.数学创意解难1-18题

.数学创意解难1-18题数学辩论样本题目（1）制作最大体积的盒子有一张长方形的卡纸，长30cm和阔20cm。从卡纸的四个角剪去四个正方形，将卡纸沿虚线折起，做出一个没有盖的长方体盒子。怎样才能制造出一个最大体积的盒子？若果剪去的正方形较小，则得出的盒子底面积会较大，但盒子较矮。剪去的正方形较大，则得出的盒子底面积会较小，但盒子较高。注︰图中，灰色的部份代表剪去的正方形。问题：1.如要制作最大体积的盒子，这盒子的长、阔和高分别是多少？请解释你的思考过程及解难策略。2.承上题，这个盒子的体积是多少？数学辩论样本题目（2）零八迎奥运小明是国奥队田径教练的助手。他负责安排队伍的赛前训练，工作包括预订练习场地（见图一）及记录队伍练习的进度。他为了显示其中一队参与4×100米接力的队伍练习的情况，制作了以下的图表（见图二）。问题：(如以下空位不足够解答问题，你们可以在白纸上书写答案。)1.哪一棒的跑手跑得最快？解释你的原因。2.最后一棒的跑手的速度是多少？(速度=距离/时间)3.a)考虑到跑手跑步的真实情况，上图有哪些地方不合常理？b)你会如何在不改变他们交棒时间的大前提下，稍稍改变上图，令它更合理呢？4.试为参加一个游泳4×50米接力赛的其中一队，利用附上的方格纸绘制一个图表，并加以解释。假设每一棒都需要最少三十秒才能完成五十米。(提示：该项比赛是在标准50米长的游泳池举行的。)数学辩论题目（3）：甲虫问题有一只甲虫，牠只懂得沿东北、东南、西北和西南的方向行走，而且牠只有在遇到障碍物时才会改变牠原有的行走方向。有一天，甲虫无意中从一个矩形木盒的左下角走进盒子内。这个木盒共有四个出口(如下图圆形位置所示)，矩形木盒的底部画有多个方格。下图例子是一个6×4格的木盒。现在探究甲虫需要经过多少个方格才能逃出这个6×4格的木盒。牠可从任何一个出口离开木盒，但开始的入口除外。甲虫需经过1.下列有大小不同的木盒。请画下甲虫逃走的路线，并记下牠经过多少个方格才能逃出木盒?2.试从以下甲虫逃走的路线图，描述各图之间的关系。a)2×3格的木盒2×6格的木盒2×3格的木盒甲虫需经过（）个方格才能逃出这个木盒。2×6格的木盒甲虫需经过（）个方格才能逃出这个木盒。描述这两幅路线图有何关系：以上两条路线所用的方格数目有什么关系呢？b)3×5格的木盒3×15格的木盒3×5格的木盒甲虫需经过（）个方格才能逃出这个木盒。3×15格的木盒甲虫需经过（）个方格才能逃出这个木盒。描述这两幅路线图有何关系：以上两条路线所用的方格数目有什么关系呢？3.请在下表填写甲虫在以上各木盒逃生时所需经过的方格数目。4.设木盒是m×n格，甲虫逃出盒子需经过方格数目与m和n有何关系？为何会有此关系？5.试将以上甲虫问题中的条件及/或规则随意修改，使甲虫进入木盒后，便不能从任何出口离开。数学辩论样本题目（4）谢尔宾斯基三角形1916年，波兰数学家谢尔宾斯基(Sierpinski)提出了以下构作图形的方法，这个图形后被称为谢尔宾斯基三角形。i.画出一个等边三角形；ii.连接三角形每一边的中点并将.的等边三角形填上颜色；iii.是否每个三角形已经填上颜色？如是，三角形制作已完成；如否，请为每一个尚未填上颜色的三角形都重复步骤ii。观看以下谢尔宾斯基三角形的制作方法。问题：(如以下空位不足够解答问题，你们可以在白纸上书写答案。)1.数算三角形的数目。第一次填色后，原来的大三角形是由4个三角形组成。第二次填色后，原来的大三角形是由（）个三角形组成。第三次填色后，原来的大三角形是由()个三角形组成。2.留意各个三角形数目之间的关系，试描述三角形数目的规律，并猜测第五次填色后，原来的大三角形是由多少个三角形组成？3.计算着色部分的面积占整个图形的面积几分之几。第一次填色后，已着色三角形在整个图形中占：第二次填色后，已着色三角形在整个图形中占：第三次填色后，已着色三角形在整个图形中占：4.第五次填色后，已着色部分的面积占整个图形的几分之几？