2021第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题和答案

2021第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题和答案1第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答2021年9月16日一、（40分）一个半径为r、质量为m的均质实心小圆柱被置于一个半径为R、质量为M的薄圆筒中，圆筒和小圆柱的中心轴均水平，横截面如图所示。重力加速度大小为g。试在下述两种情形下，求小圆柱质心在其平衡位置附近做微振动的频率：（1）圆筒固定，小圆柱在圆筒内底部附近作无滑滚动；（2）圆筒可绕其固定的光滑中心细轴转动，小圆柱仍在圆筒内底部附近作无滑滚动。解：（1）如图，θ为在某时刻小圆柱质心在其横截面上到圆筒中心轴的垂线与竖直方向的夹角。小圆柱受三个力作用：重力，圆筒对小圆柱的支持力和静摩擦力。设圆筒对小圆柱的静摩擦力大小为F，方向沿两圆柱切点的切线方向（向右为正）。考虑小圆柱质心的运动，由质心运动定理得sinFmgmaθ-=①式中，a是小圆柱质心运动的加速度。由于小圆柱与圆筒间作无滑滚动，小圆柱绕其中心轴转过的角度1θ（规定小圆柱在最低点时10θ=）与θ之间的关系为1()Rrθθθ=+②由②式得，a与θ的关系为22122()ddarRrdtdtθθ==-③考虑小圆柱绕其自身轴的转动，由转动定理得212drFIdtθ-=④式中，I是小圆柱绕其自身轴的转动惯量212Imr=⑤由①②③④⑤式及小角近似sinθθ≈⑥得22203()θθ+=-dgdtRr⑦由⑦式知，小圆柱质心在其平衡位置附近的微振动是简谐振动，其振动频率为f=⑧（2）用F表示小圆柱与圆筒之间的静摩擦力的大小，1θ和2θ分别为小圆柱与圆筒转过的角度（规定小圆柱相对于大圆筒向右运动为正方向，开始时小圆柱处于最低点位置120θθ==）。对于小圆柱，由转动定理得221212θ⎛⎫-=⎪⎝⎭dFrmrdt⑨对于圆筒，同理有2222()θ=dFRMRdt⑩2由⑨⑩式得22122221θθ⎛⎫-+=-⎪⎝⎭ddFrRmMdtdt⑪设在圆柱横截面上小圆柱质心到圆筒中心轴的垂线与竖直方向的夹角θ，由于小圆柱与圆筒间做无滑滚动，有12()θθθθ=+-RrR⑫由⑫式得22212222()θθθ-=-dddRrrRdtdtdt⑬设小圆柱质心沿运动轨迹切线方向的加速度为a，由质心运动定理得sinFmgmaθ-=⑭由⑫式得22()θ=-daRrdt⑮由⑪⑬⑭⑮式及小角近似sinθθ≈，得22203dMmgdtMmRrθθ++=+-⑯由⑯式可知，小圆柱质心在其平衡位置附近的微振动是简谐振动，其振动频率为f=⑰评分参考：第（1）问20分，①②式各3分，③式2分，④式3分，⑤⑥式各2分，⑦式3分，⑧式2分；第（2）问20分，⑨⑩⑪式各2分，⑫式3分，⑬⑭⑮式各2分，⑯式3分，⑰式2分。二、（40分）星体P（行星或彗星）绕太阳运动的轨迹为圆锥曲线1coskrεθ=+式中，r是P到太阳S的距离，θ是矢径SP相对于极轴SA的夹角（以逆时针方向为正），22LkGMm=,L是P相对于太阳的角动量，113126.6710mkgsG---=⨯⋅⋅为引力常量，301.9910kgM≈⨯为太阳的质量，ε为偏心率，m和E分别为P的质量和机械能。假设有一颗彗星绕太阳运动的轨道为抛物线，地球绕太阳运动的轨道可近似为圆，两轨道相交于C、D两点，如图所示。已知地球轨道半径11E1.4910mR≈⨯，彗星轨道近日点A到太阳的距离为地球轨道半径的三分之一，不考虑地球和彗星之间的相互影响。求彗星（1）先后两次穿过地球轨道所用的时间；（2）经过C、D两点时速度的大小。已知积分公式()()3/21/2223xaaxaC=+-++，式中C是任意常数。