2021年广州市一模理科数学试题及答案(WORD版)

2021年广州市一模理科数学试题及答案(WORD版)数学（理科）试题A第1页共18页试卷类型：A2021年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）2021.3本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。参考公式：锥体的体积公式ShV31=，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高．()()22221211236nnnn++++++=()*n∈N．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i是虚数单位，若()2i34im+=-，则实数m的值为A．2-B．2±C．D．22．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2CB=，则cb为A第2A．2sinCB．2cosBC．2sinBD．2cosC3．圆()()22121xy-+-=关于直线yx=对称的圆的方程为A．()()22211xy-+-=B．()()22121xy++-=C．()()22211xy++-=D．()()22121xy-++=4．若函数()fx=R，则实数a的取值范围为A．()2,2-B．()(),22,-∞-+∞C．(][),22,-∞-+∞D．[]2,2-5．某中学从某次考试成绩中抽取若干名学生的分数，并绘制成如图1的频率分布直方图．样本数据分组为[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100．若用分层抽样的方法从样本中抽取分数在[]80,100范围内的数据16个，则其中分数在[]90,100范围内的样本数据有A．5个B．6个C．8个D．10个6．已知集合32Axxx??=∈∈??-??ZZ且，则集合A中的元素个数为A．2B．3C．4D．57．设a，b是两个非零向量，则使ab=ab成立的一个必要非充分条件是A．=abB．⊥abC．λ=ab()0λD．ab8．设a，b，m为整数（0m），若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为()modabm≡．若0122202120212021CC2C2C2a=+?+?++?，()mod10ab≡，则b的值可以是A．2021B．2021C．2021D．2021二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．若不等式1xa-13xx)*k∈N的值为．11．一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图3所示，则这个四棱锥的体积是．侧（左）视图图1分数数学（理科）试题A第3页共18页12．设α为锐角，若3cos65απ??+=???，则sin12απ??-=???．13．在数列{}na中，已知11a=，111nnaa+=-+，记nS为数列{}na的前n项和，则2021S=．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线()sincosaρθθ-=与曲线2cos4sinρθθ=-相交于A，B两点，若AB=a的值为．15．（几何证明选讲选做题）如图4，PC是圆O的切线，切点为C，直线PA与圆O交于A，B两点，APC∠的平分线分别交弦CA，CB于D，E两点，已知3PC=，2PB=，则PEPD的值为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数()sincosfxxax=+的图象经过点π03??-???，．（1）求实数a的值；（2）设[]2()()2gxfx=-，求函数()gx的最小正周期与单调递增区间．17．（本小题满分12分）P图4数学（理科）试题A第4页共18页甲，乙，丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用的概率是25，甲，丙两人同时不能被聘用的概率是625，乙，丙两人同时能被聘用的概率是310，且三人各自能否被聘用相互独立．（1）求乙，丙两人各自能被聘用的概率；（2）设ξ表示甲，乙，丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求ξ的分布列与均值（数学期望）．18．（本小题满分14分）如图5，在棱长为a的正方体1111ABCDABCD-中，点E是棱1DD的中点，点F在棱1BB上，且满足12BFFB=．（1）求证：11EFAC⊥；（2）在棱1CC上确定一点G，使A，E，G，F四点共面，并求此时1CG的长；（3）求平面AEF与平面ABCD所成二面角的余弦值．19．（本小题满分14分）已知等差数列{}na的首项为10，公差为2，等比数列{}nb的首项为1，公比为2，*n∈N．（1）求数列{}na与{}nb的通项公式；（2）设第n个正方形的边长为{}min,nnncab=，求前n个正方形的面积之和nS．（注：{}min,ab表示a与b的最小值．）20．（本小题满分14分）已知双曲线E：()222104xyaa-=的中心为原点O，左，右焦点分别为1F，2F，离心率为5，点P是直线23ax=上任意一点，点Q在双曲线E上，且满足220PFQF=．