综合质量评估

综合质量评估第一、二讲(90分钟120分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.极坐标方程ρ2+2ρsin=1表示曲线的中心在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选D.极坐标方程ρ2+2ρsin=1,即ρ2+2ρsinθ-2ρcosθ=1,化为直角坐标方程为x2+y2-2x+2y=1,标准方程为(x-1)2+(y+1)2=3,圆心坐标为(1,-1),在第四象限.2.(2016·北京高二检测)极坐标方程ρ=-4cosθ化为直角坐标方程是()A.x-4=0B.x+4=0C.(x+2)2+y2=4D.x2+(y+2)2=4【解析】选C.极坐标方程ρ=-4cosθ即ρ2=-4ρcosθ,所以化为直角坐标方程是x2+y2=-4x,即(x+2)2+y2=4.3.(2016·淮南高二检测)在极坐标系中,曲线ρ=4cosθ围成的图形面积为()A.πB.4C.4πD.16【解析】选C.由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ,直角坐标方程为x2+y2=4x,所以(x-2)2+y2=4,所以S=πr2=4π.【补偿训练】已知直线将曲线(θ为参数)平分,则曲线围成图形的面积为()A.3πB.4πC.6πD.9π【解析】选D.直线的普通方程为y=-2x+b+4,曲线(θ为参数)的普通方程为(x-2)2+(y-3)2=b2,所以圆的圆心的坐标为(2,3),依题意,得3=-4+b+4,即b=3,所以圆的面积为9π.4.与普通方程x2+y-1=0等价的参数方程为()A.B.C.D.【解析】选D.所谓与方程x2+y-1=0等价,是指将参数方程化为普通方程时,形式一致,且x,y的变化范围对应相同,按照这一标准逐一验证.选项A化为普通方程为x2+y-1=0,x∈[-1,1],y∈[0,1].选项B化为普通方程为x2+y-1=0,x∈[0,+∞),y∈(-∞,1].选项C化为普通方程为x2+y-1=0,x∈[-1,1],y∈[0,1].选项D化为普通方程为x2+y-1=0,x∈R,y∈(-∞,1].5.极坐标方程ρ=sinθ与参数方程(t为参数)所表示的图形分别是()A.直线、直线B.直线、圆C.圆、直线D.圆、圆【解析】选C.由ρ=sinθ得ρ2=ρsinθ,即x2+y2=y,即x2+=,对应图形为圆.将参数方程消去参数t,得2x-y-5=0,所以对应图形为直线.6.已知直线l1的极坐标方程为ρsin=2016,直线l2的参数方程为(t为参数)则l1与l2的位置关系为()A.垂直B.平行C.相交但不垂直D.重合【解析】选A.由ρsin=2016,得ρ=2016,ρsinθ-ρcosθ=2016,所以y-x=2016,即y=x+2016,把直线l2的参数方程化为普通方程为==-1,即y=-x,所以·=1×(-1)=-1,所以l1⊥l2.7.以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程是(t为参数)圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ,则直线l被圆C截得的弦长为()A.B.2C.D.2【解析】选D.直线l的普通方程为y=x-4,圆C的直角坐标方程是(x-2)2+y2=4,圆心(2,0)到直线l的距离d==,所以直线l被圆C截得的弦长为2=2.8.已知抛物线C1:(t为参数),圆C2的极坐标方程为ρ=r(r0),若斜率为1的直线过抛物线C1的焦点,且与圆C2相切,则r=()A.1B.C.D.2【解题指南】把抛物线的参数方程、圆的极坐标方程统一成在直角坐标系下的方程后,求出直线的方程,利用直线与圆的位置关系求r.【解析】选C.抛物线C1的普通方程为y2=8x,焦点为(2,0),故直线方程为y=x-2,即x-y-2=0,圆的直角坐标方程为x2+y2=r2,由题意=r,得r=.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)9.(2016·唐山高二检测)已知直线l:(t为参数)过定点P,曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ,直线l与曲线C交于A,B两点,则|PA|·|PB|值为________.【解析】将直线l:(t为参数)代入曲线C:ρ=2sinθ的直角坐标方程x2+y2-2y=0,整理,得t2-(+1)t+1=0,设直线l与曲线C交于A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1t2=1,即|PA|·|PB|==1.答案:110.若直线(t为参数)与曲线(θ为参数,a0)有且只有一个公共点,则a=________.【解析】直线一般方程为x+y-2=0,曲线方程为(x-4)2+y2=a2.由题可知,直线与圆相切,即圆心到直线的距离d===a.答案:【补偿训练】(2016·襄阳高二检测)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程是以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρsin=1,则两曲线交点间的距离是________.【解析】曲线C1的普通方程为y2-x2=4,由曲线C2的极坐标方程ρsin=1,得直角坐标方程x+y-2=0,将y=-x+2代入y2-x2=4,得x2-2x=0,解得x1=0,x2=2,y1=2,y2=-4,则两曲线的交点坐标分别为A(0,2),B(2,-4),所以|AB|==4.答案:411.(2016·衡水高二检测)设直线l:(t为参数),曲线C:(θ为参数),直线l与曲线C交于A,B两点,则|AB|=________.【解题指南】将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程,利用直线参数方程参数的几何意义以及公式求弦长.【解析】将直线l:(t为参数)代入曲线C:x2+y2=1,整理,得t2+t=0,设直线l与曲线C交于A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=-,t1t2=0,则|AB|=|t1-t2|==.答案:12.(2016·黄冈高二检测)在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若P点为直线ρcosθ-ρsinθ-4=0上一点,点Q为曲线(t为参数)上一点,则|PQ|的最小值为________.【解题指南】将直线的极坐标方程化为直角坐标方程,将曲线的参数方程化为普通方程,转化为直线和曲线相切求解,也可以利用导数的几何意义求出切点的坐标解决.