16 广义逆的计算及应用

16广义逆的计算及应用第十六讲广义逆的计算及应用一、由Hermite标准形求{1}-逆任何矩阵都可由初等行变换化为Hermite标准形。设mnrAC?∈，存在满秩矩阵mmmEC?∈，使EAB=（Hermite标准形）,采用置换矩阵P：12llinnPee|e???=??其它rIKEAP00??=????11rIKAEP00--??=????1.求{1}-逆的方法{}rnmIMA1PEKN0NL???????==??????????（取阶数合适的M、L）[证明]令rIMXPENL??=????，则1111rrrIKIMIKAXAEPPEEP00NL00----??????=????????????11rrIKNMKLIKEP0000--++????=????????11rrIKN(IKN)KEP00--++??=????11rIKEP00--??=????A=2.{1,2}-逆当{}XA1∈时，由定理可知：rankXrankA=是{}XA1,2∈的充要条件。rIMXPENL??=????，P、E为满秩方阵∴rIMrankXrankrankArNL??===????rrIMIM~LNM0NL0LNM????→-=????-????∴{}rnmIMA1,2PEKN0,LNMNL???????===??????????二、由满秩分解求广义逆对A进行满秩分解：AFG=，mnrAC?∈，mrrFC?∈，rnrGC?∈[定理]设mnrAC?∈，其满秩分解为AFG=，则（1）{}(i)(1)GFAi∈i1,2,4=（2）{}(1)(i)GFAi∈i1,2,3=（3）{}(1)GFA1,2,3+∈，{}(1)GFA1,2,4+∈（4）(1,3)(1,4)AGFGF+++==（5）HH1H1HHHH1HAGFG(GG)(FF)FG(FAG)F+++---===证明思路：（1）（2）代入相应的Penrose方程即可证之，由（1）（2）?（3）?（4）?（5）三、矩阵方程AXBD=的相容性条件及通解定理1.矩阵方程AXBD=相容（有解）的充要条件：(1)(1)AADBBD=在相容情况下矩阵方程的通解为：{}(1)(1)(1)(1)ADBYAAYBB|Y+-为阶数合适的任意矩阵[证明]相容性条件的充分性：已知(1)(1)AADBBD=，显然有解(1)(1)XADB=相容性条件的必要性：已知AXBD=有解，设某个解为X，即(1)(1)(1)DAXBAAAXBBBAADBB===现在证明通解：“通解”有两个含义：（1）解集合中的任何元素为方程的解；（2）方程的任何解均可由集合中的元素表现出来。（1）令(1)(1)(1)(1)XADBYAAYBB=+-，代入AXBD=AXBDAYBAYBD=+-=∴集合中的元素为方程的解（2）设X为方程的解，即AXBD=(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)XADBXADBADBXAAXBB=+-=+-对应于集合中YX=的情况。[得证]由上述证明可见：（1）通解中两个(1)A及两个(1)B完全可以不同。（2）通解集合中，不同的Y完全可能对应同一个解。推论1.线性方程组Axb=有解的充要条件为：(1)AAbb=且通解为{}(1)(1)nAb(IAA)y|y+-为列向量推论2.{}A1(AXAA)=的解为如下集合：{}(1)(1)(1)(1)AAAYAAYAA+-（四个(1)A可互不相同）四、极小范数解在方程有解时，完全可能是具有无穷多个解，实际中常常希望研究其中具有特定性质的解，例如范数最小的解，即极小范数解。引理1.方程Axb=若有解，则必存在唯一的极小范数解（对2-范数），且该解在HR(A)中。[证明]设x是方程Axb=的解，可将其分解为0xxy=+，其中H0xR(A)N(A)⊥∈=→0xN(A)⊥，yN(A)∈22222HHH000000022222xxy(xy)(xy)xxyyxyx=+=++=+=+≥而000AxAxAyAx0Axb=+=+==即：0x也是方程的解，也就是HR(A)中存在Axb=的解。假设HR(A)中存在方程Axb=的两个解1x和2x，即12AxAxb==→1212AxAx0(xx)N(A)-=→-∈同时12(xx)N(A)⊥-∈∴{}12(xx)N(A)N(A)0⊥-∈=∴1x＝2x也就是说在HR(A)中方程Axb=只有唯一的解（若方程有解）∴方程的任何其它解的2-范数均大于0x的2-范数∴0x是极小范数解[得证]由证明可知，方程Axb=在HR(A)的解必定是极小范数解。引理2.{}A1,4由如下方程的通解构成(1,4)XAAA=，其中(1,4)A是A的某一个{1,4}-逆。[证明]一方面：上述方程的解一定是A的某一个{1,4}-逆,设X为其解(ⅰ)(1,4)AXAAAAA==(ⅳ)(1,4)XAAA=是厄米矩阵另一方面：A的任何{1,4}-逆均满足上述方程，设X是A的{1,4}-逆，(1,4)A是某个给定的{1,4}-逆，X满足(ⅰ)(ⅳ)Penrose方程()()()()(i)(iv)HHHH(1,4)(1,4)(1,4)(1,4)AAAAXAAAXAXAAAXAXA=====[得证]以上引理说明，对于{}XA1,4∈，XA是个不变量。定理2.设方程Axb=相容，则(1,4)xAb=是方程的极小范数解；反之，若对任意bR(A)∈，存在X使得Xb成为该方程的极小范数解，则{}XA1,4∈。[证明]先证前半部分。推论1→(1)Ab是Axb=的解{}{}()(1,4)(1,4)H(1,4)(1,4)(1,4)(1)(1,4)(1)AA1xAbAA4xAbAAAbAAAb?∈→=??∈→===??是方程的解H(1,4)H(1)HA(A)AbR(A)=∈由引理1知，(1,4)Ab是极小范数解。后半部分：，存在对于任意bR(A)∈，均有Xb为Axb=的极小范数解，即Xb＝(1,4)Ab为极小范数解。因为bR(A)?∈，上式都成立，将b依次取为A的各列，合起来得(1,4)XAAA=由引理2知{}XA1,4∈定理3.设mnAC?∈，则{}{}(1,4)(1,4)mnA1,4AZ(IAA)|ZC?=+-∈该定理的证明可由引理2结合定理1给出。作业：P33223(1)(2){}nmQMA1PEQKN0NL???????=+=??????????（取阶数合适的M、L）[证明]令QMXPENL??=????，则rr1111IKQMIKAXAEPPEEP00NL00----??????=????????????r11QKNMKLIKEP0000--++????=????????11QKN(QKN)KEP00--++??=????11rIKEP00--??=????A=