2021江苏省数学竞赛《提优教程》教案：第64讲_极限和导数

2021江苏省数学竞赛《提优教程》教案：第64讲_极限和导数极限和导数相关知识1.导数的有关概念。(1)定义：函数y=f(x)的导数f/(x)，就是当0→?x时，函数的增量y?与自变量的增量x?的比xy??的极限，即xxfxxfxyxfxx?-?+=??=→?→?)()(limlim)(00/。(2)实际背景：瞬时速度，加速度，角速度，电流等。(3)几何意义：函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率。2．求导的方法：(1)常用的导数公式：C/=0（C为常数）；(xm)/=mxm-1(m∈Q);(sinx)/=cosx;(cosx)/=-sinx;(ex)/=ex;(ax)/=axlnaxx1)(ln/=;exxaalog1)(log/=.(2)两个函数的四则运算的导数：).0(;)(;)(2/////////≠-=?????+=±=±vvuvvuvuuvvuuvvuvu(3)复合函数的导数：xuxuyy///?=3.导数的运用：(1)判断函数的单调性。当函数y=f(x)在某个区域内可导时，如果f/(x)0，则f(x)为增函数；如果f/(x)+≤==11)(2xbaxxxxfy在1=x处可导，则=a=b2．已知f(x)在x=a处可导，且f′(a)=b，求下列极限：（1）hhafhafh2)()3(lim0--+→?；（2）hafhafh)()(lim20-+→?3．设f(x)=(x-1)(x-2)…(x-100)，求f′(1)。B类例题例4(1)试述函数y=f(x)在x=0处的导数的定义；(2)若f(x)在R上可导，且f(x)=-f(x)，求f/(0)。(1)解：如果函数y=f(x)在x=0处的改变量△y与自变量的改变量△x之比xfxfxy?-?+=??)0()0(，当0→?x时有极限，这极限就称为y=f(x)在x=0处的导数。记作xfxffx?-?+=→?)0()0()0(lim/。(2)解法一：∵f(x)=f(-x)，则f(△x)=f(-△x)∴xfxfxfxffxx?--?--=?-?=→?→?)0()()0()()0(limlim/当0→?x时，有0→?-x∴)0()0()()0(/0/limfxfxffx-=?--?--=→?-∴0)0(/=f。解法二：∵f(x)=f(-x)，两边对x求导，得)()()()(////xfxxfxf-=-?=∴)0()0(//ff-=∴0)0(/=f。例5利用导数求和(1)Sn=1+2x+3x2+…+nxn－1(x≠0,n∈N*)(2)Sn=C1n+2C2n+3C3n+…+nCnn,(n∈N*)解(1)当x=1时Sn=1+2+3+…+n=21n(n+1);当x≠1时，∵x+x2+x3+…+xn=xxxn--+11,两边都是关于x的函数，求导得(x+x2+x3+…+xn)′=(xxxn--+11)′即Sn=1+2x+3x2+…+nxn－1=21)1()1(1xnxxnnn-++-+(2)∵(1+x)n=1+C1nx+C2nx2+…+Cnnxn,两边都是关于x的可导函数，求导得n(1+x)n－1=C1n+2C2nx+3C3nx2+…+nCnnxn－1,令x=1得，n·2n－1=C1n+2C2n+3C3n+…+nCnn,即Sn=C1n+2C2n+…+nCnn=n·2n－1说明要注意思维的灵活性以及在建立知识体系中知识点灵活融合的能力通过对数列的通项进行联想，合理运用逆向思维由求导公式(xn)′=nxn－1,可联想到它们是另外一个和式的导数关键要抓住数列通项的形式结构本题难点是学生易犯思维定势的错误，受此影响而不善于联想第(1)题要分x=1和x≠1讨论，等式两边都求导例6．