思想3

三、数形结合思想第一部分三、数形结合思想思想方法高频考点核心归纳思想方法-2-高考命题聚焦思想方法诠释数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧,在高考试题中,数形结合思想主要用于解选择题和填空题,有直观、简单、快捷等特点;而在解答题中,考虑到推理论证的严密性,图形只是辅助手段,最终还是要用“数”写出完整的解答过程.第一部分三、数形结合思想思想方法高频考点核心归纳思想方法-3-高考命题聚焦思想方法诠释1.数形结合思想的含义数形结合思想就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.它包含两个方面:(1)“以形助数”,把抽象问题具体化,这主要是指用几何的方法去解决代数或三角问题;(2)“以数解形”,把直观图形数量化,使形更加精确,这主要是指用代数或三角的方法去解决几何问题.2.数形结合思想在解题中的应用(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围、研究方程根的范围、研究量与量之间的大小关系.(2)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式.(3)构建立体几何模型研究代数问题.(4)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题.(5)构建方程模型,求根的个数.第一部分三、数形结合思想思想方法高频考点核心归纳高频考点-4-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四利用数形结合求函数零点的个数【思考】如何利用函数图象解决函数零点的个数问题?例1若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点x1,x2,且f(x1)=x1,则关于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同实根个数是()A.3B.4C.5D.6答案解析解析关闭由函数f(x)=x3+ax2+bx+c有2个极值点x1,x2,可知关于导函数的方程f'(x)=3x2+2ax+b=0有2个不等的实根x1,x2,则方程3(f(x))2+2af(x)+b=0有2个不等的实根,即f(x)=x1或f(x)=x2,原方程根的个数就是这2个方程f(x)=x1和f(x)=x2的不等实根的个数之和,若x1x2,作y=x1,y=x2与f(x)=x3+ax2+bx+c的图象有3个不同交点,如图①.即方程3(f(x))2+2af(x)+b=0有3个不同的实根.若x1x2,如图②,同理方程3(f(x))2+2af(x)+b=0有3个不同实根.答案解析关闭A第一部分三、数形结合思想思想方法高频考点核心归纳高频考点-5-题后反思因为方程f(x)=0的根就是函数f(x)的零点,方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)和g(x)的图象的交点的横坐标,所以用数形结合的思想讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数,其基本步骤是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时,需要作适当变形转化为两个熟悉的函数),然后在同一坐标系中作出两个函数的图象,图象的交点个数即为方程解的个数.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四第一部分三、数形结合思想思想方法高频考点核心归纳高频考点-6-对点训练1(2015湖北高考)函数f(x)=4cos2𝑥2·cosπ2-𝑥-2sinx-|ln(x+1)|的零点个数为.答案解析解析关闭令f(x)=4·1+cos𝑥2·sinx-2sinx-|ln(x+1)|=sin2x-|ln(x+1)|=0,即sin2x=|ln(x+1)|,在同一坐标系作出y=sin2x与y=|ln(x+1)|的图象.由图象知共2个交点,故f(x)的零点个数为2.答案解析关闭2命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四第一部分三、数形结合思想思想方法高频考点核心归纳高频考点-7-利用数形结合求参数范围及解不等式【思考】如何利用函数图象解决不等式问题?函数的哪些性质与函数图象的哪些特征联系密切?例2已知函数f(x)=log2(1-𝑥)+1,-1≤𝑥𝑘,𝑥3-3𝑥+2,𝑘≤𝑥≤𝑎,若存在k使得函数f(x)的值域是[0,2],则实数a的取值范围是()A.[3,+∞)B.12,3C.(0,3]D.{2}答案解析解析关闭先作出函数f(x)=log2(1-x)+1,-1≤xk的图象,再研究f(x)=x3-3x+2,k≤x≤a的图象,令f'(x)=3x2-3=0,得x=1,当x1时,f'(x)0,当-1x1时,f'(x)0,∴当x=1时,f(x)在(-1,+∞)上取得最小值f(1)=0,又f(3)=2,若存在k使f(x)的值域是[0,2],a只需满足12a≤3.故选B.答案解析关闭B命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四第一部分三、数形结合思想思想方法高频考点核心归纳高频考点-8-题后反思在解含有参数的不等式时,由于涉及参数,往往需要讨论,导致演算过程烦琐冗长.如果题设与几何图形有联系,那么利用数形结合的方法,问题将会简练地得到解决.(1)解不等式问题经常联系函数的图象,根据不等式中量的特点,选择适当的两个(或多个)函数,利用两个(或多个)函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决不等式的解的问题,往往可以避免烦琐的运算,获得简捷的解答.(2)函数的单调性经常联系函数图象的升、降;奇偶性经常联系函数图象的对称性;最值(值域)经常联系函数图象的最高点、最低点的纵坐标.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四第一部分三、数形结合思想思想方法高频考点核心归纳高频考点-9-对点训练2若不等式|x-2a|≥12x+a-1对x∈R恒成立,则a的取值范围是.答案解析解析关闭作出y=|x-2a|和y=12x+a-1的简图,依题意知应有2a≤2-2a,故a≤12.答案解析关闭-∞,12命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四第一部分三、数形结合思想思想方法高频考点核心归纳高频考点-10-利用数形结合求最值、值域(范围)【思考】如何利用图形求目标函数的最值或值域?