2021年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及解析

2021年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及解析2021年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)（1）设生产函数为QALKαβ=,其中Q是产出量,L是劳动投入量,K是资本投入量,而,,Aαβ均为大于零的参数,则当1Q=时K关于L的弹性为_______【分析】本题主要考查弹性的概念。先将K关于L的数学表达式写出，再按弹性公式计算即可。【详解】当1Q=时，由QALKαβ=可得1KALαββ--=，于是K关于L的弹性为111()()()LLKLALKLALααββααεββ-----'==-=-（2）某公司每年的工资总额比上一年增加20％的基础上再追加2百万.若以tW表示第t年的工资总额（单位：百万元），则tW满足的差分方程是___【分析】这是一个简单建立差分方程模型的问题，直接按题意可列出关系式。【详解】由题设有1(10.2)2ttww-=++，即11.22ttww-=+（3）设矩阵111111A111111kkkk??????=??????,且秩(A)=3,则__________k=.【分析】由秩(A)=3知，A的行列式一定为零，从而可解出参数k。不过应当注意的是：若0A=得到的参数不惟一，则应将参数带回去检验，以便确定哪一个是正确答案，因为0A=是秩(A)=3的必要条件而非充分；这种题最好用矩阵初等行变换化为阶梯形来完成。【详解】法一：秩(A)=3知，A的行列式一定为零，而3111111(3)(1)111111kkAkkkk==+-从而1k=或3k=-当1k=时，显然()1rA=不符合题意，因此一定有3k=-。法二：对A进行初等行变换，有2211111111111101010101A11100110011111011100032kkkkkkkkkkkkkkkkkkk????????????----??????=→→??????----??????-----??????所以210()3320krAkk-≠?=??--=?，从而3k=-（4）设随机变量,XY的数学期望分别是2-和2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5-。则根据切比雪夫不等式{6}_________PXY+≥≤【分析】根据切比雪夫不等式{}2()()DZPZEZεε+≥≤知，只需求出ZXY=+的期望和方差。【详解】令ZXY=+，由于()2,()2EXEY=-=，()1,()4DXDY==，0.5XYρ=-所以()()()0EZEXEY=+=，()()()()23XYDZDXYDXDYρ=+=++=于是{}2()1{6}()6612DZPXYPZEZ+≥=+≥≤=（5）设总体X服从正态分布2(0,2)N,而1215,,,XXX是来自总体X的简单随机样本，则随机变量221102211152()XXYXX++=++,服从___分布，参数为_______【分析】从Y的表达式可以看出，分子分母均为正态随机变量的平方和，适当变换后服从2χ分布，从而基本可判断Y服从F分布。【详解】因为2(0,2),1,2,,15iXNi=。于是(0,1)2iXN，从而有222101()()(10)22XXχ++，2221511()()(5)22XXχ++故2210122110222215111115()()2210(10,5)2()()()225XXXXYFXXXX++++==++++合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)（1）设函数()fx的导数在xa=处连续,又()lim1xafxxa→'=--,则(A)xa=是()fx的极小值点.(B)xa=是()fx的极大值点.(C)()(),afa是曲线()yfx=的拐点.(D)xa=不是()fx的极值点,()(),afa也不是曲线()yfx=的拐点.【分析】已知条件中给出某极限的极限值为非零常数，讨论结论中出现“极值”或“拐点”此类问题一般利用极限保号性定理来完成；此题也可从()lim1xafxxa→'=--中，找出隐含的条件()0,()1fafa'''==-，然后来完成。【详解】法一:由于()lim10xafxxa→'=-()0fxxa'∈+时，()0fx'故应选（B）法二：由于函数()fx的导数在xa=处连续,又()lim1xafxxa→'=--，所以()0fa'=，又()()()()limlim10xaxafxfafxfaxaxa→→'''-''===-、(本题满分7分)已知抛物线2ypxqx=+（其中0,0pq此抛物线与x轴所围成的平面图形的面积为S。（1）问p和q为何值时，S达到最大?（2）求出此最大值【分析】本题综合考查了导数几何意义的使用、平面图形求面积、最值等知识点。先画出抛物线的草图，求出面积S与,pq的关系，再根据题设抛物线在第一象限内与直线5xy+=相切确定,pq的关系式，从而将S转化为一元函数，最后求此一元函数最值即可。【详解】画出抛物线草图如右图所示。求得它与x轴交点的横坐标为120,qxxp==-。则面积S为：232011()()32qqppSpxqxdxpxqx--=+=+?326qp=因直线5xy+=与抛物线2ypxqx=+相切，从而它们有唯一公共点，由方程组25xyypxqx+=??=+?得25pxqxx+=-，其根的判别式必定为零。即2(1)200qp++=，2(1)20qp+=-将2(1)20qp+=-，代入326qSp=可得3324200,(0)63(1)qqSqpq==+又25200(3)3(1)qqSq-'=+，从而()Sq有唯一驻点3q=。当03q，从而最大值225S=。设()fx在区间[]0,1上连续,在()0,1内可导,且满足110(1)()(1)xkfkxefxdxk-=?。证明至少存在一点()0,1ξ∈,使得1()(1)()ffξξξ-'=-【分析】本题属题型“已知()fx在闭区间上连续，在开区间内可导，且满足…，证明在开区间内至少存在一点ξ，使()()fMξξ'=”。