第二章_清华版数字电子

《数字电子技术基础》第五版第二章逻辑代数基础三亚学院电子技术教研室2.1概述基本概念在数字电路中，主要研究的是电路的输入输出之间的逻辑关系，因此数字电路又称逻辑电路，其研究工具是逻辑代数（布尔代数或开关代数）。逻辑变量：用字母表示，取值只有0和1。此时，0和1不再表示数量的大小，只代表两种不同的状态。三亚学院电子技术教研室2.2逻辑代数中的三种基本运算与（AND）或（OR）非（NOT）以A=1表示开关A合上，A=0表示开关A断开；以Y=1表示灯亮，Y=0表示灯不亮；三种电路代表了三种不同的因果关系：三亚学院电子技术教研室电路状态表开关S1开关S2灯断断灭断合灭合合断灭合亮S1S2灯电源１．与运算(1)与逻辑:只有当决定某一事件的条件全部具备时，这一事件才会发生。这种因果关系称为与逻辑关系。与逻辑举例三亚学院电子技术教研室逻辑真值表ABL001010110001与逻辑举例状态表开关S1开关S2灯断断灭断合灭合合断灭合亮逻辑表达式与逻辑：L=A·Ｂ=AB与逻辑符号ABL&ABL三亚学院电子技术教研室电路状态表开关S1开关S2灯断断灭断合亮合合断亮合亮２、或运算只要在决定某一事件的各种条件中，有一个或几个条件具备时，这一事件就会发生。这种因果关系称为或逻辑关系。S1灯电源S2或逻辑举例三亚学院电子技术教研室逻辑真值表ABL001010110111或逻辑举例状态表开关S1开关S2灯断断灭断合灭合合断灭合亮逻辑表达式或逻辑：L=A+Ｂ或逻辑符号ABLBL≥1A三亚学院电子技术教研室非逻辑举例状态表A灯断开亮闭合灭3.非运算事件发生的条件具备时，事件不会发生；事件发生的条件不具备时，事件发生。这种因果关系称为非逻辑关系。非逻辑举例三亚学院电子技术教研室非逻辑符号逻辑表达式:L=A非逻辑真值表AL0110非逻辑举例状态表A灯断开亮闭合灭A1LAL三亚学院电子技术教研室两输入变量与非逻辑真值表ABL001010111110ABLAB&L与非逻辑符号4.几种常用复合逻辑运算与非逻辑表达式L=A·B1)与非运算三亚学院电子技术教研室两输入变量或非逻辑真值表ABL001010111000B≥1AABLL或非逻辑符号2)或非运算L=A+B或非逻辑表达式三亚学院电子技术教研室3)异或逻辑若两个输入变量的值相异，输出为1，否则为0。异或逻辑真值表ABL000101011110BAL=1ABL异或逻辑符号异或逻辑表达式L=AB+AB=AB三亚学院电子技术教研室4)同或运算若两个输入变量的值相同，输出为1，否则为0。同或逻辑真值表ABL001010111001B=ALABL同或逻辑逻辑符号同或逻辑表达式L=AB+BA=AB三亚学院电子技术教研室2.3.1基本公式2.3.2常用公式2.3逻辑代数的基本公式和常用公式三亚学院电子技术教研室2.3.1基本公式根据与、或、非的定义，得表2.3.1的布尔恒等式序号公式序号公式101′=0;0′=110A=0111+A=121A=A120+A=A3AA=A13A+A=A4AA′=014A+A′=15AB=BA15A+B=B+A6A(BC)=(AB)C16A+(B+C)=(A+B)+C7A(B+C)=AB+AC17A+BC=(A+B)(A+C)8(AB)′=A′+B′18(A+B)′=A′B′9(A′)′=A证明方法：推演真值表三亚学院电子技术教研室左右BCABCCBABCACABACABA)())((1公式（17）的证明（公式推演法）：三亚学院电子技术教研室公式（17）的证明（真值表法）：ABCBCA+BCA+BA+C（A+B）(A+C)0000000000100010010001000111111110001111101011111100111111111111三亚学院电子技术教研室2.3.2若干常用公式序号公式21A+AB=A22A+A′B=A+B23AB+AB′=A24A(A+B)=A25AB+A′C+BC=AB+A′CAB＋A′C+BCD=AB+A′C26A(AB)′=AB′;A′(AB)′=A′三亚学院电子技术教研室公式证明：ABAABAABAABAAABBAABABBABAAABAAABAABA)1()()24()'(')23())('(')22()1()21(三亚学院电子技术教研室2.4逻辑代数的基本定理2.4.1代入定理------在任何一个包含A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中A的位置，则等式依然成立。三亚学院电子技术教研室应用举例：式（17）A+BC=(A+B)(A+C)A+B(CD)=(A+B)(A+CD)=(A+B)(A+C)(A+D)三亚学院电子技术教研室应用举例：式（8）CBABCACBABCBBABA)()()(代入以三亚学院电子技术教研室2.4.2反演定理-------对任一逻辑式原变量反变量反变量原变量，，，，0110YY变换顺序先括号，然后乘，最后加不属于单个变量的上的反号保留不变三亚学院电子技术教研室应用举例：DCBDACBCADCCBAYCDCBAY))(()(三亚学院电子技术教研室2.4.3对偶定理对偶定理：如果两个逻辑式相等，则它们的对偶式也相等对偶式：，，，，0110DY))')((()'()(DCBACDABYBCAYCBAYD例：三亚学院电子技术教研室2.5.1逻辑函数Y=F(A,B,C,······)------若以逻辑变量为输入，运算结果为输出，则输入变量值确定以后，输出的取值也随之而定。因此输入/输出之间是一种函数关系。注：在二值逻辑中，输入/输出都只有两种取值0/1。