2021年-2021年高考数学试题(陕西理)高考数学试卷__全国卷Ⅲ理科

2021年-2021年高考数学试题(陕西理)高考数学试卷__全国卷Ⅲ理科2021年高考理科数学全国卷Ⅲ试题及答案（四川陕西云南甘肃等地区用）源头学子小屋本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟第I卷参考公式：如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）=P（A）·P（B）如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=CknPk(1－P)n－k一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的）（1）已知α为第三象限角，则2α所在的象限是（A）第一或第二象限（B）第二或第三象限（C）第一或第三象限（D）第二或第四象限（2）已知过点A(-2，m)和B(m，4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m的值为（A）0（B）-8（C）2（D）10（3）在8(1)(1)xx-+的展开式中5x的系数是（A）-14（B）14（C）-28（D）28(4)设三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA=QC1，则四棱锥B-APQC的体积为（A）16V（B）14V（C）13V（D）12V（5）设137x=，则（A）-2abc===,则(A)a(A)0xπ≤≤(B)744xππ≤≤(C)544xππ≤≤(D)322xππ≤≤(8)22sin2cos1cos2cos2αααα?=+球的表面积公式S=42Rπ其中R表示球的半径，球的体积公式V=334Rπ，其中R表示球的半径(A)tanα(B)tan2α(C)1(D)12（9）已知双曲线2212yx-=的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且120,MFMF?=则点M到x轴的距离为（A）43（B）53（C3（D（10）设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（A）2（B）12（C）2-（D1（11）不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有（A）3个（B）4个（C）6个（D）7个（12）计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：例如，用十六进制表示：E+D=1B，则A×B=（A）6E（B）72（C）5F（D）B0第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上（13）经问卷调查，某班学生对摄影分别执“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度，其中执“一般”态度的比“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影，如果选出的5位“喜欢”摄影的同学、1位“不喜欢”摄影的同学和3位执“一般”态度的同学，那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多人（14）已知向量(,12),(4,5),(,10)OAkOBOCk===-，且A、B、C三点共线，则k=（15）曲线32yxx=-在点（1，1）处的切线方程为（16）已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P是AB上的点，则点P到AC、BC的距离乘积的最大值是三、解答题：(17)(本小题满分12分)已知函数2()2sinsin2,[0,2].fxxxxπ=+∈求使()fx为正值的x的集合（18）(本小题满分12分)设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125，（Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；（Ⅱ）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率（19）(本小题满分12分)在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面1）求证AB⊥面VAD；2）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小（20）(本小题满分12分)在等差数列{}na中，公差0d≠，2a是1a与4a的等差中项，已知数列1a,3a,1ka,2ka,……,nka,……成等比数列，求数列{}nk的通项nk(21)(本小题满分12分)用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?(22)(本小题满分14分)设1122(,),(,)AxyBxy两点在抛物线22yx=上，l是AB的垂直平分线，（Ⅰ）当且仅当12xx+取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；（Ⅱ）当121,3xx==-时，求直线l的方程2021年高考全国卷Ⅲ数学试题及答案（四川陕西云南甘肃等地区用）参考答案一、DBBCA，CCBCD，DA二、13.3，14.23-，15.x+y-2=0，16.3三、解答题：（17）解：∵()1cos2sin2fxxx=-+……………………………………………2分1)4xπ=+-………………………………………………4分()012sin(2)04fxxπ∴?-sin(2)42xπ?--…………………………………………6分5222444kxkπππππ?-++……………………………8分34kxkπππ?又[0,2].xπ∈∴37(0,)(,)44xπππ∈?