按相应做题步骤（构造辅助函数、找子区间、用罗尔定理）完成即可。不过对该类题型如果已知条件中出现定积分，通常被积函数就是辅助函数【详解】构造辅助函数1()()xFxxefx-=因为()fx在区间[]0,1上连续，且1k由积分中值定理可得：存在1[0,]ck∈，使11101()()xckxefxdxcefck--=?由于()fx在区间[]0,1上连续,在()0,1内可导，且满足110(1)()(1)xkfkxefxdxk-=?，所以()Fx在区间[]0,1上连续,在()0,1内可导，且110(1)(1)()()xkFfkxefxdxFc-===?，故由罗尔定理可得：至少存在一点()0,1ξ∈,使得，()0Fξ'=，即111()()()0efefefξξξξξξξξ---'-+=从而1()(1)()ffξξξ-'=-八、（本题满分7分）已知()nfx满足1()()nxnnfxfxxe-'=+（n为正整数），且(1)nefn=，求函数项级数1()nnfx∞=∑之和。【分析】本题主要考查微分方程与级数的知识。先求出方程的特解，再求级数的和。【详解】方程1()()nxnnfxfxxe-'=+是一阶线性微分方程，其通解为11()[]()dxdxnxxnnfxexeedxCexCn--??=+=+?由(1)nefn=可得：0C=，故1()nxnfxxen=。下面求级数1()nnfx∞=∑之和法一：令11111()()()(1)ln(1)nnnxxxnxnnnnnxxxSxfxeeeexnnn∞∞∞∞-====-====--=--∑∑∑∑法二：1()()nnSxfx∞==∑，则111()()nnnxxxxnnnxxxSxeeedxnnn∞∞∞==='===∑∑∑?1011()ln(1)1xxxnxxnexdxedxexx∞-====---∑??九、（本题满分9分）设矩阵111111aAaa????=??????，112β????=????-??。已知线性方程组AXβ=有解但不唯一，试求（1）a的值；（2）正交矩阵Q，使TQAQ为对角矩阵。【分析】本题主要考查线性方程组解的存在性、求特征值特征向量和施密特正交化。由题设，()()3rArA=【详解】（1）对线性方程组AXβ=的增广矩阵进行初等行变换，有211111111111101100110112021200(1)(2)2aaaAaaaaaaaaaaaa????????????=→--→--????????????------+--??????因为线性方程组AXβ=有解但不唯一，所以()()3rArA=112121211A-????=-????-??则A的特征多项式为112111111121121030211211211EAλλλλλλλλλλ---=-+-=-+-=+------11(3)(3)(3)21λλλλλλ=+=+--故矩阵A的特征值为1233,0,3λλλ=-==。当13λ=-时，线性方程组(3)0EAX--=的基础解系为1(1,2,1)Tα=-；当20λ=时，线性方程组(0)0EAX--=的基础解系为2(1,1,1)Tα=；当33λ=时，线性方程组(3)0EAX-=的基础解系为3(1,0,1)Tα=-从而A的特征值1233,0,3λλλ=-==对应的特征向量依次为123,,ααα。由于实对称矩阵属于不同特征值的特向量正交，因此123,,ααα相互正交。将123,,ααα单位化得1232,1),,1)TTTεεε=-==-令0Q?=??，则有300000003TQAQ-????=??????十、（本题满分8分）设A为n阶实对称矩阵，秩（A）n=，ijA是()ijnnAa?=中元素ija的代数余子式（,1,2,,)ijn=，二次型1211(,,,)nnijnijijAfxxxxxA===∑∑（1）记12(,,,)TnXxxx=，把12(,,,)nfxxx写成矩阵形式，并证明二次型()fX的矩阵为1A-；（2）二次型()TgXXAX=与()fX的规范形是否相同？说明理由。【分析】证明二次型()fX的矩阵为1A-，也即证明1()TfXXAX-=，而要将1A-与题设中的代数余子式联系起来，自然想到公式*AAA=；对于二次型()TgXXAX=与()fX的规范形是否相同，可考虑它们同号的特征值得个数是否相同或对应矩阵是否合同，若答案是肯定的，则它们的规范性相同。【详解】（1）二次型12(,,,)nfxxx的矩阵形式为1121112222*12()nnnnnnTTAAAAAAAAAAfXXXXXAA????????????==因秩（A）n=，所以矩阵A可逆，且*1AAA-=由于111()()TTAAA---==，故1A-也是实对称矩阵，从而二次型()fX的矩阵为1A-（2）法一：由于11111()()()TTTAAAAAA-----===，所以A与1A-合同，从而二次型()TgXXAX=与()fX的规范形相同。法二：设A的特征值为(1,2,,)iinλ=，由于1A-存在，所以0iλ≠，从而1A-的全部特征值为1(1,2,,)iinλ=。可见A与1A-同号的特征值的个数相同，从而二次型()TgXXAX=与()fX的规范形相同。法三：对二次型()TgXXAX=做可逆线性变换1XAY-=，其中12(,,,)TnYyyy=，则11()()TTTgXXAXYAAAY--==111()()TTTTTYAYYAYYAY---===由此得知A与1A-合同，从而二次型()TgXXAX=与()fX的规范形相同。十一、（本题满分8分）生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的,假设每箱平均重50千克,标准差为5千克.若用最大载重量为5吨的汽车承运,试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱,才能保障不超载的概率大于0.977.(()20.977Φ=,其中()xΦ是标准正态分布函数).【分析】本题是中心极限定理的简单应用。只需找出一组独立同分布的随机变量数列（本题为每箱的重量），则由中心极限定理知，其和（总