数学建模-厕所设计问题研究

-1-关于教九楼男女厕所设计问题题——数学建模课程论文-2-关于教九楼男女厕所设计问题摘要前些时候，占领男厕的行为艺术在全国引起了广泛关注，女厕所门口总能排起长龙，而男厕所门口空空如也[1]。在男女比例接近2：3的师大，这种状况更为常见。我们通过运用所学习的随机过程中的仿真模拟的事件表法分别对男女排队如厕的事件进行仿真模拟[2]，并用matlab进行编程，在总蹲位一定的情况下，得出使得男女排队如厕时间相对一致的时候的男女蹲位比例为1:3。而本模型的亮点在于，延展模型，考虑厕所不分男女，总蹲位一定时的平均等待时间。通过比较2种不同的厕所设计方法对人们排队如厕的影响，我们发现不分男女的厕所使用设计可以在保证减少女生如厕排队的等待时间的同时，没有很大幅度改变男生如厕排队等待时间，达到优化效果。故，我们建议教学楼的厕所可以考虑改革使用方法，变成不分男女厕所的共用方式。关键词：厕所蹲位随机过程仿真模拟时间表法matlab编程-3-问题重述针对这种男女厕所蹲位比例不是很合理的情况，我们研究假定蹲位一定的情况下，在一定时间内，不同的男女厕所蹲位比，会对男女生去厕所所花的总时间产生的影响，进而找出使得男女生的平均等待时间差不多的合理的蹲位比例。进一步，假设厕所不分男女时，即为，每个蹲位男生女生都可以使用的情况下。每个人排队如厕所需的总时间。比较总蹲位相同时，2种不同的厕所设计使用方案，哪一个会使得人们所用的时间最短，然后对楼层建设进行合理建议。问题分析我们可以将排队如厕的问题视为一个随机过程，并用仿真模拟进行模拟，运用事件表法，matlab编程来分别求出人们到达厕所的时间间隔，开始如厕的时刻，如厕时间，离开时刻，平均总时间等。其中需要注意的是，男生与女生由于人数的不同，到达的时间间隔也不同，可以用不同均值的指数分布来表示；而且，男女的平均如厕时间也不同，这个可以用不同均值和方差的正太分布来表示出来。在第2种方案中，我们取男女到达厕所的平均时间间隔来作为总的时间间隔，并且通过是否大于0.4的0,1之间的随机变量来表示不同的男女数量，进而得到不同的如厕时间。由于是随机过程，我们采用多次运行，取平均值的方法。最后通过比较结果，得出结论。问题假设（1）在教九楼男女如厕人数比例与全校男女比例一致为2:3（2）对于同一楼层的厕所大家都采取就近原则选择厕所，不会换队去另一侧的厕所-4-（3）学生只在课间的时候如厕，假定课间为10分钟（4）男女到达厕所是随机的，男生平均时间间隔为0.75分钟，即间隔服从均值为0.75的指数分布；女生平均时间间隔为0.5分钟，即间隔服从均值为0.5的指数分布（5）根据研究，可设男生如厕时间服从正态分布N（1,1/3），女生如厕时间服从正太分布N（3,2/3）（6）假设同学可以迟到，即在上课铃响之前可以开始厕所，而在上课铃响之后再回到教室符号说明t01女生到达厕所时间间隔t02男生到达厕所时间间隔t11女生开始如厕的时刻t12男生开始如厕的时刻t21女生如厕的时间t22男生如厕的时间t1女生离开厕所时间t2男生离开厕所时间n女生如厕人数m男生如厕人数T1女生如厕所需的平均总时间T2男生如厕所需的平均总时间TT1女生排队平均等待时间TT2男生排队平均等待时间k1女生厕所蹲位的个数k2男生厕所蹲位的个数建模建立与求解1.1（1）在小课间10分钟的情况下，设女生蹲位为k1个，男生蹲位为k2个，-5-假定此时男厕中只有蹲位。（2）t01(n)n个服从均值为0.5的指数分布随机数，是女生到达厕所时间间隔，则t11(1)=t01(1)第一个人到达厕所的时刻即为第一个时间间隔t11(i)=t11(i-1)+t01(i)第i个人到达的时刻是第i-1个人到达的时刻与第i个时间间隔的和。若t11(i)10，则程序结束，就是如假设所言，不能在上课时间去厕所，但可以因如厕迟到。