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广东省惠州市龙门县龙城一中2015届九年级上学期期末数学试卷一、选择题:(每小题3分,共18分)1.已知关于x的一元二次方程(m﹣2)2x2+(2m+1)x+1=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是()A.m>B.m≥C.m>且m≠2D.m≥且m≠2考点:根的判别式.分析:在与一元二次方程有关的求值问题中,必须满足下列条件:(1)二次项系数不为零;(2)在有不相等的实数根下必须满足△=b2﹣4ac>0.解答:解:根据题意列出方程组,解之得m>且m≠2.故选C.点评:本题考查了一元二次方程根的判别式的应用.切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件.2.如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体,它的俯视图为()A.B.C.D.考点:简单组合体的三视图.分析:找到从上面看所得到的图形即可.解答:解:此几何体的俯视图有2列,从左往右小正方形的个数分别是2,2,故选A.点评:此题主要考查了简单几何体的三视图,关键是掌握所看的位置.3.如图,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为16cm2,则该半圆的半径为()A.cmB.9cmC.cmD.cm考点:正多边形和圆.专题:压轴题.分析:已知小正方形的面积即可求得边长,在直角△ACE中,利用勾股定理即可求解.解答:解:如图,圆心为A,设大正方形的边长为2x,圆的半径为R,∵正方形有两个顶点在半圆上,另外两个顶点在圆心两侧,∴AE=BC=x,CE=2x;∵小正方形的面积为16cm2,∴小正方形的边长EF=DF=4,由勾股定理得,R2=AE2+CE2=AF2+DF2,即x2+4x2=(x+4)2+42,解得,x=4,∴R=cm.故选C.点评:本题利用了勾股定理,正方形的性质求解.4.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=bx+b2﹣4ac与反比例函数y=在同一坐标系内的图象大致为()A.B.C.D.考点:二次函数的图象;一次函数的图象;反比例函数的图象.专题:压轴题.分析:本题需要根据抛物线的位置,反馈数据的信息,即a+b+c,b,b2﹣4ac的符号,从而确定反比例函数、一次函数的图象位置.解答:解:由抛物线的图象可知,横坐标为1的点,即(1,a+b+c)在第四象限,因此a+b+c<0;∴双曲线的图象在第二、四象限;由于抛物线开口向上,所以a>0;对称轴x=>0,所以b<0;抛物线与x轴有两个交点,故b2﹣4ac>0;∴直线y=bx+b2﹣4ac经过第一、二、四象限.故选:D.点评:本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与各系数的关系,同学们要细心解答.5.如图所示,给出下列条件:①∠B=∠ACD;②∠ADC=∠ACB;③;④AC2=AD•AB.其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为()A.1B.2C.3D.4考点:相似三角形的判定.分析:由图可知△ABC与△ACD中∠A为公共角,所以只要再找一组角相等,或一组对应边成比例即可解答.解答:解:有三个.①∠B=∠ACD,再加上∠A为公共角,可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定;②∠ADC=∠ACB,再加上∠A为公共角,可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定;③中∠A不是已知的比例线段的夹角,不正确④可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定;故选:C.点评:此题主要考查学生对相似三角形的判定方法的掌握情况.6.如图,△DEF是由△ABC经过位似变换得到的,点O是位似中心,D、E、F分别是OA、OB、OC的中点,则△DEF与△ABC的面积比是()A.1:2B.1:4C.1:5D.1:6考点:位似变换;三角形中位线定理;相似三角形的性质.分析:图形的位似就是特殊的相似,满足相似的性质,且位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.