（1）求实数a的值；（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；（3）若点P的纵坐标为1，过点P作动直线l与双曲线右支交于不同两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点H，满足PMMHPNHN=，证明点H恒在一条定直线上．C1C1DABDEF1A1B图5数学（理科）试题A第5页共18页21．（本小题满分14分）已知函数()()221exfxxx=-+（其中e为自然对数的底数）．（1）求函数()fx的单调区间；（2）定义：若函数()hx在区间[],st()st同区间”．试问函数()fx在()1,+∞上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条件的“域同区间”；若不存在，请说明理由．2021年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题，满分40分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．16．（本小题满分1）（本小题主要考查三角函数图象的周期性、单调性、同角三角函数的基本关系和三角函数倍角公式等等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）解：（1）因为函数()sincosfxxax=+的图象经过点π03??-???，，所以03fπ??-=???．数学（理科）试题A第6页共18页即ππsincos033a????-+-=??????．即022a-+=．解得a=（2）方法1：由（1）得()sinfxxx=．所以2()[()]2gxfx=-()2sin2xx=-22sincos3cos2xxxx=++-2cos2xx=+122cos222xx??=+????2sin2coscos2sin66xxππ??=+???π2sin26x??=+???．所以()gx的最小正周期为22π=π．因为函数sinyx=的单调递增区间为2,222kkππ??π-π+????()k∈Z，所以当πππ2π22π262kxk-≤+≤+()k∈Z时，函数()gx单调递增，即ππππ36kxk-≤≤+()k∈Z时，函数()gx单调递增．所以函数()gx的单调递增区间为πππ,π36kk??-+????()k∈Z．方法2：由（1）得()sinfxxx=+2sincoscossin33xxππ??=+???数学（理科）试题A第7页共18页π2sin3x??=+???．所以2()[()]2gxfx=-2π2sin23x????=+-???????2π4sin23x??=+-???2π2cos23x??=-+???分所以函数()gx的最小正周期为22π=π分因为函数cosyx=的单调递减区间为[]2,2kkππ+π()k∈Z，所以当22223kxkππ≤+≤π+π()k∈Z时，函数()gx单调递增．即ππππ36kxk-≤≤+（k∈Z）时，函数()gx单调递增．所以函数()gx的单调递增区间为πππ,π36kk??-+????()k∈Z．17．（本小题满分1）（本小题主要考查相互独立事件、解方程、随机变量的分布列与均值（数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识）解：（1）记甲，乙，丙各自能被聘用的事件分别为1A，2A，3A，由已知1A，2A，3A相互独立，且满足()()()()()113232,5611,253.10PAPAPAPAPA?=???--=???????????=??解得()212PA=，()335PA=．所以乙，丙各自能被聘用的概率分别为12，35．（2）ξ的可能取值为1，3．数学（理科）试题A第8页共18页因为()()()1231233PPAAAPAAAξ==+()()()()()()123123111PAPAPAPAPAPA=+---????????????213312525525=??+??625=．所以()()113PPξξ==-=61912525=-=．所以ξ的分布列为所以1963713252525Eξ=?+?=．18．（本小题满分1）（本小题主要考查空间线面关系、四点共面、二面角的平面角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）推理论证法：（1）证明：连结11BD，BD，因为四边形1111ABCD是正方形，所以1111ACBD⊥．在正方体1111ABCDABCD-中，1DD⊥平面1111ABCD，11AC?平面1111ABCD，所以111ACDD⊥．因为1111BDDDD=，11BD，1DD?平面11BBDD，所以11AC⊥平面11BBDD．因为EF?平面11BBDD，所以11EFAC⊥．（2）解：取1CC的中点H，连结BH，则BHAE．在平面11BBCC中，过点F作FGBH，则FGAE．1DABCDEF1A1B1C1DABCDEF1A1B1CGH数学（理科）试题A第9页共18页连结EG，则A，E，G，F四点共面．因为11122CHCCa==，11133HGBFCCa===，所以1CG116CCCHHGa=--=．故当1CG16a=时，A，E，G，F四点共面．（3）延长EF，DB，设EFDBM=，连结AM，则AM是平面AEF与平面ABCD的交线．过点B作BNAM⊥，垂足为N，连结FN，因为FBAM⊥，FBBNB=，所以AM⊥平面BNF．因为FN?平面BNF，所以AM⊥FN．所以FNB∠为平面AEF与平面ABCD所成二面角的平面角．因为123132aMBBFMDDEa===，23=，所以