例3(2015甘肃兰州一中三模)关于x的不等式2𝑥2+2𝑏2-ax有唯一整数解x=1,则𝑏-2𝑎-1的取值范围是.答案解析解析关闭∵2𝑥2+2𝑏2-ax⇔x2+ax+2b0,依题意x2+ax+2b0只有唯一的整数解x=1,∴方程x2+ax+2b=0一根在[0,1)内,另一根在(1,2]内,即函数f(x)=x2+ax+2b的图象与x轴在[0,1)和(1,2]内各有一个交点.∴𝑓(0)≥0,𝑓(1)0,𝑓(2)≥0⇒𝑏≥0,𝑎+2𝑏+10,𝑎+𝑏+2≥0,作出可行域,如图,∵𝑏-2𝑎-1为可行域内的点(a,b)与定点P(1,2)的连线的斜率,由图可知,kPA𝑏-2𝑎-1kPB,其中点A(-3,1),B(-1,0),∴kPA=14,kPB=1,故𝑏-2𝑎-1的取值范围是14,1.答案解析关闭14,1命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四第一部分三、数形结合思想思想方法高频考点核心归纳高频考点-11-题后反思首先画出满足条件的图形区域,然后根据目标函数的特点(或所求量的几何意义),转化为距离或直线的斜率、截距等.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四第一部分三、数形结合思想思想方法高频考点核心归纳高频考点-12-对点训练3已知实数x,y满足𝑥-2𝑦+1≥0,𝑥2,𝑥+𝑦-1≥0,z=|2x-2y-1|,则z的取值范围是.答案解析解析关闭由x,y的约束条件作出可行域,如图中阴影区域所示.令u=2x-2y-1,则y=x-𝑢+12,先画出直线y=x,再平移直线y=x,易知当直线分别经过点A(2,-1),B13,23时,u取得最大值与最小值.又x2,所以-53≤u5,故z=|u|∈[0,5).答案解析关闭[0,5)命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四第一部分三、数形结合思想思想方法高频考点核心归纳高频考点-13-数形结合在解析几何中的应用【思考】数形结合思想在解析几何中有哪些方面的应用?例4(2015贵州八校第二次联考)已知函数y=f(x)(x∈(-∞,-2)∪(2,+∞)),在其图象上任取一点P(x,y)都满足方程x2-4y2=4.①函数y=f(x)一定具有奇偶性;②函数y=f(x)在(-∞,-2)上是单调函数;③∃x0∈(-∞,-2)∪(2,+∞),使x02f(x0);④∀x∈(-∞,-2)∪(2,+∞),使|x|2f(x).以上说法正确的序号是.答案解析解析关闭因函数的图象是双曲线的一部分,易知①②不成立.③④可转化为双曲线的渐近线的斜率问题,③④都满足条件.正确的是③④.答案解析关闭③④命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四第一部分三、数形结合思想思想方法高频考点核心归纳高频考点-14-题后反思1.如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征,就要考虑用数形结合的思想方法来解题,即所谓的几何法求解,比较常见的对应有:(1)𝑏-𝑛𝑎-𝑚⇔(a,b),(m,n)连线的斜率;(2)(𝑎-𝑚)2+(𝑏-𝑛)2⇔(a,b),(m,n)之间的距离.2.在解析几何中的一些范围及最值问题中,常根据图形的性质结合几何概念进行相互转换,使问题得到简便快捷的解决.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四第一部分三、数形结合思想思想方法高频考点核心归纳高频考点-15-对点训练4已知双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,求此双曲线离心率的取值范围.答案答案关闭∵渐近线y=𝑏𝑎x与过焦点F的直线l平行或渐近线从该位置绕原点按逆时针旋转时,直线l与双曲线的右支有一个交点,∴𝑏𝑎≥3,即c2=a2+b2≥4a2,∴e≥2.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四第一部分三、数形结合思想思想方法高频考点核心归纳核心归纳-16-规律总结拓展演练1.实现数形结合的渠道主要有:(1)实数与数轴上点的对应;(2)函数与图象的对应;(3)曲线与方程的对应;(4)以几何元素及几何条件为背景,通过坐标系来实现的对应,如复数、三角、空间点的坐标等.2.用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法,值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整,以便于作图),然后作出两个函数的图象,由图求解.3.在运用数形结合思想分析问题和解决问题时,需做到以下四点:(1)要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征;(2)要恰当设参,合理用参,建立关系,做好转化;(3)要正确确定参数的取值范围,以防重复和遗漏;(4)精心联想“数”与“形”,使一些较难解决的代数问题几何化,几何问题代数化,以便于问题求解.4.很多数学概念都具有明显的几何意义,善于利用这些几何意义,往往能达到事半功倍的效果.第一部分三、数形结合思想思想方法高频考点核心归纳核心归纳-17-规律总结拓展演练1.已知0a1,则方程𝑎|𝑥|=|logax|的实根个数为()A.1B.2C.3D.4答案解析解析关闭作出函数y=a|x|,y=|logax|的图象,由图象可知,两图象只有2个交点,故方程有2个实根.答案解析关闭B第一部分三、数形结合思想思想方法高频考点核心归纳核心归纳-18-拓展演练2.(2015江西九江二模)一个游泳池长100m,甲、乙两人分别在游泳池相对两边同时朝对面游泳,甲的速度是2m/s,乙的速度是1m/s,若不计转向时间,则从开始起到5min止,它们相遇的次数为()A.6B.5C.4D.3答案解析解析关闭如图,两曲线共有5个交点,故选B.答案解析关闭.B规律总结第一部分三、数形结合思想思想方法高频考点核心归纳核心归纳-19-拓展演练3.使log2(-x)x+1成立的x的取值范围是.答案解析解析关闭在同一坐标系中,分别作出y=log2(-x),y=x+1的图象,由图可知,x的取值范围是(-1,0).答案解析关闭(-1,0)规律总结第一部分三、数形结合思想思想方法高频考点核心归纳核心归纳-20-拓展演练4.已知奇函数f(x)的定义域是{x|x≠0,x∈R},且在(0,