因为D、E、F分别是OA、OB、OC的中点,根据三角形的中位线定理可知:DF=AC,即△DEF与△ABC的相似比是1:2,所以面积的比是1:4.解答:解:∵D、F分别是OA、OC的中点,∴DF=AC,∴△DEF与△ABC的相似比是1:2,∴△DEF与△ABC的面积比是1:4.故选:B.点评:本题主要考查了三角形中位线定理,位似的定义及性质:面积的比等于相似比的平方.二、填空题:(每小题3分,共27分)7.点P(3,﹣2)关于原点中心对称的点的坐标是(﹣3,2).考点:关于原点对称的点的坐标.分析:平面直角坐标系中任意一点P(x,y),关于原点的对称点是(﹣x,﹣y),记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆.解答:解:平面直角坐标系中任意一点P(x,y),关于原点的对称点是(﹣x,﹣y),∴点P(3,﹣2)关于原点中心对称的点的坐标是(﹣3,2).故答案为:(﹣3,2).点评:本题考查了关于原点对称的点坐标的关系,是需要识记的基本问题.8.某服装原价200元,连续两次涨价后,售价为242元.则每次涨价的平均百分率为10%.考点:一元二次方程的应用.专题:增长率问题.分析:本题主要考查百分率的问题,应理解“价格上调”的含义.一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率).设每次调价的百分率是x,则第一次调价后的价格是200(1+x),第二次后的价格是200(1+x)2,据此即可列出方程从而求解.解答:解:设每次涨价的平均百分率为x,则第一次涨价后的价格为200×(1+x),那么第二次涨价后的价格用代数式表示为200×(1+x)(1+x),所以可列方程为:200×(1+x)2=242,解得:x1=0.1=10%,x2=﹣2.1,∵x>0,∴x=10%.∴每次涨价的平均百分率为10%.点评:考查求平均变化率的方法.若设变化前的量为a,变化后的量为b,平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b.9.如右图,四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形,A、B、O是小正方形顶点,⊙O的半径为1,P是⊙O上的点,且位于右上方的小正方形内,则sin∠APB等于.考点:圆周角定理;特殊角的三角函数值.专题:网格型.分析:由题意可得∠AOB=90°,然后由圆周角定理,可求得∠APB=45°,继而求得sin∠APB的值.解答:解:∵四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形,A、B、O是小正方形顶点,∴∠AOB=90°,∴∠APB=∠AOB=45°,∴sin∠APB=sin45°=.故答案为:.点评:此题考查了圆周角定理以及特殊角的三角函数值.此题难度不大,注意掌握数形结合思想的应用.10.李老师要从包括小明在内的四名班委中,随机抽取2名学生参加学生会选举,抽取到小明的概率是.考点:概率公式.分析:根据概率求法,找准两点:①全部情况的总数;②符合条件的情况数目;二者的比值就是其发生的概率.解答:解:由题意可得:设四名同学代号分别为①②③④(小明代号为①).在四人中随机抽取两人,可能情况有①和②,①和③,①和④,②和③,②和④,③和④共6种情况.其中小明被抽到的情况为3种,因而小明被抽到的概率为.点评:此题考查概率的求法:如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=.11.如图是一个几何体的三视图,则这个几何体的侧面积是πcm2.考点:由三视图判断几何体;圆锥的计算.分析:易得圆锥的底面直径为2cm,高为3cm,根据勾股定理可得圆锥的底母线长,根据圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长,把相应数值代入即可求解.解答:解:易得此几何体为圆锥,底面直径为2cm,高为3cm,则圆锥的底面半径为2÷2=1cm,由勾股定理可得圆锥的母线长为=cm,故这个几何体的侧面积为π×1×=π(cm2).故这个几何体的侧面积是πcm2.故答案为:π.点评:考查了由三视图判断几何体,圆锥侧面积的求法;关键是得到该几何体的形状.12.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,且==,则S△ADE:S四边形BCED的值为1:3.考点:相似三角形的判定与性质.