2021年4月广东省韶关市高三调研考试数学(理科)试题及答案

2021年4月广东省韶关市高三调研考试数学(理科)试题及答案2021年4月广东省韶关市高三调研考试数学(理科)试题本卷分选择题和非选择题两部分，满分150分.考试用时间120分钟.注意事项：1．考生务必将自己的姓名、班级、学校用蓝、黑墨水钢笔签字笔写在答题卷上；2．选择题、填空题每小题得出答案后，请将答案填写在答题卷相应指定位置上。答在试题卷上不得分；3．考试结束，考生只需将答题案交回。参考公式：锥体的体积公式13VSh=，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高．如果事件A、B互斥，那么()()()PABPAPB+=+．如果事件A、B相互独立，那么()()()PABPAPB=．第一部分选择题(共40分)一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知复数1zi=+，则2z=A．i2-B．i2C．i-1D．i+12.设全集,UR=且{}|12Axx=-,{}2|680Bxxx=-+A.[1,4)-B.(2,3)C.(2,3]D.(1,4)-3.椭圆221xmy+=的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（）A．14B．12C．2D．44.ABC?中，3Aπ∠=，3BC=，AB，则C∠=A．6πB．4πC．34πD．4π或34π5.已知等差数列{}na的前n项和为nS，且2510,55SS==，则过点(,)nPna和2(2,)nQna++(n?N*)的直线的斜率是A．4B．3C．2D．16.已知函数),2[)(+∞-的定义域为xf，且1)2()4(=-=ff，)()(xfxf为'的导函数，函数)(xfy'=的图象如图所示.则平面区域?????A．2B．4C．5D．87.一台机床有13的时间加工零件A,其余时间加工零件B,加工A时,停机的概率是310,加工B时,停机的概率是25,则这台机床停机的概率为()A.1130B.307C.107D.1018.在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数()fx的图象恰好通过()nnN+∈个整点，则称函数()fx为n阶整点函数。有下列函数：①()sin2fxx=；②3()gxx=③1()();3xhx=④()lnxxφ=，其中是一阶整点函数的是()A.①②③④B.①③④C.①④D.④第二部分非选择题(共110分)二.填空题(每小题5分,共30分)9.若奇函数()fx的定义域为[,]pq，则pq+=10.计算()321dxx-=?11.已知正三角形内切圆的半径是高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是____________________.12.右图是用二分法求方程51610xx-+=在[2,2]-的近似解的程序框图，要求解的精确度为0.0001，①处填的内容是____________,②处填的内容是______________________.第13至15题，从3题中选答2题，多选按前2题记分13.设Ｍ、Ｎ分别是曲线2sin0ρθ+=和s()42inπρθ+=上的动点，则Ｍ、Ｎ的最小距离是14.如图，圆O是ABC?的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，CD=，3ABBC==。则BD的长______________，AC的长______________．0.01频率组距15.已知,,xyR+∈且1=,则22xy+=.16.(本题满分12分)某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[)50,40，[)60,50…[]100,90后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：（Ⅰ）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；(Ⅱ)估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；(Ⅲ)从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率.17.(本题满分12分)已知()fx=xxxxxxcossin22sin23sin2cos23cos--，（Ⅰ）求函数)(xf的最小正周期;(Ⅱ)当,2xππ??∈????,求函数)(xf的零点.1B1A1CA如图，在三棱拄111ABCABC-中，AB⊥侧面11BBCC，已知11,3BCBCCπ=∠=（Ⅰ）求证：1CBABC⊥平面；（Ⅱ）试在棱1CC(不包含端点1,)CC上确定一点E的位置,使得1EAEB⊥；(Ⅲ)在（Ⅱ）的条件下,求二面角11AEBA--的平面角的正切值.19.(本题满分14分)在平面直角坐标系xoy中，设点F(1，0)，直线l:1x=-，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点,,RQFPPQl⊥⊥.(Ⅰ)求动点Q的轨迹的方程；(Ⅱ)记Q的轨迹的方程为E，过点F作两条互相垂直的曲线EAB、CD的中点分别为NM，．求证：直线MN必过定点0,3(R已知数列{}na中,()211111,,2nnnnnaaaaaanNn+--+==+∈≥,且11,nnakna+=+(Ⅰ)求证：k1=;(Ⅱ)设()1()1!nnaxgxn-=-,()fx是数列(){}gx的前n项和,求()fx的解析式;(Ⅲ)求证：不等式()()323fgn21.(本题满分14分)已知函数()ln(1)(1),xfxaeax=+-+(其中0a),点1,12233(()),(,()),(,())AxfxBxfxCxfx从左到右依次是函数()yfx=图象上三点,且2132xxx=+.(Ⅰ)证明:函数()fx在R上是减函数；(Ⅱ)求证：⊿ABC是钝角三角形;(Ⅲ)试问,⊿ABC能否是等腰三角形?若能,求⊿ABC面积的最大值;若不能,请说明理由．0.030.01频率组距2021年4月高三调研考试数学试题(理科)答案及评分标准一、选择题CCABABAC三、解答题16.