2.5逻辑函数及其表示方法三亚学院电子技术教研室2.5.2逻辑函数的表示方法真值表逻辑式逻辑图波形图卡诺图计算机软件中的描述方式各种表示方法之间可以相互转换三亚学院电子技术教研室•真值表输入变量ABC····输出Y1Y2····遍历所有可能的输入变量的取值组合输出对应的取值将输入变量所有的取值下对应的输出值找出来，列成表格，即可得到真值表三亚学院电子技术教研室例：ABCY00000010010001101000101111011111真值表举重裁判电路三亚学院电子技术教研室逻辑式将输入/输出之间的逻辑关系用与/或/非的运算式表示就得到逻辑式。)(CBAY逻辑式：例：三亚学院电子技术教研室逻辑图用逻辑图形符号表示逻辑运算关系，与逻辑电路的实现相对应。逻辑图：例：三亚学院电子技术教研室波形图将输入变量所有可能取值与对应输出按时间顺序排列起来画成时间波形。ABCYooootttt三亚学院电子技术教研室卡诺图EDA中的描述方式HDL(HardwareDescriptionLanguage)VHDL(VeryHighSpeedIntegratedCircuit…)VerilogHDLEDIFDTIF。。。三亚学院电子技术教研室真值表逻辑式：1.找出真值表中使Y=1的输入变量取值组合。2.每组输入变量取值对应一个乘积项，其中取值为1的写原变量，取值为0的写反变量。3.将这些乘积项相加即得Y。4.把输入变量取值的所有组合逐个代入逻辑式中求出Y，列表各种表现形式的相互转换：三亚学院电子技术教研室例：奇偶判别函数的真值表（判断1的个数的奇偶）A=0,B=1,C=1使A′BC=1A=1,B=0,C=1使AB′C=1A=1,B=1,C=0使ABC′=1这三种取值的任何一种都使Y=1,所以Y=?ABCY00000010010001111000101111011110三亚学院电子技术教研室逻辑式逻辑图1.用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符。)(CBAY三亚学院电子技术教研室逻辑式逻辑图2.从输入到输出逐级写出每个图形符号对应的逻辑运算式。)(BAB)(BAA))()((BABABABABABABABABA))(())()((三亚学院电子技术教研室波形图真值表1.从波形图中找出每个时间段内输入变量与函数输出的取值，然后将这些输入、输出取值对应列表，就得到了真值表。2.将真值表中所有的输入变量与对应的输出变量取值依次排列画成以时间为横轴的波形，就得到了所求的波形图。三亚学院电子技术教研室例：ABCYoooottttABC00000101001110010111011101100101Y真值表三亚学院电子技术教研室最小项m：在n变量逻辑函数中，若m为包含n个因子的乘积项，而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在m中出现一次，则称m为该组变量的最小项。对于n变量函数有2n个最小项2.5.3逻辑函数的两种标准形式最小项之和最大项之积三亚学院电子技术教研室最小项举例：两变量A,B的最小项三变量A,B,C的最小项）4个（22ABBABABA,,,）8个（32ABCCABCBACBABCACBACBACBA,,,,,,三亚学院电子技术教研室最小项的编号：最小项取值对应编号ABC十进制数0000m00011m10102m20113m31004m41015m51106m61117m7ABCCABCBACBABCACBACBACBA三亚学院电子技术教研室最小项的性质在输入变量任一取值下，有且仅有一个最小项的值为1。全体最小项之和为1。任何两个最小项之积为0。两个相邻的最小项之和可以合并，消去一对因子，只留下公共因子。------相邻：仅一个变量不同的最小项如BACCBABCACBABCACBA)(与三亚学院电子技术教研室逻辑函数最小项之和的形式：例：),,()(),,(763mBCAABCCABAABCCABBCCABCBAY1AA1.将给定的逻辑函数式化成若干乘积项之和的形式2.利用将每个乘积项中缺少的因子补全。三亚学院电子技术教研室例：)14,11,10,9,6,3,2()()()(),,,(3210116149''''''''''''''mmmmmmmmCDBACDBACDABCDABBCDAABCDDCABDDCBAADBCAADCBACBDBCDCBADCBAY三亚学院电子技术教研室2.6逻辑函数的化简法逻辑函数的最简形式在与或逻辑函数式中，包含的乘积项已经最少，每个乘积项的因子也最少，称为最简的与-或逻辑式。CBACYACDCBABCY21三亚学院电子技术教研室2.6.1公式化简法反复应用基本公式和常用公式，消去多余的乘积项和多余的因子。1）并项法两项合并消去一个变量ABAABACBACBACBAACABF)()(例：三亚学院电子技术教研室2）吸收法项吸收ABAABABACBABAF例：3）消去法ABABABAA中多余因子消去与项BACACBACCABACCBBAACF)()(例：三亚学院电子技术教研室4）取消法BCCAABBCCAAB消去多余与项DBDAABCCDDABABCCDDBDAABCF例：三亚学院电子技术教研室5）配项法进一步化简逻辑函数给某个与项配项，试探1AACAABCBBBCAABCBABBCAABCCBCBACBAABAABCCBCCBAABBCCBBAF)()()(例：三亚学院电子技术教研室F=AˊBC+(A+B′)CF=ABD+AB′CD′+AC′DE+ACBAACABFABBAABDCBAF练习：三亚学院电子技术教研室2.6.2卡诺图化简法一、逻辑函数的卡诺图表示