分析:首先根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似,证得△ADE∽△ACB,再由相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求得答案.解答:解:∵在△ADE与△ACB中,==,∠A=∠A,∴△ADE∽△ACB,∴S△ADE:S△ACB=(AE:AB)2=1:4,∴S△ADE:S四边形BCED=1:3.故答案是:1:3.点评:此题考查了相似三角形的判定与性质.注意相似三角形的面积的比等于相似比的平方.13.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于E,∠CDB=30°,⊙O的半径为cm,则劣弧的长为cm.考点:弧长的计算;圆周角定理.分析:连接OD,求出圆心角∠COD,然后根据弧长公式求解.解答:解:连接OD,∵AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于E,∠CDB=30°,∴∠OCD=30°,∴∠COD=120°,由l=αr知,劣弧的长为.点评:本题主要考查弧长的计算,知道弧长的计算公式l=αr是解题关键.14.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=2,分别以AC、BC为直径画半圆,则图中阴影部分的面积为π﹣4(结果保留π).考点:扇形面积的计算.专题:压轴题.分析:图中阴影部分的面积为两个半圆的面积﹣三角形的面积,然后利用三角形的面积计算即可.解答:解:设各个部分的面积为:S1、S2、S3、S4、S5,如图所示,∵两个半圆的面积和是:S1+S5+S4+S2+S3+S4,△ABC的面积是S3+S4+S5,阴影部分的面积是:S1+S2+S4,∴图中阴影部分的面积为两个半圆的面积减去三角形的面积.即阴影部分的面积=π×4+π×1﹣4×2÷2=π﹣4.点评:此题的关键是看出图中阴影部分的面积为两个半圆的面积﹣三角形的面积.15.如图,点P在双曲线y=上,以P为圆心的⊙P与两坐标轴都相切,E为y轴负半轴上的一点,PF⊥PE交x轴于点F,则OF﹣OE的值是2.考点:反比例函数综合题;*平面向量.专题:压轴题.分析:利用P点在双曲线y=上且以P为圆心的⊙P与两坐标轴都相切求出P点,再利用向量的垂直时的性质列出OE与OF之间的关系即可.作过切点的半径,构造全等三角形,寻找与结论或条件中有关联的等量线段,从而逐步探究未知结果.解答:解:法一:设E(0.y),F(x,0)其中y<0,x>0∵点P在双曲线y=上,以P为圆心的⊙P与两坐标轴都相切∴P(,)又∵PF⊥PE∴由向量垂直性质可得×(﹣y)+×(﹣x)=0∴x+y=2又∵OE=|y|=﹣y,OF=x∴OF﹣OE=x+y=2.法二:设⊙P与x和y轴分别相切于点A和点B,连接PA、PB.则PA⊥x轴,PB⊥y轴.并设⊙P的半径为R.∴∠PAF=∠PBE=∠APB=90°,∵PF⊥PE,∴∠FPA=∠EPB=90°﹣∠APE,又∵PA=PB,∴△PAF≌△PBE(ASA),∴AF=BE∴OF﹣OE=(OA+AF)﹣(BE﹣OB)=2R,∵点P的坐标为(R,R),∴R=,解得R=或﹣(舍去),∴OF﹣OE=2.故答案为:2.点评:本题主要考查反比例函数及向量的综合运用,同学们要熟练掌握.三、解答题:16.在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示,其中木竿AB=2米,它的影子BC=1.6米,木竿PQ的影子有一部分落在墙上,PM=1.2米,MN=0.8米,求木竿PQ的长度.考点:相似三角形的应用.专题:应用题.分析:此题考查了平行投影的知识,在同一时刻物高与影长成正比例;还考查了相似三角形的性质,相似三角形对应边成比例.解答:解:过N点作ND⊥PQ于D,可得△ABC∽△QDN,∴,又∵AB=2,BC=1.6,PM=1.2,NM=0.8,∴,∴PQ=QD+DP=QD+NM=1.5+0.8=2.3(米).答:木竿PQ的长度为2.3米.点评:本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中,利用相似三角形的相似比,列出方程,通过解方程求出木竿PQ的长度.17.如图,某同学在楼房的A处测得荷塘的一端B处的俯角为30°,荷塘另一端D与点C、B在同一直线上,已知AC=32米,CD=16米,求荷塘宽BD为多少米?(取,结果保留整数)
本文标题:【解析版】惠州市龙门县龙城一中2015届九年级上期末数学试卷
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