北京市海淀区2016届九年级上期中复习试卷(一元二次方程)

2015-2016学年北京市海淀区九年级（上）期中数学复习试卷（一元二次方程）一、填空题1．一元二次方程2x2+3x﹣4=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是．2．一元二次方程（x﹣4）2+5=6x的二次项系数、一次项系数、常数项分别是．3．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1=0有一个根是0，则m的值是．4．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为．二、解答题5．解下列方程．（1）x2=3x（2）（x﹣1）2=4（3）x2+4x=1（4）x2+3x﹣1=0（5）x2﹣3x=4x﹣6（6）（x+3）（x﹣1）=5．6．若x=1是关于x的一元二次方程x2﹣4mx+2m2=0的根，求代数式2（m﹣1）2+3的值．7．已知2a2+3a﹣6=0．求代数式3a（2a+1）﹣（2a+1）（2a﹣1）的值．8．已知关于x的方程（m﹣1）x2+3x+2=0有两个实数根，求正整数m的值．9．已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．10．列方程解应用题：（1）如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？（2）一个矩形的长比宽多2，面积是24，求矩形的长．2015-2016学年北京市海淀区九年级（上）期中数学复习试卷（一元二次方程）参考答案与试题解析一、填空题1．一元二次方程2x2+3x﹣4=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，﹣3，4．【考点】一元二次方程的一般形式．【分析】根据一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0，（a≠0），a、b、c分别是二次项系数，一次项系数，常数项，可得答案．【解答】解：2x2+3x﹣4=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，3，﹣4，故答案为：2，3，﹣4．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0，（a≠0），a、b、c分别是二次项系数，一次项系数，常数项．2．一元二次方程（x﹣4）2+5=6x的二次项系数、一次项系数、常数项分别是1、﹣14、21．【考点】一元二次方程的一般形式．【分析】去括号，移项，合并同类项，可将方程化成一元二次方程的一般形式．【解答】解：由（x﹣4）2+5=6x得到：x2﹣14x+21=0．二次项的系数是1，一次项系数是﹣14，常数项是21．故答案是：1、﹣14、21．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式．通过去括号，移项，合并同类项，可得一元二次方程的一般形式，然后可确定二次项系数，一次项系数和常数项．3．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1=0有一个根是0，则m的值是﹣1．【考点】一元二次方程的解．【分析】把x=0代入方程即可得到一个关于m的方程，即可求得m的值．【解答】解：根据题意得：m2﹣1=0且m﹣1≠0解得：m=﹣1故答案是：﹣1．【点评】本题主要考查了方程的解的定义，特别需要注意的条件是二次项系数不等于0．4．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为4．【考点】根的判别式．【分析】根据判别式的意义得到△=（﹣4）2﹣4k=0，然后解一次方程即可．【解答】解：根据题意得△=（﹣4）2﹣4k=0，解得k=4．故答案为4．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．二、解答题5．解下列方程．（1）x2=3x（2）（x﹣1）2=4（3）x2+4x=1（4）x2+3x﹣1=0（5）x2﹣3x=4x﹣6（6）（x+3）（x﹣1）=5．【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法．【分析】（1）方程整理后，利用因式分解法求出解即可；（2）利用直接开平方法求出方程的解；（3）利用配方法解一元二次方程即可；（4）找出方程中二次项系数a，一次项系数b及常数项c，计算出根的判别式，由根的判别式大于0，得到方程有解，将a，b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解；（5）将方程整理为一般形式，左边的多项式分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解；（6）先去括号，然后利用十字相乘法分解因式，即可求出方程的解．