（1）),0(∞+∈x求证xxxx11ln111211ln13121-+++（1）证：令tx=+110x∴1t11-=tx原不等式1ln11-tf11)(-='),1(∞+∈t0)('tf∴),1(∞+∈t↑)(tf∴0)1()(=ftf∴ttln1-令tttg11ln)(+-=∴22111)(tttttg-=-='),1(∞+∈t0)('tg∴),1(∞+∈t↑)(tg∴0)1()(=gtg∴tt11ln-∴xxxx11ln11将各式相加112111lg23ln12ln13121-+++1211ln13121-+++例7．已知na,0为正整数.（Ⅰ）设1)(,)(--='-=nnaxnyaxy证明；（Ⅱ）设).()1()1(,,)()(1nfnnfanaxxxfnnnnn'++'≥--=+证明对任意证明：（Ⅰ）因为nkknnCax0)(=∑=-kknxa--)(，所以1)(--=-='∑kknnkknxakCynkn0=∑=.)()(1111------=-nkknknaxnxaC（Ⅱ）对函数nnnaxxxf)()(--=求导数:nnnnnnnnnnnnnnannannanxaxxxfaxxfaxannnnfaxnnxxf)()1()1(,,.)()(,.0)(,0].)([)(,)()(1111---+-+≥--=≥∴'≥--='--='----时当因此的增函数是关于时当时当所以∴))()(1(])1()1)[(1()1(1nnnnnannnannnnf--+-+-++=+'+).()1())()(1(1nfnannnnnnn'+=--+-即对任意).()1()1(,1nfnnfannn'++'≥+情景再现4设f(x)在点x0处可导，a为常数，则xxaxfxaxfx??--?+→?)()(lim000等于()A.f/(x0)B.2af/(x0)C.af/(x0)D.05．求证下列不等式（1）)1(2)1ln(222xxxxxx+-xx2sin)2,0(π∈x（3）xxxx-,0(π∈x6已知0a，函数),,0(,1)(+∞∈-=xxaxxf设ax201（Ⅰ）求l的方程；（Ⅱ）设l与x轴的交点为)0,(2x，证明：①ax102≤xx121C类例题例8设函数f(x)=ax3-2bx2+cx+4d(a、b、c、d∈R)的图象关于原点对称，且x=1时，f(x)取极小值-32。(1)求a、b、c、d的值；(2)当x∈[-1,1]时，图象上是否存在两点，使得过此两点的切线互相垂直？试证明你的结论；(3)若x1,x2∈[-1,1]时，求证：|f(x1)-f(x2)|≤34。解(1)∵函数f(x)图象关于原点对称，∴对任意实数x，都有f(-x)=-f(x).∴-ax3-2bx2-cx+4d=-ax3+2bx2-cx-4d，即bx2-2d=0恒成立.∴b=0,d=0,即f(x)=ax3+cx.∴f′(x)=3ax2+c.∵x=1时,f(x)取极小值-32.∴f′(1)=0且f(1)=-32,即3a+c=0且a+c=-32.解得a=31,c=-1.(2)证明：当x∈[-1,1]时，图象上不存在这样的两点使结论成立，假设图象上存在两点A(x1,y1)、B(x2+y2)，使得过这两点的切线互相垂直，则由f′(x)=x2-1，知两点处的切线斜率分别为k1=x12-1,k2=x22-1,且(x12-1)(x22-1)=-1.(*)∵x1、x2∈[-1,1],∴x12-1≤0，x22-1≤0∴(x12-1)(x22-1)≥0，这与(*)相矛盾，故假设不成立.(3)证明：∵f′(x)=x2-1,由f′(x)=0,得x=±1.当x∈(-∞，-1)或（1，+∞）时，f′(x)＞0;当x∈(-1，1)时，f′(x)＜0.∴f(x)在[-1,1]上是减函数，且fmax(x)=f(-1)=32,fmin(x)=f(1)=-32.∴在[-1,1]上，|f(x)|≤32.于是x1,x2∈[-1,1]时，|f(x1)-f(x2)|≤|f(x1)|+|f(x2)|≤32+32=34.故x1,x2∈[-1,1]时,|f(x1)-f(x2)|≤34.说明①若x0点是y=f(x)的极值点，则f′(x0)=0,反之不一定成立；②在讨论存在性问题时常用反证法；③利用导数得到y=f(x)在[-1,1]上递减是解第(3)问的关键.