平面问题的直角坐标解答

弹性力学辅导二第三章平面问题的直角坐标解答一、本章学习指导本章是按应力求解平面问题的实际应用。其中采用应力函数φ作为基本未知函数进行求解，并以直角坐标来表示问题的解答。在学习本章时；应重点掌握：1．按应力函数φ求解时，φ必须满足的条件。2、逆解法和半逆解法。3．由应力求位移的方法。4．从简支梁受均布荷载的问题中，比较弹性力学和材料力学解法的导同。二、逆解法与半逆解法当体力为常量时，按应力来解已经归纳为求解一个应力函数由φ，它必须满足下列条件：1．在平面区域A内的相容方程；2．在边界上的应力边界条件（假设全部边界上都为应力边界条件）；3、对于多连体，还须满足多连体中的位移单值条件。在求出应力函数φ后，便可以求出应力分量，然后再求出其他未知函数。相容方程是四阶偏微分方程。它的解不同于常微分方程，可以表示为有限个解答的形式。或者说，相容方程可以有无限个解答。为了寻找能满足给定问题的边界条件的解答，可以采用逆解法和半逆解法。逆解法的主要步骤如下：l）先找出满足相容方程的解答；2）求出应力分量；3）在给定的边界形状（给定的边界方程）下，根据应力边界条件由应力反推出相应的面力，即得出边界面上的面力分布后，我们可以反过来证实：在面力作用下，该问题的解答就是上述的应力函数φ和相应的应力。采用多项式表示应力函数φ的一些解答。当多项式小于四次幂时，它们必然满足相容方程。其中一次式φ=ax+dy+c，对应于无体力、无面力和无应力的状态。二次式φ=a²x+dxy+cy²，可以表示常量的正应力和切应力的状态。三次式φ＝ax³＋bx²y＋cxy²＋dy³，可以表示各种线性分布的应力状态。半逆解法求解的具体步骤如下：1）根据弹性体受力情况和边界条件等，假设应力分量的函数形式；2）由应力推出应力函数φ的形式；在半逆解法中寻找应力函数负时，通常采用下列方法来假设应力分量的函数形式：（1）由材料力学解答提出假设，（2）由边界受力情况提出假设，（3）用量纲分析方法提出假设。3）求出φ的具体表达式；4）求出对应的应力分量；5）将应力代人边界条件，考察它们是否满足全部边界条件（对于多连体，还须满足位移单值条件）。如果所有的条件均能满足，上述解答就是正确的解答。否则，就要修改假设，重新进行求解。在考核应力边界条件时，必须注意以下几点：1）首先考虑主要边界（大边界）上的条件，然后考虑次要边界（小边界）上的条件。2）在主要边界上，必须精确地满足边界条件，每边应有两个条件；3）在次要边界上，如不能满足式精确边界条件时，则可以应用圣维南原理，用三个积分的近似边界条件（主矢量和主矩的条件）来代替，4）必须把边界方程代入边界条件；5）分清在边界条件中应力和面力的不同的符号规定。6）除一个次要边界外，其他所有边界条件都必须进行校核并使之满足。当平衡微分方程和其他应力边界条件都满足以后，从整体平衡条件可以得出，本校核的一个次要边界上的三个积分边界条件是必然满足的。三、位移分量的求出在按应力求解时，若已经求出应力分量，如何求出对应的位移分量。由己知应力求位移的步骤是：1．将应力分量代人物理方程2．将形变分量代入几何方程，3．从几何方程积分求出u和v后，还包含三个待定的刚体平移u。，v。和刚体转动量ω。，它们须由相应的刚体约束条件来确定。例题1：设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩的作用，体力可以不计，l﹥﹥h，如下图所示，试用应力函数Ф＝Axy＋By2＋Cy3＋Dxy3求解应力分量。1、将Ф代入相容方程，显然是满足的。2、将Ф代入应力公式，求出应力分量。σx＝2B＋6Cy＋6Dxyσy＝0例题2：已知（a）Ф＝Ay2（a2-x2）＋Bxy＋C（x2＋y2）（b）Ф＝Ax4＋Bx3y＋Cxy2＋Ey4试问它们能否作为平面问题的应力函数？解：作为应力函数，必须首先满足相容方程，▽4φ＝0将φ代入。（a）其中A＝0，才能成为应力函数。（b）必须满足3（A＋E）＋C＝0，才能成为应力函数。例题3：