(提示：可留意没着色部分的数目。)5.若这个填色方法持续下去，你认为原本的大三角形会否给填满？数学辩论样本题目(5)：送货的路线以下是某国家的行车路线图。这个国家共有十个城市，各城巿到其他城巿所需的行车时间及路费已列于各道路旁，路费与所需行车时间没有任何关系。假设你是一间位于城巿A的货运公司负责人，而且你只有一架货车及一位送货工人，试观察下图及回答问题：问题：(如以下空位不足够解答问题，你们可以在白纸上书写答案。)1.现需要送货到城巿G。如要达到最少的送货时间，路线应是怎样呢？试解释你的答案和策略。(只需要考虑去程。)2.现需要送货到城巿J。如要达到最少的路费，路线应是怎样呢？试解释你的答案和策略。策略上与第一条有没有分别呢？(只需要考虑去程。)3.作为公司的负责人，你当然希望付出最少的金钱，便能完成工作。现在已知道送货工人每小时的薪金是$15，他需要送货到城巿D、城巿E、城巿F及城巿H，然后回到城巿A。你会如何计划路线，使综合所有费用(即路费和薪金)后，货运公司能付出较少的金钱，而又能有效地把货物运到目的地？4.因为货运的需要日益增多，公司现考虑在其他城巿多设置一个新的据点，你会选择在哪一个城巿增设分公司呢？试解释你的答案和所用的策略。数学辩论样本题目（6）:有趣的数列在以下的數列中，每一个數字都是前兩项的和。问题：(如以下空位不足够解答问题，你们可以在白纸上书写答案。)1.细阅以下第3项至第7项中的數字，求首兩项的數值？2.细阅以下數列，求a及b的數值。3.在以下的數列中，没有兩个連续项的數值是偶數。你同意吗？请加以解释。4.在以下的數列中，倘若无穷地衍生下去，有没有一项的數值是5或5的倍數呢？请加以解释。5.先了解以下条件：以下的數列中，c及d必须是介乎1-5之间的整数，而且在数列中有一项或多项的数值是5或5的倍數。试观察下表有关c及d各种可能的数值组合。假如某一个数值组合能令以上数列中有一项或多项的数值是5或5的倍數，则请在对应方格内加_；否则在方格内_。(例如：当c=1及d=1，如你们认为它们的组合能使数列中有一项或多项的数值是5或5的倍數，则在对应的方格内加_；若你们认为它们的组合不能使数列中最少有一项的数值是5或5的倍數，则在对应的方格内加_。)6.若在以下的數列中，第一至三项的数值不可是5或5的倍数，但其余则有一项或多项的数值是5或5的倍數，试找出c及d的數值，并解释c及d的特性。7.请设计一个现实生活中的情景或提供一个你观察到的现实生活中现象，可用此题目中的数列规律来解释。数学辩论样本题目（7）金牌选手2021年校际田径比赛即将于6月中举行，各运动员皆努力练习，热切期待能代表学校参加比赛，为校争光。陈老师是某学校的校队田径教练，他记录了四名100米选手于过往九个月以来在练习赛中的成绩，表列如下。陈老师需要决定选派两位(最好的)同学代表学校出赛。问题：1.请计算这四名选手在九次练习赛中的平均数、中位数、众数、最快成绩、最慢成绩，及其他你认为有需要的统计数字，并绘画适当的统计图表。(注：中位数是把数据由小至大排列时，排于中间位置的数据；众数是出现次数最多的数据。)2.如果你是陈老师，你会选派哪两位选手代表学校参赛呢？你必须清楚解释你是采用甚么原则来作决定，并附以统计资料为证据。数学辩论样本题目（8）:划分区域本题是有关利用铅笔及直尺在白纸上绘画直线的问题。在绘画时，我们希望尽量把白纸分成最多的区域。以下有两个例子：例子一：纸上有一条直线时，白纸被分割成两个区域（如图一）。例子二：纸上有两条直线时，白纸就被分割成最多四个区域（如图二）。问题：1.请在下面图三中绘画三条直线，把下图分割成最多区域，并写下区域的数目。2.我们以an表示白纸被n条直线所分割成最多区域的数目。例如:a1=2a2=4等请在以下表格填入适当之数字（提示：可参看之前的图一、图二及图三。）3.观察以上的表格一，你发现到什么规律？请尽量描述。4.根据表格一之规律，推算a2009是多少。5.