(本题满分12分)（Ⅰ）因为各组的频率和等于1,故第四组的频率：41(0.0250.01520.010.005)100.03f=-+*++*=……2分直方图如右所示……………………………….4分（Ⅱ）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为(0.0150.030.0250.005)100.75+++*=所以，抽样学生成绩的合格率是75%......................................6分利用组中值估算抽样学生的平均分123456455565758595ffffff?+?+?+?+?+?………………….8分＝450.1550.15650.15750.3850.25950.05?+?+?+?+?+?＝71估计这次考试的平均分是71分………………………………………….9分（Ⅲ）[70,80)，[80,90)，[90,100]”的人数是18,15,3。所以从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，他们在同一分数段的概率。22218153236CCCPC++==87210……………………………………………………12分17.(本题满分12分)解：（Ⅰ）xxxf2sin2cos)(-==)42cos(2π+x…………………….4分故π=T…………………………………………………5分（Ⅱ）令0)(=xf，)24cos(2x+π=0，又,2xππ??∈????……………….7分592444xπππ∴≤+≤3242xππ∴+=…………………………………………9分故58xπ=函数)(xf的零点是58xπ=…………….12分18．(本题满分12分)证（Ⅰ）因为AB⊥侧面11BBCC，故1ABBC⊥在1BCC中，1111,2,3BCCCBBBCCπ===∠=由余弦定理有1BC=故有222111BCBCCCCBBC+=∴⊥而BCABB=且,ABBC?平面ABC∴1CBABC⊥平面（Ⅱ）由11,,,,EAEBABEBABAEAABAEABE⊥⊥=?平面从而1BEABE⊥平面且BEABE?平面故1BEBE⊥不妨设CEx=，则12CEx=-，则221BExx=+-又1123BCCπ∠=则2211BExx=++在1RtBEB中有22114xxxx+++-+=从而1x=±（舍负）故E为1CC的中点时，1EAEB⊥法二：以B为原点1,,BCBCBA为,,xyz轴，设CEx=，则11(0,0,0),1)(1,3,0),(0,0,2)2BEx--由1EAEB⊥得10EAEB?=即11(1,2)(,0)222211(1)(2)02222xxxxxxxx--=?---=???化简整理得2320xx-+=1x=或x当2x=时E与1C重合不满足题意1B1A1BA111当1x=时E为1CC的中点故E为1CC的中点使1EAEB⊥（Ⅲ）取1EB的中点D，1AE的中点F，1BB的中点N，1AB的中点M连DF则11//DFAB，连DN则//DNBE，连MN则11//MNAB连MF则//MFBE，且MNDF为矩形，//MDAE又1111,ABEBBEEB⊥⊥故MDF∠为所求二面角的平面角在RtDFM中，111(22DFABBCE==?为正三角形）111222MFBECE===1tan22MDF∴∠==法二：由已知1111,EAEBBAEB⊥⊥，所以二面角11AEBA--的平面角θ的大小为向量11BA与EA的夹角因为11BABA==1(2EA=-故1111costanEABAEABAθθ?=?=?.19.(本题满分14分)解：(Ⅰ)依题意知，直线l的方程为：1x=-．点R是线段FP的中点，且RQ⊥FP，∴RQ是线段FP的垂直平分线．…………………….2分∴PQ是点Q到直线l的距离．∵点Q在线段FP的垂直平分线，∴PQQF=．…………4分故动点Q的轨迹E是以F为焦点，l24(0)yxx=．…………………………………………………….7分(Ⅱ)设()()BBAAyxByxA,,,，()()NNMMyxNyxM,,，，直线AB的方程为)1(-=xky…………………………………………………….8分则?????==)2(4)1(422BBAAxyxy（1）—（2）得kyyBA4=+，即kyM2=，……………………………………9分代入方程)1(-=xky，解得122+=kxM．所以点Ｍ的坐标为222(1,)kk+．……………………………………10分同理可得：N的坐标为2(21,2)kk+-．直线MN的斜率为1kkxxyykNMNMMN-=--=，方程为)12(1222---=+kxkkky，整理得)3()1(2-=-xkky，………………12分显然，不论k为何值，(3,0)均满足方程，所以直线MN恒过定点R(3,0)．(14)20.(本题满分14分).解:11nnakna+=+故2211aaka==+,．……………………………………1分又因为()211111,,2nnnnnaaaaaanNn+--+==+∈≥则3121aaaa=22a+,即3322221,21,2aaakakaa=+=+∴=又．...........................3分所以212,1kakk+==∴=,(4)(2)11,nnana+=+121121nnnnnaaaaaaaa---=????????=()1...21!nnn?-???=……………………………………6因为()()11!nnaxgxn-=-=1nnx-所以,当1x=时,()()()11123(2)nnfxfn+==++++=……………………………7当1x≠时,()21123...nfxxxnx-=++++.(1)()1x?得()()23123...1nnxfxxxxnxnx-=++++-+……(2)()()()()2112:11...nnxfxxxxnx---=++++-=11nnxnxx---()()2111nnxnxfxxx-∴=---……………………………9综上所述:2(1),12()1,1(1)1nnnnxfxxnxxxx+?=??=?-?-≠?--?……………………………10(3)因为()()12221211212nnnnfn-∴=-=-+--又()333ngn=,易验证当1,2n=,3时不等式不成立;……