例9已知平面向量a=(3,-1).b=(21,23).(1)证明a⊥b；(2)若存在不同时为零的实数k和t，使x=a+(t2-3)b，y=-ka+tb，x⊥y，试求函数关系式k=f(t)；(3)据(2)的结论，讨论关于t的方程f(t)-k=0的解的情况.分析通过向量的运算转化为函数问题解(1)∵ab?=3×21+(-1)×23=0∴a⊥b.(2)∵x⊥y，∴xy?=0即[a+(t2-3)b]·(-ka+tb)=0.整理后得-k2a+[t-k(t2-3)]ab?+(t2-3)·2b=0∵ab?=0，2a=4，2b=1，∴上式化为-4k+t(t2-3)=0，即k=41t(t2-3)(3)讨论方程41t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)=41t(t2-3)与直线y=k的交点个数.于是f′(t)=41(t2-1)=43t(t+1)(t-1).令f′(t)=0,解得t1=-1,t2=1.当t变化时，f′(t)、f(t)的变化情况如下表：当t=-1时，f(t)有极大值，f(t)极大值=2.当t=-1时，f(t)有极小值，f(t)极小值=-21.函数f(t)=41t(t2-3)的图象如图13－2－1所示，可观察出：(1)当k＞21或k＜-21时,方程f(t)-k=0有且只有一解；(2)当k=21或k=-21时,方程f(t)-k=0有两解；(3)当-21＜k＜21时,方程f(t)-k=0有三解.说明导数的应用为函数的作图提供了新途径。例10已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx.(1)求函数f(x)的最大值；(2)设0＜a＜b,证明：0＜g(a)+g(b)-2g(2ba+)＜(b-a)ln2.解：(1)函数f(x)的定义域为(-1，+∞)，f′(x)=x+11-1.令f′(x)=0，解得x=0.当-1＜x＜0时，f′(x)＞0;当x＞0时，f′(x)＜0.又f(0)=0，故当且仅当x=0时，f(x)取得最大值,最大值为0.（2）证法一：g(a)+g(b)-2g(2ba+)=alna+blnb-(a+b)ln2ba+=aln22lnabbabab+++由（1）结论知ln(1+x)-x由题设00,1022baabab---abbb--=-+-+，22lnln022abbaabababab--∴+--=++.又22aababb++，222lnlnlnln()2ababbababbaababbab+∴+baab综上0()()2()()ln22abgagbgba+证法二：()ln,()ln1gxxxgxx'==+.设()()()2()2axFxgagxg+=+-，则()()2[()]lnln22axaxFxgxgx++'''=-=-.当0()0,,Faba=()0Fb∴即0()()2()2abgagbg+ln2lnln()2axGxxxax+'=--=-+当x0时，()0Gx'()0,,()0,GabaGb=∴即()()2()()ln22abgagbgba++-例11已知双曲线:(0)mCymx=求m的值及切点坐标。（1）证明：设(,)mQtCt∈，要证命题成立只需要证明关于t的方程|xtMQyk='=有两个符号相反的实根。|xtMQyk='=221201mmttmtmtt-?-=?-+=-，且t≠0，t≠1。设方程220tmtm-+=的两根分别为t1与t2，则由t1t2=m（2）设1212(,),(,)mmAtBttt，由（1）知，t1+t2=2m，t1t2=m，从而2121212121()2,()2222ttmmmttmmmttttm++=+===，即线段AB的中点在直线yx=上。又1221212121()1()ABmmmttttktttttt--===---，∴AB与直线yx=垂直。故A与B关于yx=对称，设(,