请写出一条公式来表达n和an的关系。注意：除了上述单纯用直线来划分白纸这方法外，我们也可以用圆形或椭圆形来划分白纸。以下各题都和这类型的划分方法有关。假设你可以在一张已绘画了n条直线的白纸上画一个圆形，在绘画的时候，你可以自行决定这个圆形的大小和位置。例如，当n=1时，把白纸分割的其中一个方法显示如下：6.假设现在白纸上有n条直线（n是任何一个大过「0」的整数），你要画上一个圆形，画完后你希望能把这张白纸分割出最多区域，那么，这张白纸最多可被分割出多少个区域呢?请用n来表示你的答案及解释如何得出你的答案。现在我们用椭圆形来作分割工具，在分割时必须符合以下三个条件：A：整个椭圆形要在白纸内，不能与边界有交点；B：没有三个或以上的椭圆形相交于同一点；C：任意2个椭圆形都刚好相交于两个交点。以下图四和图五的分割方法均符合这三个条件。7.虽然以下图六的分割方法可以分割出6个区域，但这是不被允许的，为什么？8.当白纸上有三个椭圆形时，白纸最多可以被分割成多少个区域？9.我们以bn表示白纸被n个椭圆形所分割成最多区域的数目。例如:b1=2b2=4等现在求b4，b5及b6。10.推算b10是多少及写出一条公式来表达n和bn的关系。11.如果现在使用椭圆形来作分割工具时只须符合前面提及的条件A和B，并取消条件C，你认为b10的数值会有怎样的改变？为什么？数学辩论样本题目（9）冠军的诞生1.羽毛球比赛学校举行羽毛球锦标赛，共有37名同学参加。比赛采用淘汰赛制，意思是在每一轮比赛中，每二人编成一组进行比赛，若参赛同学的人数是奇数，便有一人可以轮空，即是可以直接进入下一轮比赛。若学校想尽量减少锦标赛的比赛场数，那么，学校需要进行多少场比赛才可以诞生冠军？为什么？2.足球比赛学校举行足球比赛，共有5队参加，赛制采取单循环，即每队只对决其他队伍一次；赢3分，和1分，输0分，累积分数最多的队伍为冠军。a)在这赛制中，共有多少场比赛？b)整个比赛完毕后，若其中一队有9分，它是否必定夺得冠军？为什么？c)若现在有37队参加，赛制不变，试找出计算共有多少场比赛之方法，并向评判团汇报。3.猜「剪刀、石头、布」比赛学校举行猜「剪刀、石头、布」比赛，共有37名同学参加。a)请为这个比赛设计一个新的赛制，但赛制不可使用上述的淘汰或单循环赛制。c)请解释你们所设计的赛制如何有效地分出胜负，同时亦能达到公平的原则。数学辩论样本题目（10）图形化乘法我们学习乘法时，是这样领会的：以3×5作为例子，3×5是指有5个3加起来，即3+3+3+3+3=5×3。然后，我们也可以记下九因歌的一些乘法口诀，从而更快速地进行乘法运算。本题目会以另一个角度来领会乘法，称为『图形化乘法』。『图形化乘法』的意思如下：我们以矩形面积来表示乘法，例如，（7×3）是指一个横为7，直为3的矩形，7×3所得的值是指该矩形的面积（图一）。用以上的例子推论，a和b是两个数字，（a×b）是指一个横为a，直为b的矩形，其值是指该矩形的面积（图二）。（一）『图形化乘法』的应用1.同学应该知道乘法有这样一个法则：7×3=3×7，即乘的次序可以倒转。请用矩形面积来解释为什么以上的法则是正确的。2.乘法有另一个法则：7×(3+2)=7×3+7×2请用矩形面积来解释为什么以上的法则是正确的。注意事项：以下题目会将a×b简写成ab3.若a,b和c都是大个「0」的数值，且b的数值比c的大，请以『图形化乘法』解释为什么a×(b-c)=ab-ac是正确的。(二)平方数若把一个数自乘，例如5×5，我们会以52来表示。换言之，假如a是一个大个「0」的数，那么a2=a×a。4.若使用『图形化乘法』来表达52，你会选择什么图形？请把你的答案画出来。5.以『图形化乘法』来找出以下算式中空白位置的数值。6.以下有两个面积不同的正方形和两个面积相同的长方形。试使用这些图形来找出以下算式中空白位置应填上什么的代数式。（1）a和b都是大过「0」的数（2）2ab=ab+ab7.利用『图形化乘法』来解释为什么以下的公式是