3解：（1）由题设，彗星的运动轨道为抛物线，故1,0Eε==①彗星绕太阳运动的轨道方程为：1coskrθ=+②彗星绕太阳运动过程中，机械能守恒()2221022LmrVrEmr++==&③式中()MmVrGr=-④当彗星运动到近日点A时，其径向速度为零，设其到太阳的距离为minr，由③式得()2min2minmin2LMmVrGmrr=-=⑤由⑤式和题给条件得2Emin223LRrGMm==⑥由③式得drdt或dt⑦设彗星由近日点A运动到与地球轨道的交点C所需的时间为t∆，对⑦式两边积分，并利用⑥式得EERRrt∆==⎰⑧对⑧式应用题给积分公式得3/21/2EEEEE223333RtRRRRR∆=⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-⎢⎥⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎦=⑨由对称性可知，彗星两次穿越地球轨道所用的时间间隔为2Tt=∆=⑩将题给数据代入⑩式得66.4010sT≈⨯⑪（2）彗星在运动过程中机械能守恒2102GMmmEr-==v⑫式中v是彗星离太阳的距离为r时的运行速度的大小。由⑫式有4=v⑬当彗星经过C、D处时CDErrR==⑭由⑬⑭式得，彗星经过C、D两点处的速度的大小为CD==vv⑮由⑮式和题给数据得4CD4.2210m/s==⨯vv⑯评分参考：第（1）问28分，①式4分，②式2分，③式4分，④式2分，⑤式4分，⑥⑦⑧⑨⑩⑪式各2分；第（2）问12分，⑫式4分，⑬⑭⑮⑯式各2分。三、（40分）一质量为M的载重卡车A的水平车板上载有一质量为m的重物B，在水平直公路上以速度0v做匀速直线运动，重物与车厢前壁间的距离为L（0L）。因发生紧急情况，卡车突然制动。已知卡车车轮与地面间的动摩擦因数和最大静摩擦因数均为1μ，重物与车厢底板间的动摩擦因数和最大静摩擦因数均为2μ（21μμ碰后重物与车厢前壁不分开。重力加速度大小为g。（1）若重物和车厢前壁不发生碰撞，求卡车从制动开始到卡车停止的过程所花的时间和走过的路程、重物从制动开始到重物停止的过程所花的时间和走过的路程，并导出重物B与车厢前壁不发生碰撞的条件；（2）若重物和车厢前壁发生碰撞，求卡车从制动开始到卡车和重物都停止的过程所经历的时间、卡车走过的路程、以及碰撞过程中重物对车厢前壁的冲量。解：（1）若重物和车厢前壁不发生碰撞。卡车在水平直公路上做匀减速运动，设其加速度大小为1a。由牛顿第二定律有121()MmgmgMaμμ+-=①由①式得1121()MmagMμμμ+-=由匀减速运动公式，卡车从制动开始到静止时所用的时间1t和移动的距离1s分别为0011112()MtaMmgμμμ==+-vv，2202111122()2MsaMmgμμμ==+-vv②重物B在卡车A的车厢底板上做匀减速直线运动，设B相对于地面的加速度大小为2a。5由牛顿第二定律有22mgmaμ=③由③式得222mgagmμμ==从卡车制动开始到重物对地面速度为零时所用的时间2t和重物移动的距离2s分别为00222tagμ==vv，220022222vvμ==sag④由于21μμ2220001221212112()()22[()]2MmLssaaMmgμμμμμμ-+≥-=-=+-vvv⑤（2）由⑤式知，当满足条件212212112()()2[()]MmLssMmgμμμμμμ-+时，重物B与车厢前壁必定发生碰撞。设从开始制动到发生碰撞时的时间间隔为t，此时有几何条件21()()ststL=+⑥这里又可分为两种情况：12ttt（重物在卡车停下后与车厢前壁发生碰撞）和1tt≤（重物在卡车停下前与车厢前壁发生碰撞）。（i）12ttt，即卡车A在1t时停下，重物B继续运动，在t时与车厢前壁发生碰撞。卡车停下的时间和向前滑动的距离是②给出的1t和1s，同时重物相对于地面向前滑动的距离是[][]220121212120211212(2)2()2()statMMmgMmμμμμμμμ'=--+-=+-vv⑦重物相对于车厢向前滑动的距离是[][][]221212021111211220122112(2)2()2()2()()()2()MMmMssgMmgMmMmMgMmμμμμμμμμμμμμμμμ-+-'-=-+-+--+=+-vvv如果2121ssLss'-）的离子，由静止开始被电场加速，经狭缝中的O点进入磁场区域，O点到极板右端的距离为D，到出射孔P的距离为bD（常数b为大于2的自然数）。