第一章电子、空穴和能带概念

1第一章电子、空穴和能带概念第一章电子、空穴和能带概念1§1.1量子力学基本概念2一、经典物理的缺陷以及量子力学的引入31.黑体辐射问题32.光电效应53.普朗克假设、爱因斯坦的波粒二象性54.德布罗衣假说11二、薛定颚方程13三、波函数的统计解释20§1.2利用薛定颚方程求解氢原子21§1.3能带模型24一、晶格24二、能代理论251．单电子近似252．布劳赫定律（Bloch）.......................................................................................................................................................................................................................263．共有化运动和准自由电子.................................................................................................................................................................................................................264.布里渊区与能带.................................................................................................................................................................................................................................285、导体、半导体、绝缘体的能带.........................................................................................................................................................................................................30§1.4半导体中电子的运动有效重量32一、半导体中E(k)与k的关系32二、晶体中电子的平均速度加速度341．晶体中电子运动的平均速度.............................................................................................................................................................................................................342．半导体中电子运动的加速度.............................................................................................................................................................................................................343．有效质量的物理意义........................................................................................................................................................................................................................364.空穴的有效质量.................................................................................................................................................................................................................................36习题402§1.1量子力学基本概念经典物理的两个独立理论体系：波动学说、粒子学说。当时绝大多数的现象可以用经典理论物理学解释：应用Newton方程成功讨论了从天体到地上各种尺度的力学客体的运动，将这个理论用到分子运动上，在气体分子运动论上也获得有益的结果。1897年J.J.汤姆森发现了电子，这个发现表明电子的行为类似于一个Newton粒子。光的波动本性已在1803年由杨的衍射试验证实220004cos(sin),dIIIE光的强度Maxwell在1864年所发现的光和电磁现象之间的联系将光的波动性置于更加坚实的基础之上。3一、经典物理的缺陷以及量子力学的引入到上世纪初，在解释某些试验结果上还遗留一些困难：主要是关于发展一个合适的原子模型以及稍后发现的X射线和放射性等。也有一些困难属于那些应该得到解释而实际上未能解释的现象：诸如黑体辐射的谱分布，固体的低温比热等。虽然光的波动性有大量的实验事实和光的电磁理论支持，但上世纪初发现的黑体辐射、光电效应等现象却揭示把光仅看作波的局限性。