面再对“平均击中环数”的计算过程进行分析.《概率统计》下页结束返回甲射手射击情况击中环数8910次数301060频率0.30.10.6乙射手射击情况击中环数8910次数205030频率0.20.50.33010608910100100100X甲显然,“平均击中环数”,是各种环数以频率为权的加权平均.下页83091010609.3,100X甲82095010309.1.100X乙80.390.1100.69.3,《概率统计》下页结束返回定义设离散型随机变量X的概率分布为P{X=xk}=pk，k=1,2,3…，1kkkpx1kkkpx1().kkkEXxp若级数绝对收敛，则称级数为X的数学期望(或均值)，记作E(X).301060891080.390.1100.69.3.100100100X甲下页显然,“平均击中环数”,是各种环数以频率为权的加权平均.数学期望的概念即《概率统计》下页结束返回例1.设离散型随机变量X,Y的分布如下表，求E(X),E(Y).此例说明了数学期望更完整地刻化了X的均值状态.下页X012P0.10.20.7Y012P0.70.20.1解：因为X的分布为所以，E(Y)=0×0.7+1×0.2+2×0.1=0.4.X012P0.10.20.7所以，E(X)=0×0.1+1×0.2+2×0.7=1.6；同理，因为Y的分布为Y012P0.70.20.1切记不要以为：数学期望（均值）就是随机变量所有可能取值之和，除以随机变量取值个数！《概率统计》下页结束返回例2.按规定，某公交车每天8点至9点和9点至10点都恰有一辆到站，各车到站的时刻是随机的，且各车到站的时间是相互独立的，其规律为下页E(X)=10×0.2+30×0.5+50×0.3=32(分钟).到站时刻8:10/9:108:30/9:308:50/9:50概率0.20.50.3①某乘客8:00到站，求他候车时间的数学期望；②某乘客8:20到站，求他候车时间的数学期望．解：设乘客候车时间为X(单位：分钟)，依题意知①X的分布律为X103050P0.20.50.3《概率统计》下页结束返回例2.按规定，某公交车每天8点至9点和9点至10点都恰有一辆到站，各车到站的时刻是随机的，且各车到站的时间是相互独立的，其规律为下页E(X)=10×0.5+30×0.3+…+90×0.2×0.3=28.4(分钟).到站时刻8:10/9:108:30/9:308:50/9:50概率0.20.50.3①某乘客8:00到站，求他候车时间的数学期望；②某乘客8:20到站，求他候车时间的数学期望．解：设乘客候车时间为X(单位：分钟)，依题意知②X的分布律为X1030507090P0.50.30.2×0.20.2×0.50.2×0.3事件{X=70}的意思是指，“第一辆车没坐上，但坐上了9:30到达的第二辆车”事件，所以，P{X=70}=0.2×0.5.《概率统计》下页结束返回例3.如何确定投资决策方向?某人有10万元现金，想投资于某项目，预估成功的机会为30%，可得利润8万元，失败的机会为70%，将损失2万元．若存入银行，同期间的利率为5%，问是否作此项投资?解:设X为投资利润，则()20.780.31(),EX万元存入银行的利息为,),(5.0510万元%故应选择投资.Xp823.07.0《概率统计》下页结束返回常见分布的期望⒈0-1分布概率分布为:X10Pp1-pE(X)=1×p+0×(1-p)=p.⒉二项分布设随机变量X～B(n,p),其概率分布为nknknkknkknkknkqpknknkqpCkpkXE000)!(!!)(nknkknkknkqpknknnpqpknkn111)!()!1()!1()!()!1(!101)!1()!()!1(njjnjqpjnjnnp1)(nqpnp.np{},0,1,2,,,1,kknknPXkCpqknqp下页《概率统计》下页结束返回⒊泊松分布设随机变量X~P(l)，其概率分布为10)!1(!)(kkkkekekkXEllll11)!1(kkkelll)!:(0xkkekx注意0)!(jjjelll.eellllllekkXPk!}{，k=0,1,2,3,…,l＞0,下页《概率统计》下页结束返回二、连续型随机变量的数学期望定义设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，如果积分dxxxf)(()().EXxfxdx绝对收敛，则称积分值为X的数学期望(或均值).记作E(X).下页数学期望的概念即《概率统计》下页结束返回例4．设随机变量X的概率密度为21,11(),10,xfxx其它求X的数学期望．解：()()EXxfxdxdxxx11211=0.因为，奇函数在对称区间上的积分等于0.