已知磁感应强度大小在零到maxB之间可调，离子从离子源上方的O点射入磁场区域，最终只能从出射孔P射出。假设如果离子打到器壁或离子源外壁则即被吸收。忽略相对论效应。求（1）可能的磁感应强度B的最小值；（2）磁感应强度B的其它所有可能值；（3）出射离子的能量最大值。解：（1）设离子从O点射入磁场时的速率为v，由能量守恒得212qUm=v①由①式得v②设离子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为r，有2qBmr=vv③由②③式得r④图a图b11若2bDr或22DbDr2bDr=⑤将⑤式代入④式得，电子能够从P出射，可能的磁感应强度B的最小值为minB⑥（2）若2Dr1r=⑦这样加速n次后，离子做圆周运动的半径nr为nr⑧当满足条件)2nbDkrrkr+==⑨或r=时，离子可从P处射出。另一方面，显然有1k≥，且22(1)krDkr≤2(1)2DDrkk))2(1)22DbDDkkkk+，0dTdV，故0dQdV，吸热⑫在V从034V增大到02124V的过程中，m0C在V从02124V增大到0V的过程中，m0C，0dTdVdV由⑫⑬⑭式可知，系统从吸热到放热转折点发生在c02124VVV==处。由③式和上式得2021c001335264PPVTVPVRVRνν⎛⎫=-+=⎪⎝⎭⑮（3）对于直线AB过程，由⑥⑩式得0m0000212421644VVdTVdQCdVPdVPdVdVVVν-⎛⎫===-⎪⎝⎭⑯将上式两边对直线过程积分得，整个直线AB过程中所吸收的净热量为0002021000/2/22162133448VVVVVVQPdVPVPVVV⎛⎫⎛⎫=-=-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰直线⑰直线AB过程中气体对外所作的功为00000013()()2228PVWPVPV=+-=直线⑱等温过程中气体对外所作的功为000/2/20000ln222VVVVVPVdVWPdVPV===-⎰⎰等温⑲17一个正循环过程中气体对外所作的净功为003ln2()82=+=-直线等温⑳评分参考：第（1）问10分，①②式各3分，④⑤式各2分；第（2）问20分，⑥⑦⑧⑨⑩⑪⑫⑬⑭⑮式各2分；第（3）问10分，⑯⑰⑱⑲⑳式各2分。八、（40分）菲涅尔透镜又称同心圆阶梯透镜，它是由很多个同轴环带套在一起构成的，其迎光面是平面，折射面除中心是一个球冠外，其它环带分别是属于不同球面的球台侧面，其纵剖面如右图所示。这样的结构可以避免普通大口径球面透镜既厚又重的缺点。菲涅尔透镜的设计主要是确定每个环带的齿形（即它所属球面的球半径和球心），各环带都是一个独立的（部分）球面透镜，它们的焦距不同，但必须保证具有共同的焦点（即图中F点）。已知透镜材料的折射率为n，从透镜中心O（球冠的顶点）到焦点F的距离（焦距）为f（平行于光轴的平行光都能经环带折射后会聚到F点），相邻环带的间距为d（d很小，可忽略同一带内的球面像差；d又不是非常小，可忽略衍射效应）。求（1）每个环带所属球面的球半径和球心到焦点的距离；（2）该透镜的有效半径的最大值和有效环带的条数。解：（1）考虑单个球面的折射。如图，设某一与光轴距离为h的光线平行于光轴Z从折射率为n的介质中射向半径为R、球心位于C点的球面，入射点为球面上的A点，CA为球面半径，入射角为α，球面外是空气，折射角为β，折射线与Z轴交点为F。由A作Z轴的垂线，垂足为O。由折射定律，有sinsinnβα=，①在ACF∆中，由正弦定理有αβsinAFsinCF=②在AOF∆中，由勾股定理有FZ1822OFAOAF+=③22AOCOCA+==R④又OFCFCO-=，h=AO，f=OF，⑤由①②③④⑤式得22CFfhn+=⑥R==⑦在制作给定焦点和焦距的菲涅尔透镜时，应按⑥⑦式来确定各环带球面的球心位置和球半径，即对第k（0,1,2,k=）个环带球台，其球心在光轴上与焦点的距离应为CFk=⑧球半径则为kR=⑨特别地，位于透镜中心的环带（0k=）球心与焦点距离为0CFnf=⑩球半径为0(1)Rnf=-⑪（2）当f不变而