【解答】解：（1）方程整理得：x2﹣3x=0，即x（x﹣3）=0，可得x=0或x﹣3=0，解得：x1=0，x2=3，（2）∵（x﹣1）2=4，∴x﹣1=±2，∴x1=3，x2=﹣1；（3）解：由原方程配方，得x2+4x+22=1+22．∴（x+2）2=5，∴x+2=±，解得，x1=﹣2+，x2=﹣2﹣；（4）解：x2+3x﹣1=0，这里a=1，b=3，c=﹣1，∵b2﹣4ac=32﹣4×1×（﹣1）=9+4=13＞0，∴x=，∴x1=，x2=；（5）x2﹣3x=4x﹣6，整理得：x2﹣7x+6=0，分解因式得：（x﹣1）（x﹣6）=0，可得x﹣1=0或x﹣6=0，解得：x1=1，x2=6．（6）∵（x+3）（x﹣1）=5，∴x2+2x﹣3=5，∴x2+2x﹣8=0，∴（x+4）（x﹣2）=0，∴x+4=0或x﹣2=0，∴x1=﹣4，x2=2．【点评】本题主要考查了解一元二次方程的知识，根据方程的特点选择合适的方法解一元二次方程是解决此类问题的关键．一般解一元二次方程的方法有直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法．6．若x=1是关于x的一元二次方程x2﹣4mx+2m2=0的根，求代数式2（m﹣1）2+3的值．【考点】一元二次方程的解．【分析】把x=1代入已知方程可以求得2m2﹣4m=﹣1，然后将其代入整理后的所求代数式进行求值即可．【解答】解：依题意，得1﹣4m+2m2=0，∴2m2﹣4m=﹣1，∴2（m﹣1）2+3=2（m2﹣2m+1）+3=2m2﹣4m+5=﹣1+5=4．即2（m﹣1）2+3=4．【点评】本题考查了一元二次方程的解．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．7．已知2a2+3a﹣6=0．求代数式3a（2a+1）﹣（2a+1）（2a﹣1）的值．【考点】整式的混合运算—化简求值．【专题】计算题．【分析】原式第一项利用单项式乘以多项式法则计算，第二项利用平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．【解答】解：∵2a2+3a﹣6=0，即2a2+3a=6，∴原式=6a2+3a﹣4a2+1=2a2+3a+1=6+1=7．【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．已知关于x的方程（m﹣1）x2+3x+2=0有两个实数根，求正整数m的值．【考点】根的判别式．【分析】根据方程（m﹣1）x2+3x+2=0有两个实数根可得m﹣1≠0，△=32﹣4×（m﹣1）×2≥0，解不等式求得m的范围即可得答案．【解答】解：∵关于x的方程（m﹣1）x2+3x+2=0有两个实数根，∴m﹣1≠0，△=32﹣4×（m﹣1）×2≥0，解得：m≤且m≠1，∴正整数m的值为2．【点评】本题主要考查根的判别式与一元二次方程的定义，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．9．已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．【考点】根的判别式．【专题】计算题．【分析】（1）先计算判别式的值得到△=（m+2）2﹣4m×2=（m﹣2）2，再根据非负数的值得到△≥0，然后根据判别式的意义得到方程总有两个实数根；（2）利用因式分解法解方程得到x1=1，x2=，然后利用整数的整除性确定正整数m的值．【解答】（1）证明：∵m≠0，△=（m+2）2﹣4m×2=m2﹣4m+4=（m﹣2）2，而（m﹣2）2≥0，即△≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：（x﹣1）（mx﹣2）=0，x﹣1=0或mx﹣2=0，∴x1=1，x2=，当m为正整数1或2时，x2为整数，即方程的两个实数根都是整数，∴正整数m的值为1或2．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．10．列方程解应用题：（1）如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？（2）一个矩形的长比宽多2，面积是24，求矩形的长．【考点】一元二次方程的应用．【分析】（1）设切去得正方形的边长为xcm，得出盒底的长为（100﹣2x）cm，宽为（50﹣2x）cm，再根据题意列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果．（2）设矩形的长为x，则宽为（x﹣2），根据矩形的面积公式列出方程并解答．【解答】解：（1）设铁皮各角应切的正方形边长为xcm，由题意得：（100﹣2x）（50﹣2x）=3600，解得：x1=5，x2=70（不合题意，舍去），答：铁皮各角应切去边长为5cm的正方形．（2）设矩形的长为x，则宽为（x﹣2），则x（x﹣2）=24，解得x1=6，x2=﹣4（舍去）．答：矩形的长为6．【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．