下页《概率统计》下页结束返回⒋均匀分布设X～U[a,b]概率密度为,,0,1)(其它bxaabxfbadxabxdxxxfXE1)()(.2ba常见分布的期望00)()(xxxdedxxedxxxfXElll.1]|[000lllldxedxexexxx⒌指数分布设X～E(l)概率密度为下页,,00,)(其它xexfxll《概率统计》下页结束返回,,21)(222)(xexfx,21)(222)(dxexXEx得令,txdtedtetXEtt222221)(21)(下页⒍正态分布设X～N(μ,σ2)概率密度为《概率统计》下页结束返回三、随机变量函数的数学期望1.如果X为离散型随机变量，其概率分布为P{X=xk}=Pk,k=1,2,3,…,1)(kkkpxg绝对收敛，E(Y)=E[g(X)]1().kkkgxp且级数则Y=g(X)的数学期望为下页解:E(Y)=g(-1)*0.3+g(0)*0.1+g(1)*0.2+g(2)*0.15+g(5)*0.25=1*0.3+0*0.1+1*0.2+4*0.15+25*0.25=7.351*0.31*0.2例5.已知X的概率分布为X-10125P0.30.10.20.150.25令Y=X2，求E(Y).《概率统计》下页结束返回2.如果X为连续型随机变量，其概率密度为f(x)，且积分dxxfxg)()(()[()]()().EYEgXgxfxdx绝对收敛，()||()EYxfxdx,02(),02xxexfxex例6．已知连续型随机变量X的概率密度下页试求Y=|X|的数学期望.解：00()1.22xxeexdxxdx则Y=g(X)的数学期望为《概率统计》下页结束返回3.如果(X,Y)为离散型随机向量，其联合概率分布为P{X=xiY=yj}=piji,j=1,2,3,…,则Z=g(X,Y)的数学期望为()[(,)](,).ijijijEZEgXYgxyp下页例7.设二维离散型随机向量(X,Y)的概率分布如下表所示,求Z=X2+Y的数学期望.=z11×p11+z12×p12+z21×p21+z22×p22=g(3,1)×1/8+g(3,2)×1/4+g(4,1)×1/2+g(4,2)×1/8=10×1/8+11×1/4+17×1/2+18×1/8.解:E(Z)1/81/41/21/83412XY《概率统计》下页结束返回.),(),()],([)(dxdyyxfyxgYXgEZE特别;),()(dxdyyxxfXE.),()(dxdyyxyfYE下页例8．设二维随机向量(X,Y)的概率密度为试求:E(XY)，E(X).dxdyyxxfXE),()(dxdyyxxyfXYE),()(其它,0)1(20,10,6),(xyxxyyxf解:y=2(1-x)0xy124.如果(X,Y)为连续型随机向量，其联合概率密度为f(x,y),则Z=g(X,Y)的数学期望为.154610)1(20xxydyxydx.52610)1(20xxydyxdx《概率统计》下页结束返回例9.设国际市场上每年对我国某种出口农产品的需求量X(单位：t)是随机变量,它服从[1200,3000]上的均匀分布.若售出这种农产品1t,可赚2万元,若销售不出去,则每吨需付仓库保管费1万元，问每年应准备多少吨产品才可得到最大平均利润?()YgX解:依题意知，X的密度为112003000()18000xfx，，其它300012001()()d1800EYgxx平均利润为下页aXXaXXaa1200),(23000,2]d2d)3([1800130001200aaxaxax设每年准备该种商品a吨,年利润为Y，则利润为当a=2400时,E(Y)取到最大值,故每年准备此种商品2400t，可使平均利润达到最大．).2160000720023(180012aa《概率统计》下页结束返回性质2E(CX)=CE(X)(C为常数)性质3E(X+Y)=E(X)+E(Y)性质4设X,Y是两个相互独立的随机变量，则有E(XY)=E(X)·E(Y)推广①E(X1+X2+…+Xn)=E(X1)+E(X2)+…+E(Xn).③若X1，X2，…，Xn相互独立，则E(X1X2…Xn)=E(X1)E(X2)…E(Xn).②E(C1X1+C2X2+…+CnXn)=C1E(X1)+C2E(X2)+…+CnE(Xn).特别E(E(X))=E(X).下页四、数学期望的性质性质1E(C)=C(C为常数)《概率统计》下页结束返回练习题：1.已知X的分布律，求E(2X3+5)X-2013P1/3½1/121/122.若X～N(0,1)，则E(X)=（）.3.若已知X的分布函数422,1()0,1xFxxx5.设(X,Y)的联合密度为其他,010,10,),(yxyxyxf求E(XY).其它,010,101,1)(xxxxxf4.已知X的密度求E(