2021届高考数学(文)一轮复习单元检测第4单元导数及其应用(解析版)

2021届高考数学(文)一轮复习单元检测第4单元导数及其应用(解析版)第四单元导数及其应用(120分钟150分)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.函数f(x)=x2-lnx+1的一个单调递减区间是A.(0,e)B.(e,+∞)C.(0,1)D.(1,+∞)解析:f'(x)=x-=,令f'(x)答案:C2.函数y=x3-3x2-9x(-2A.极大值5,极小值-27B.极大值5,极小值-11C.极大值5,无极小值D.极小值-27,无极大值解析:由y'=3x2-6x-9=0,得x=-1或x=3.又-2当-1答案:C3.已知曲线y=-3lnx在点(x0,f(x0))处的切线与直线2x+y-1=0垂直,则x0的值为A.3B.2C.1D.解析:直线2x+y-1=0的斜率k=-2,故点(x0,f(x0))处的切线斜率k2=.1函数的定义域为(0,+∞),函数的导数为y'=-,由y'=-=,得x2-x-6=0,解得x=3或x=-2(舍去).答案:A4.函数f(x)=(x-3)ex在[0,4]上的最大值和最小值为A.e2,-3B.e4,-3C.e4,-e2D.-3,-e2解析:函数f(x)=(x-3)ex的导函数为f'(x)=(x-2)ex,可知,函数在(0,2)上是减函数,(2,4)上是增函数,∵f(0)=-3,f(4)=e4,∴f(x)min=f(2)=-e2,f(x)max=f(4)=e4.答案:C5.若函数y=-x3+bx有三个单调区间,则实数b的取值范围为A.b≥0B.b0C.bD.b≤0解析:由题意知y'=-4x2+b=0有两个不等的实根,故b0.答案:B6.已知f(x)=ax3+bx2+c,其导函数f'(x)的图象如右图,则函数f(x)的极大值是A.a+b+cB.8a+4b+cC.3a+2bD.c解析:由导函数f'(x)的图象知当0答案:B7.已知函数f(x)=x3-2ax2-bx在x=1处的切线的斜率为1,若abA.(-∞,-]B.(-∞,]C.[,+∞)D.[,+∞)解析:f'(x)=3x2-4ax-b,故f'(1)=3-4a-b=1,∴4a+b=2,∴+=(+)(4a+b)=(++5),当a,b异号时,(++5)≤-2+=,当且仅当a=1,b=-2时取等号.答案:B8.若f(x)=-x+blnx在(0,2)上不是单调函数,则b的取值范围是A.(-∞,0]B.(0,2)C.(2,+∞)D.[0,2]解析:f'(x)=-1+,因为x0,若b≤0,则f'(x)答案:B9.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x∈[0,+∞)时,f(x)=cosx+x,若实数a满足f(log2a)+f(loa)≤2f(1),则a的取值范围是A.(-∞,]∪[2,+∞)B.(0,]∪[2,+∞)C.[,2]D.(0,2]解析:f'(x)=-sinx+1≥0,∴f(x)在区间[0,+∞)上单调递增.因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,且loa=-log2a,所以f(log2a)+f(loa)=f(log2a)+f(-log2a)=2f(log2a)≤2f(1),即f(log2a)≤f(1),因为函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,所以f(|log2a|)≤f(1),即|log2a|≤1,所以≤a≤2.答案:C10.若x1,x2(x1f(x2)-f(x1)为函数f(x)的一个极优差.则函数f(x)=ex(sinx-cosx)(-≤x≤π)的极优差为A.eπB.eπ-1C.eπ-1D.eπ+1解析:f'(x)=2exsinx,令f'(x)=0,即sinx=0,得x=0或π,当x∈(-,0)时,f(x)为减函数,x∈(0,π)时,f(x)为增函数,x∈(π,π)时,f(x)为减函数,故f(x)的极大值为f(π),极小值为f(0),极优差为f(π)-f(0)=eπ+1.答案:D11.已知函数y=f(x+2)的图象关于直线x=-2对称,且当x∈(-∞,0)时,f(x)+xf'(x)0成立.若a=(20.2)·f(20.2),b=(ln2)·f(ln2),c=(lo)·f(lo),则a,b,c的大小关系是A.abcB.bcaC.cabD.cba解析:因为函数y=f(x+2)的图象关于直线x=-2对称,,所以y=f(x)关于y轴对称,所以函数y=xf(x)为奇函数.因为[xf(x)]'=f(x)+xf'(x),所以当x∈(-∞,0)时,f(x)+xf'(x)0,函数y=xf(x)单调递增,所以当x∈(0,+∞)时,函数y=xf(x)单调递增.因为1答案:C12.设动直线x=m与函数f(x)=x2,g(x)=alnx的图象分别交于点M、N,若|MN|的最小值为+ln2,则实数a的值可以是A.1B.C.1+ln2D.ln2-1解析:令h(x)=x2-alnx,h'(x)=2x-=,当a≤0时,在定义域上h'(x)0,函数h(x)单调递增,无最小值,故a0.当0答案:A第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.13.函数f(x)=x2+的单调递增区间为.解析:令f'(x)=x-0,得x1.答案:(1,+∞)14.