………………………………………………12分另法：22()2sinsin22sin2sincos2sin(sincos)fxxxxxxxxx=+=+=+()fx为正值当且仅当sinx与sincosxx+同号，在[0,2]xπ∈上，若sinx与sincosxx+均为正值，则3(0,)4xπ∈；若sinx与sincosxx+均为负值，则7(,)4xππ∈所以所求x的集合为37(0,)(,)44πππ（18）解：（Ⅰ）记甲、乙、丙三台机器在一小时需要照顾分别为事件A、B、C，……1分则A、B、C相互独立，由题意得：P（AB）=P（A）P（B）=0.05P（AC）=P（A）P（C）=0.1P（BC）=P（B）P（C）=0.125…………………………………………………………4分解得：P（A）=0.2；P（B）=0.25；P（C）=0.5所以,甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是0.2、0.25、0.5……6分（Ⅱ）∵A、B、C相互独立，∴ABC、、相互独立，……………………………………7分∴甲、乙、丙每台机器在这个小时内需都不需要照顾的概率为()()()()0.80.750.50.3PABCPAPBPC??==??=……………………………10分∴这个小时内至少有一台需要照顾的概率为1()10.30.7pPABC=-??=-=……12分（19）（本小题满分12分）四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD1）求证AB⊥面VAD；2）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小．证法一：（1）由于面VAD是正三角形，设AD的中点为E，则VE⊥AD，而面VAD⊥底面ABCD，则VE⊥AB又面ABCD是正方形，则AB⊥CD，故AB⊥面VAD（2）由AB⊥面VAD，则点B在平面VAD内的射影是A，设VD的中点为F，连AF，BF由△VAD是正△，则AF⊥VD，由三垂线定理知BF⊥VD，故∠AFB是面VAD与面VDB所成的二面角的平面角设正方形ABCD的边长为a，则在Rt△ABF中，,AB=a,AF=23a，tan∠AFB=33223==aaAFAB故面VAD与面VDB所成的二面角的大小为332arctan证明二：（Ⅰ）作AD的中点O，则VO⊥底面ABCD．…………1分建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为1，………2分则A（12，0，0），B（12，1，0），C（-12，1，0），D（-12，0，0），V（0，02），∴1(0,1,0),(1,0,0),(,22ABADAV===-……3分由(0,1,0)(1,0,0)0ABADABAD?=?=?⊥…………4分1(0,1,0)(,022ABAVABAV?=?-=?⊥(5)分又AB∩AV=A∴AB⊥平面VAD…………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得(0,1,0)AB=是面VAD的法向量……………………7分设(1,,)nyz=是面VDB的法向量，则110(1,,)(,1,)0(1,2230(1,,)(1,1,0)03xnVByznznBDyz=-????=?--=??????=-???=-?=?????--=??……9分∴(0,1,0)(1,cos,73ABn?-=-，……………11分又由题意知，面VAD与面VDB所成的二面角，所以其大小为arccos7……12分（II）证法三：由（Ⅰ）得(0,1,0)AB=是面VAD的法向量…………………7分设平面VDB的方程为mx+ny+pZ+q=0,将V.B.D三点的坐标代入可得?????????=+=+-=++023021021qpqmqnm解之可得?????????-=-==qpqnqm3222令q=,21则平面VDB的方程为x-y+33Z+21=0故平面VDB的法向量是)33,1,1(-=n………………………………9分∴(0,1,0)(1,cos,73ABn?-=-，………………11分又由题意知，面VAD与面VDB所成的二面角，所以其大小为arccos7……12分（20）解：由题意得：2214aaa=………………………………1分即2111()(3)adaad+=+…………………………………………3分又0,d≠∴1ad=……………………………………………………4分又1a,3a,1ka,2ka,……,nka,……成等比数列，∴该数列的公比为3133adqad===，………………………6分所以113nnkaa+=?…………………………………………8分又11(1)nknnaakdka=+-=…………………………10分∴13nnk+=所以数列{}nk的通项为13nnk+=……………………………12分（21）解：设容器的高为x，容器的体积为V，……………………1分则V=（90-2x）（48-2x）x,(0∵V′=12x2-552x+4320……………………………………………7分由V′=12x2-552x+4320=0得x1=10，x2=36∵x所以,当x=10,V有极大值V(10)=1960………………………………10分又V(0)=0,V(24)=0,…………………………………………………11分所以当x=10,V有最大值V(10)=1960……………………………………12分（22）解：（Ⅰ）∵抛物线22yx=，即22yx=，∴14p=，∴焦点为1(0,)8F………………………………………………1分（1）直线l的斜率不存在时，显然有12xx+=0……………3分（2）直线l的斜率存在时，设为k，截距为b即直线l：y=kx+b由已知得：12121212221kbkyyxxyyxx?++?=?+??-?=-?-?………………………………5分2212122212122212222kbkxxxxxxxx?++=?+????-?=-?-?22121212212kbkxxxxxx+?+=?+?????+=-??…………………………………7分2212104bxx?+=-+≥14b?≥即l的斜率存在时，不可能经过焦点1(0,)8F………………………8分所以当且仅当12xx+=0时，直线l经过抛物线的焦点F…………9分（Ⅱ）当121,3xx==-时，直线l的斜率显然存在，设为l：y=kx+b……………………10分则由（Ⅰ）得：22121212212kbkxxxxxx+?+=?+????+=-??12102122kbkxx+??+=?????-=-??………………………………11分14414kb?=?????=??……………………………………………13分所以直线l的方程为14144yx=+