1.黑体辐射问题我们知道，所有物体都发射出热辐射，这种辐射是一定波长范围内的电磁波。对于外来的辐射，物体有反射或吸收的作用。如果一个物体能全部吸收投射在它上面的辐射而无反射，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。黑体辐射问题研究的是辐射与周围物体处于平衡状态时能量按波长/频率的分布。一个空腔就可以看成黑体，当空腔与内部的辐射处于平衡时，腔壁单位面积所发射的能量和它所吸收的辐射能量4相等。实验得出的平衡时辐射能量密度按波长分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度有关，而与空腔的形状及组成的物质无关。许多人用经典物理理论来说明这种能量分布都未获得成功：(1)维恩（Wien）：由经典热力学理论出发进行讨论，并加上一些特殊假设得出的分布公式——维恩公式。这个公式在短波部分与实验结果还符合，在长波部分显著不同；(2)瑞利－金斯曲线，根据经典电动力学和统计物理学得出的黑体辐射能量公式分布。他们的结果在长波部分与实验结果较吻合，而在短波部分完全不同。维恩线普朗克线瑞利—金斯线波长（厘米×104）能量密度52.光电效应当光照射到金属表面时，有电子从金属中逸出，这种电子称为光电子。实验证明，只有当光的频率大于一定值时，才有光电子发射出来；如果光的频率低于这个值，则不论光的强度多大，照射时间多长，都没有光电子产生，光电子能量只与光的频率有关。光电效应以及黑体辐射实验的这些规律、现象是经典物理理论无法解释的。因为按照光的电磁理论，光的能量只决定于光的强度，而与光的频率无关。3.普朗克假设、爱因斯坦的波粒二象性黑体辐射问题是Planck普朗克在1900年引进量子概念后才得到解决。普朗克依据如下假设解释黑体辐射谱的：黑体以h为单位不连续地发射和吸收频率为的电磁辐射，而不是象经典理论所要求的那样可以连续地吸收和发射辐射能量。能量单位h称为能量子h(普朗克常数)。h＝6.62559×10－34焦耳.秒。基于这个假定，普朗克得到与实验结果符合很好的黑体辐射公式：dechdkTh118/336普朗克的理论开始突破经典物理学在微观领域内的束缚，打开了认识光的微粒性的途径。按照光的电磁理论，光的能量只决定于光的强度，而与光的频率无关。但是，光电试验证明：只有当光的频率大于一定值时，才有光电子发射出来；如果光的频率低于这个值，则不论光的强度多大，照射时间多长，都没有光电子产生；光电子能量只与光的频率有关，而与光的强度无关，光的频率越高，光电子的能量就越大。光的强度只影响光电子数目，按照光的电磁理论，光的能量只决定于光的强度，而与光的频率无关。爱因斯坦认为电磁辐射不仅在被发射和吸收时以能量h的微粒形式出现，而且以这种形式以光速在空间运动，也就是说光照射到金属表面时，能量为h的光子被电子吸收。电子把这能量的一部分用来克服金属表面对它的束缚力，另一部分就是电子离开金属表面后的动能。如果电子所吸收的光子能量小于金属的逸出功，则电子不能脱出金属表面，因而没有光电子产生。光的频率决定光子的能量，光的强度只决定光子的数目，光子多，产生的光电子就多。这样，经典理论不能解释的光电效应就得到了解释。7(1)康普顿效应(Comptoneffect)1923年，美国物理学家康普顿在研究x射线通过实物物质发生散射的实验时，发现了一个新的现象，即散射光中除了有原波长l0的x光外，还产生了波长ll0的x光，其波长的增量随散射角的不同而变化。这种现象称为康普顿效应(Comptoneffect)。用经典电磁理论来解释康普顿效应遇到了困难。康普顿借助于爱因斯坦的光子理论，从光子与电子碰撞的角度对此实验现象进行了圆满地解释。康普顿效应第一次从实验上证实了爱因斯坦提出的关于光子具有动量的假设。光子在介质中和物质微粒相互作用时，可能使得光向任何方向传播，这种现象叫光的散射。他认为：康普顿假设光子和电子、质子这样的实物粒子一样，不仅具有能量，也具有动量，碰撞过程中能量守恒，动量也守恒。光子和电子碰撞时，光子的一些能量转移给了电子。按照这个思想列出方程后求出了散射前后的波长差，结果跟实验数据完全符合，这样就证实了他的假设。这种现象叫康普顿效应。康普顿效应的发现，进一步证实光具有粒子性。实验证明，高频X射线被电子散射后，波长随散射角增加而增大。而按照经典电动力学，电磁波被散射后波长不应改变。8222222/,0,/,1/1/cvcvcccvc光子动量＝电子动量＝光子能量＝电子动能＝0光子动量＝电子动量为光子能量＝，碰撞前：碰撞后：电子动能为＝/c/c221c2222222222111/x/cos/cos1/y0sin/sin1/2sin24sin2cvcvccvcvcvccc由于碰撞前后动能守恒：＝＋动量守恒方向：＝＋方向：-最后得到：－＝9(2)旧量子论所谓的旧量子论发端于普朗克关于黑体辐射的工作，以后由爱因斯坦和德拜加以发展。然而，只有到1911年，卢瑟福发现原子是由小的、重的、带正电的核以及围绕着它的一些电子构成之后，这个理论才能定量描述原子。旧量子论（波尔－索末非量子化定则的两个假设）：一个原子体系能够存在于一些特定的稳定的或量子化的状态，每一个状态同体系的一个确定能量相对应；从一个定态向另一个定态的跃迁，伴随着能量的获得或损失，其值等于两个态之间的能量差；辐射量子的频率等于它的能量除于普朗克常数。旧量子论使得人们获得了对氢原子结构的解释，但在若干不同的方面，它遇到了困难：它不适用于非周期系统；对谱线强度只能给出定性的不完整的处理；对光的色散也不能给出满意的说明等等。衍射试验可以说明旧量子论的困难：10光源S照明一个光阑A，A上割有两个狭缝，衍射花样出现在光敏屏B上，在衍射峰处光子的数目最多。这样，当辐射从光源经狭缝到屏的过程中行为象波。而当它从B碰出电子时，行为象粒子。AB用物质代替辐射也可以