（3）t21(n)n个服从N（3,2/3）的随机数，即为女生如厕的时间①当i=k1时，t1(i)=t11(i)+t21(i)②当ik1时，记Q为前i-2个人离开时间按从大到小顺序排列的行向量，记A为Q中较大的4个值，则当第i个人到达时，若其到达时间比q1=min(t1(i-1),min(A))小，说明第i个人需要等待；否则无需等待。q1t11(i)t21(i)q1q1(i)t11t21(i)t11(i)(i)1t离开时间（4）T1=sum(t1-t11)/nn个女生如厕所需的平均总时间（5）TT1=mean(t1-t11-t21)n个女生如厕排队所需平均时间（6）模拟10000次取平均值作为最后结果1.2（1）t02(m)m个服从均值为0.75的指数分布随机数t21(1)=t02(1)第一个人到达厕所的时刻即为第一个时间间隔t12(i)=t12(i-1)+t02(i)第i个人到达的时刻是第i-1个人到达的时刻与第i个时间间隔的和。若t12(i)10，则程序结束，就是如假设所言，不能在上课时间去厕所，但可以因如厕迟到（2）t22(m)m个服从N（1,1/3）的随机数，即为男生如厕的时间①当i=k2时，t2(i)=t12(i)+t22(i)②当ik2时，-6-记Q为前i-2个人离开时间按从大到小顺序排列的行向量，记A为Q中较大的4个值，则当第i个人到达时，若其到达时间比q2=min(t1(i-1),min(A))小，说明第i个人需要等待；否则无需等待。q2t12(i)t22(i)q2q2(i)t12t22(i)t12(i)(i)2t离开时间（3）T2=sum(t2-t12)/mm个男生如厕所需的平均总时间（4）TT2=mean(t2-t12-t22)m个男生如厕排队所需平均时间（5）模拟10000次取平均值作为最后结果1.3下面给出在k1和k2分别取不同值时男女生分别需要等待的时间：女生：Kk1456789TT11.21950.78020.43160.22690.12440.0621男生：Kk2234567TT20.26140.04200.00826.0e-004————由表格我们可以看出：当男女蹲位比为3:9=1:3时，可使得男女生如厕排队所需的时间相对最小，此时，女生排队的平均时间为3.6秒，男生排队的平均时间为约为2.4秒。所以这是较合理的比例。2.1（1）考虑厕所不分男女时，接上一问，即假设总的蹲位为k时。此时，我们考虑人们到达的时间间隔，由于厕所不分男女，则到达的时间间隔可设为服从均值为0.625的指数分布。（2）t0(l)l个服从均值为0.625的指数分布随机数t1(1)=t0(1)第一个人到达厕所的时刻即为第一个时间间隔t1(i)=t1(i-1)+t0(i)第i个人到达的时刻是第i-1个人到达的时刻-7-与第i个时间间隔的和。若t1(i)10，则程序结束，就是如假设所言，不能在上课时间去厕所，但可以因如厕迟到（3）t21(l)l个服从N（3,2/3）的随机数，即为女生如厕的时间t22(l)l个服从N（1,1/3）的随机数，即为男生如厕的时间（4）S(l)l个0,1之间的随机变量4.0)(),(224.0)(),(21)(2iSitiSitit如厕时间①当i=k时，t(i)=t1(i)+t2(i)②当ik时，记Q为前i-2个人离开时间按从大到小顺序排列的行向量，记A为Q中较大的4个值，则当第i个人到达时，若其到达时间比q=min(t1(i-1),min(A))小，说明第i个人需要等待；否则无需等待。qt1(i)t2(i)qq11(i)tt2(i)t1(i)t(i)离开时间（5）T=sum(t(l)-t1(l))/ll个人如厕所需的平均总时间（6）TT=mean(t-t1-t2)l个人如厕排队所需的平均时间（7）模拟10000次取平均值作为最后结果2.2我们为与上一题作比较，在这里k取12，所得结果为TT=3.8431e-017我们可以看出，这个时间接近0，这意味这大家去厕所都不用花时间在排队上。