2021年全国高考文科数学试题及答案-新课标

2021年全国高考文科数学试题及答案-新课标2021年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=MN，则P的子集共有A．2个B．4个C．6个D．8个2．复数512ii=-A．2i-B．12i-C．2i-+D．12i-+3．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是A．3yx=B．||1yx=+C．21yx=-+D．||2xy-=4．椭圆221168xy+=的离心率为A．13B．12CD．25．执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是A．120B．720C．1440D．50406．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为A．13B．12C．23D．347．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线2yx=上，则cos2θ=A．45-B．35-C．35D．458．在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为9．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，||12AB=，P为C的准线上一点，则ABP?的面积为A．18B．24C．36D．4810．在下列区间中，函数()43xfxex=+-的零点所在的区间为A．1(,0)4-B．1(0,)4C．11(,)42D．13(,)2411．设函数()sin(2)cos(2)44fxxxππ=+++，则A．()yfx=在(0,)2π单调递增，其图象关于直线4xπ=对称B．()yfx=在(0,)2π单调递增，其图象关于直线2xπ=对称C．()yfx=在(0,)2π单调递减，其图象关于直线4xπ=对称D．()yfx=在(0,)2π单调递减，其图象关于直线2xπ=对称12．已知函数()yfx=的周期为2，当[1,1]x∈-时2()fxx=，那么函数()yfx=的图象与函数|lg|yx=的图象的交点共有A．10个B．9个C．8个D．1个第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a+b与向量ka-b垂直，则k=_____________．14．若变量x，y满足约束条件32969xyxy≤+≤??≤-≤?，则2zxy=+的最小值是_________．15．ABC?中，120,7,5BACAB=?==，则ABC?的面积为_________．16．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为______________．三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知等比数列{}na中，113a=，公比13q=．（I）nS为{}na的前n项和，证明：12nnaS-=（II）设31323logloglognnbaaa=+++，求数列{}nb的通项公式．18．（本小题满分12分）如图，四棱锥PABCD-中，底面ABCD为平行四边形，60DAB∠=?，2ABAD=，PD⊥底面ABCD．（I）证明：PABD⊥；（II）设PD=AD=1，求棱锥D-PBC的高．19．（本小题满分12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每产品的质量指标值，得到时下面试验结果：A配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]频数82042228B配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]频数412423210（I）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（II）已知用B配方生产的一种产品利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为2,942,941024,102tytt-=≤估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润．20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线261yxx=-+与坐标轴的交点都在圆C上．（I）求圆C的方程；（II）若圆C与直线0xya-+=交于A，B两点，且,OAOB⊥求a的值．21．（本小题满分12分）已知函数ln()1axbfxxx=++，曲线()yfx=在点(1,(1))f处的切线方程为230xy+-=．（I）求a，b的值；（II）证明：当x0，且1x≠时，ln()1xfxx-．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答是用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，D，E分别为ABC?的边AB，AC上的点，且不与ABC?的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程2140xxmn-+=的两个根．（I）证明：C，B，D，E四点共圆；（II）若90A∠=?，且4,6,mn==求C，B，D，E所在圆的半径．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为2cos(22sinxyααα=??=+?为参数），M为1C上的动点，P点满足2OPOM=，点P的轨迹为曲线2C．（I）求2C的方程；（II）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C的异于极点的交点为A，与2C的异于极点的交点为B，求|AB|．