【解析】直线ρcosθ-ρsinθ-4=0的直角坐标方程为x-y-4=0,曲线(t为参数)的普通方程为y=x2,依题意,设与直线x-y-4=0平行的直线方程为x-y+c=0,即y=x+c,代入y=x2,得x2-4x-4c=0,依题意,Δ=16+16c=0,所以c=-1,即直线x-y-1=0与抛物线y=x2相切,所以平行线间的距离d==.答案:【一题多解】直线ρcosθ-ρsinθ-4=0的直角坐标方程为x-y-4=0,曲线(t为参数)的普通方程为y=x2,设抛物线y=x2上一点P(x0,y0),则y′=x=x0=1,得x0=2,即P(2,1),依题意,P(2,1)到直线x-y-4=0的距离d==为所求.答案:三、解答题(本大题共6小题,共60分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)13.(10分)(2016·衡水高二检测)在极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=(ρ∈R),以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,曲线C的参数方程为(α为参数)求直线l与曲线C的交点P的直角坐标.【解析】因为直线l的极坐标方程为θ=(ρ∈R),所以直线l的普通方程为y=x,①又因为曲线C的参数方程为(α为参数)所以曲线C的直角坐标方程为y=x2(x∈[-2,2]),②联立①②得或根据x的范围应舍去故P点的直角坐标为(0,0).14.(10分)(2016·全国卷Ⅰ)在直线坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cosθ.(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程.(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tanα0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.【解析】(1)(t为参数),所以x2+(y-1)2=a2.①所以C1为以(0,1)为圆心,a为半径的圆.方程为x2+y2-2y+1-a2=0.因为x2+y2=ρ2,y=ρsinθ,所以ρ2-2ρsinθ+1-a2=0,即为C1的极坐标方程.(2)C2:ρ=4cosθ,两边同乘ρ,得ρ2=4ρcosθ,∵ρ2=x2+y2,ρcosθ=x,∴x2+y2=4x.即(x-2)2+y2=4.②C3:化为普通方程为y=2x,由题意:C1和C2的公共方程所在直线即为C3.①-②得:4x-2y+1-a2=0,即为C3,所以1-a2=0,所以a=1.15.(10分)(2016·大连高二检测)在直角坐标系xOy中,直线l经过点P(-1,0),其倾斜角为α,以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴,与直角坐标系xOy取相同的长度单位,建立极坐标系,设曲线C的极坐标方程为ρ2-6ρcosθ+1=0.(1)写出直线l的参数方程,若直线l与曲线C有公共点,求α的取值范围.(2)设M(x,y)为曲线C上任意一点,求x+y的取值范围.【解析】(1)因为曲线C的极坐标方程为ρ2-6ρcosθ+1=0,所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2-6x+1=0.因为直线l经过点P(-1,0),其倾斜角为α,所以直线l的参数方程为(t为参数),将代入x2+y2-6x+1=0,整理,得t2-8tcosα+8=0,因为直线l与曲线C有公共点,所以Δ=64cos2α-32≥0,即cosα≥或cosα≤-,因为α∈[0,π),所以α的取值范围是∪.(2)已知M(x,y)是曲线C:(x-3)2+y2=8上一点,则(θ为参数)所以x+y=3+2(sinθ+cosθ)=3+4sin,所以x+y的取值范围是[-1,7].16.(10分)(2015·陕西高考)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,☉C的极坐标方程为ρ=2sinθ.(1)写出☉C的直角坐标方程.(2)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求点P的坐标.【解题指南】(1)利用直角坐标与极坐标的关系进行代换即得.(2)直角坐标与极坐标进行坐标代换后,利用两点间的距离公式可求解.【解析】(1)由ρ=2sinθ,得ρ2=2ρsinθ,从而有x2+y2=2y,所以x2+(y-)2=3.(2)设P,又C(0,),则|PC|==,故当t=0时,|PC|取得最小值,此时P点的坐标为(3,0).17.(10分)(2016·天水高三检测)在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为(t为参数),在以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为ρ=.(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程.(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,求△AOB的面积.【解析】(1)由曲线C的极坐标方程是:ρ=,得ρ2sin2θ=2ρcosθ.所以曲线C的直角坐标方程是:y2=2x.由直线l的参数方程(t为参数)得:x-y-4=0,所以直线l的普通方程为:x-y-4=0.(2)将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程y2=2x,得t2-8t+7=0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,所以====6,因为原点到直线x-y-4=0的距离d==2,所以△AOB的面积是·d=×6×2=12.18.(10分)(2016·西安高二检测)已知曲线C1:(θ为参数),曲线C2:(t为参数).(1)指出C1,C2各是什么曲线,并说明C1与C2公共点的个数.(2)若把C1,C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到曲线C1′,C2′,写出C1′,C2′的参数方程.C1′与C2′公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同?说明你的理由.【解析】(1)C1是圆,C2是直线,C1的普通方程为x2+y2=1,圆心C1(0,0),半径r=1.C2的普通