厕所不分男女，使用时，与上一题的最佳比例相比，这个结果更让人满意，所以我们建议教学楼的厕所使用设计按照这种方式进行。模型评价本模型的优点在于根据实际情况和生边的切身问题，根据相关数据，对已建立的简单模型，进一步延展，考虑不分厕所男女时的仿真模拟，要对不同的到达的人，进行判断，根据男女不同，得出不同的如厕时间，细化模型，并对生活中的现象进行大胆假设，而得出的结果，也是相对令人满意的。缺点是，没有考虑-8-厕所面积问题，只是粗略的将蹲位和固定，没有考虑男厕中小便池所占面积较小，进而会影响结果，这是不好的地方。参考文献[1]刘福来，黄海洋，曾文艺《数学模型与数学建模》（第3版）北京师范大学出版社2009[2]李明儒人民网评：“占领男厕”能否终结女性如厕之恼附录1.1functiony=time0(n0,k,m)t1=zeros(1,n0);%到达t=zeros(1,n0);%离去n=[];T=[];TD=[];N=[];forj=1:mt0=exprnd(0.5,1,n0);%时间间隔t2=normrnd(3,2/3,1,n0);%服务时间t1(1)=t0(1);t(1)=t1(1)+t2(1);fori=1:k-1t1(i+1)=t1(i)+t0(i+1);ift1(i+1)10t(i+1)=t1(i+1)+t2(i+1);elsen1=i;n=[nn1];endendift1(k)+t0(k+1)10fori=k:n0-1t1(i+1)=t1(i)+t0(i+1);Q=t(1:i-1);%前i-1个人的离开时间；fora=1:i-2%将前i-1个人的离开时间从大到小排序；forb=1:i-2ifQ(b)Q(b+1)m=Q(b);Q(b)=Q(b+1);Q(b+1)=m;endendendfora=1:k-1A(a)=Q(a);end%A表示前i-1个人中四个最大的离开时间ift1(i+1)min(t(i),min(A))t(i+1)=t1(i+1)+t2(i+1);elset(i+1)=min(t(i),min(A))+t2(i+1);end-10-ift1(i+1)=10n1=i;n=[nn1];endendendn=n(1);T1=sum(t(1:n)-t1(1:n))/n;T=[TT1];TD1=sum(t(1:n)-t1(1:n)-t2(1:n))/n;TD=[TDTD1];N=[Nn];endT=mean(T)TD=mean(TD)N=mean(N)1.2.functiony=time00(n0,k,m)t1=zeros(1,n0);%到达t=zeros(1,n0);%离去n=[];T=[];TD=[];N=[];forj=1:mt0=exprnd(0.75,1,n0);%时间间隔t2=normrnd(1,1/3,1,n0);%服务时间t1(1)=t0(1);t(1)=t1(1)+t2(1);fori=1:k-1t1(i+1)=t1(i)+t0(i+1);ift1(i+1)10t(i+1)=t1(i+1)+t2(i+1);elsen1=i;n=[nn1];endendift1(k)+t0(k+1)10fori=k:n0-1t1(i+1)=t1(i)+t0(i+1);Q=t(1:i-1);%前i-1个人的离开时间；fora=1:i-2%将前i-1个人的离开时间从大到小排序；forb=1:i-2ifQ(b)Q(b+1)-11-m=Q(b);Q(b)=Q(b+1);Q(b+1)=m;endendendfora=1:k-1A(a)=Q(a);end%A表示前i-1个人中四个最大的离开时间ift1(i+1)min(t(i),min(A))t(i+1)=t1(i+1)+t2(i+1);elset(i+1)=min(t(i),min(A))+t2(i+1);endif