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()||3fxxax=-+，其中0a．（I）当a=1时，求不等式()32fxx≥+的解集．（II）若不等式()0fx≤的解集为｛x|1}x≤-，求a的值．参考答案一、选择题（1）B（2）C（3）B（4）D（5）B（6）A（7）B（8）D（9）C（10）C（11）D（12）A二、填空题（13）1（14）-6（15）4315（16）31三、解答题（17）解：（Ⅰ）因为.31)31(311nnna=?=-,2311311)311(31nnnS-=--=所以,21nnaS--（Ⅱ）nnaaab32313logloglog+++=)21(n+++-=2)1(+-=nn所以}{nb的通项公式为.2)1(+-=nnbn(18)解：（Ⅰ）因为60,2DABABAD∠=?=，由余弦定理得BD=从而BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD所以BD⊥平面PAD.故PA⊥BD（Ⅱ）如图，作DE⊥PB，垂足为E。已知PD⊥底面ABCD，则PD⊥BC。由（Ⅰ）知BD⊥AD，又BC//AD，所以BC⊥BD。故BC⊥平面PBD，BC⊥DE。则DE⊥平面PBC。由题设知，PD=1，则BD=3，PB=2，根据BE·PB=PD·BD，得DE=23，即棱锥D—PBC的高为.23（19）解（Ⅰ）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的频率为228=0.3100+，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3。由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为32100.42100+=，所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42（Ⅱ）由条件知用B配方生产的一件产品的利润大于0当且仅当其质量指标值t≥94，由试验结果知，质量指标值t≥94的频率为0.96，所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96.用B配方生产的产品平均一件的利润为68.2)442254)2(4(1001=?+?+-??（元）(20）解：（Ⅰ）曲线162+-=xxy与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点为（).0,223(),0,223-+故可设C的圆心为（3，t），则有,)22()1(32222tt+=-+解得t=1.则圆C的半径为.3)1(322=-+t所以圆C的方程为.9)1()3(22=-+-yx（Ⅱ）设A（11,yx），B（22,yx），其坐标满足方程组：?????=-+-=+-.9)1()3(,022yxayx消去y，得到方程.012)82(222=+-+-+aaxax由已知可得，判别式.0416562--=?aa因此，,441656)28(22,1aaax--±-=从而2120,422121+-=-=+aaxxaxx①由于OA⊥OB，可得,02121=+yyxx又,,2211axyaxy+=+=所以.0)(222121=+++axxaxx②由①，②得1-=a，满足,0?故.1-=a（21）解：（Ⅰ）221(ln)'()(1)xxbxfxxxα+-=-+由于直线230xy+-=的斜率为12-，且过点(1,1)，故(1)1,1'(1),2ff=???=-??即1,1,22bab=???-=-??解得1a=，1b=。（Ⅱ）由（Ⅰ）知ln1f()1xxxx=++，所以)1ln2(111ln)(22xxxxxxxf-+-=-=考虑函数()2lnhxx=+xx12-(0)x，则22222)1()1(22)(xxxxxxxh--=---='所以当1≠x时，,0)1(,0)(=,0)(2-xhxxh可得当),1(+∞∈x时，;0)(11,0)(2-从而当.1ln)(,01ln)(,1,0---≠xxxfxxxfxx即且（22）解：（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，AD×AB=mn=AE×AC，即ABAEACAD=.又∠DAE=∠CAB，从而△ADE∽△ACB因此∠ADE=∠ACB所以C，B，D，E四点共圆。（Ⅱ）m=4，n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2，x2=12.故AD=2，AB=12.取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.由于∠A=900，故GH∥AB，HF∥AC.HF=AG=5，DF=21(12-2)=5.故C，B，D，E四点所在圆的半径为52（23）解：（I）设P(x，y)，则由条件知M(2,2YX).由于M点在C1上，所以??????????????+==ααsin222,cos22yx即??????+==ααsin44cos4yx从而2C的参数方程为4cos44sinxyαα=??=+?（α为参数）（Ⅱ）曲线1C的极坐标方程为4sinρθ=，曲线2C的极坐标方程为8sinρθ=。射线3πθ=与1C的交点A的极径为14sin3πρ=，射线3πθ=与2C的交点B的极径为28sin3πρ=。所以21||||ABρρ-==（24）解：（Ⅰ）当1a=时，()32fxx≥+可化为|1|2x-≥。由此可得3x≥或1x≤-。故不等式()32fxx≥+的解集为{|3xx≥或1}x≤-。(Ⅱ)由()0fx≤得30xax-+≤此不等式化为不等式组30xaxax≥??-+≤?或30xaaxx≤??-+≤?即4xaax≥???≤??或2xaaa≤???≤-??因为0a，所以不等式组的解集为{}|2axx≤-由题设可得2a-=1-，故2a=