函数y=x+2cosx在区间[0,]上的最大值是.解析:y'=1-2sinx=0,x=,比较0,,处的函数值,得ymax=+.答案:+15.设曲线f(x)=nxn+1(n∈N*)在点(1,n)处的切线与x轴交点的横坐标为xn,若xn=,则n的值为.解析:f'(x)=n(n+1)xn,所以曲线在点(1,n)处的切线斜率k=n(n+1),切线方程为y-n=n(n+1)(x-1),令y=0,得xn=1-=,令=,得n=5.答案:516.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的导数f'(x),f'(0)解析:f'(x)=2ax+b,f'(0)=bf(1)=a+b+c,所以==1+≥1+2=1+2=1+1=2.所以最小值为2.答案:2三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=lnx-ax.(1)当a=1时,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若a解析:(1)当a=1时,f(x)=lnx-x,∴f'(x)=-1,∴切线斜率k=f'(1)=0.又∵f(1)=-1,∴切线方程为y=-1.5分(2)f'(x)=-a,由a∴f(x)max=f(e)=1-ae=2,∴a=-.10分18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=-x3+2x2-4,若关于x的方程f(x)=m在[-1,1]上恰有两个不同的实数根,求实数m的取值范围.解析:f(x)=-x3+2x2-4(x∈[-1,1]),则f'(x)=-3x2+4x.令f'(x)=0,得x=0或x=(舍去).4分当x变化时,f'(x),f(x)即f(x)的草图如图所示:观察图象,若关于x的方程f(x)=m在[-1,1]上恰有两个不同的实数根,有-419.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ex-ax(e为自然对数的底数).若不等式f(x)x的解集为P,且{x|0≤x≤2}?P,求实数a的取值范围.解析:因为不等式f(x)x的解集为P,且{x|0≤x≤2}?P,所以,对任意的x∈[0,2],不等式f(x)x恒成立,由f(x)x得(1+a)x令g(x)=-1,g'(x)=令g'(x)0,解得x1;令g'(x)从而g(x)在(0,1)内单调递减,在(1,2)内单调递增.所以当x=1时,g(x)取得最小值e-1,从而所求实数的取值范围是(-∞,e-1).12分20.(本小题满分12分)已知f(x)=xlnx-x.(1)求f(x)在[,e]上的最大值和最小值;(2)证明:对任意x∈[,e],x-x2-+1解析:(1)f'(x)=lnx,令f'(x)=0,得x=1.当x∈(,1)时,f'(x)当x∈(1,e)时,f'(x)0,f(x)单调递增.所以f(x)的最小值为f(1)=-1.又f()=-,f(e)=0,所以f(x)的最大值为0.6分(2)由(1)知,当x∈[,e]时,f(x)=xlnx-x的最小值为f(1)=-1.而x-x2-+1令g(x)=x2-x3-,x∈[,e],则g'(x)=x(1-x),当x∈(,1)时,g'(x)0,g(x)单调递增;当x∈(1,e)时,g'(x)即x∈[,e]时,g(x)max21.(本小题满分12分)设函数f(x)=+c(e是自然对数的底数,c∈R).(1)求f(x)的单调区间和最大值;(2)讨论关于x的方程|lnx|=f(x)根的个数.解析:(1)f'(x)=,由f'(x)=0得,x=1.当x所以f(x)的最大值f(x)max=f(1)=+c.4分(2)令g(x)=|lnx|,当x∈(0,1)时,g(x)=-lnx,故函数g(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,g(x)=lnx,故函数g(x)单调递增,所以g(x)min=g(1)=0.由(1)知f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,且f(x)max=f(1)=+c.6分①当+c0,即c-时,曲线y=g(x)与曲线y=f(x)有2个公共点,从而关于x的方程|lnx|=f(x)根的个数为2.10分综上所述,当c当c=-时,关于x的方程|lnx|=f(x)根的个数为1;当c-时,关于x的方程|lnx|=f(x)根的个数为2.12分22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax-x2-lnx在(1,+∞)上是减函数,试求g(x)=e2x-aex-1在[ln,0]上的最小值.解析:f'(x)=a-2x-,∵f(x)在(1,+∞)上是减函数,∴f'(x)=a-2x-≤0在(1,+∞)上恒成立,即a≤2x+恒成立,∴只需a≤(2x+)min即可.设函数h(x)=2x+,则h'(x)=2-.x1时,h'(x)0,所以h(x)=2x+在(1,+∞)上单调递增,∴在(1,+∞)有h(x)h(1)=3,∴a≤3.设ex=t,∵x∈[ln,0],∴t∈[,1].设m(t)=t2-at-1=(t-)2-(1+),其对称轴为t=,∵a≤3,∴t=≤.6分①当≤,即a≤时,m(t)的最小值为m()=;②当③当≥1,即2≤a≤3时,m(t)的最小值为m(1)=-a.综上,g(x)min=12分