3拉格朗日方程及振动

3拉格朗日方程及振动三、（补）势力场、势能、动能定理从能量的角度来描述物体的运动现象。现我们将力所作的功的概念进一步推广，可由能量的观点可推出拉格朗日方程。（一）、势力场与势函数如果质点在某空间内任何位置都受有一个大小，方向完全确定的作用力。即质点所受到的力仅与质点的位置有关，记为：Fxyz(,,)那么这个空间称之为力场。将F向坐标轴投影就有：),,(zyxFXx=,),,(zyxFYy=,),,(zyxFZz=设上述的函数是单值、连续、并且具有一阶偏导数。现我们计算F在力场中运动时所作的功，由功的定义知道：?++=LzyxdzFdyFdxFW)((其中L为质点运动的轨迹)一般地讲，这个积分与质点运动的路径有关。现仅讨论与路径无关的情况。这对于理解物体运动的本质是很有意义的。如果上述的线积分仅与质点的起始位置与终了位置有关，而与路径无关。由高等数学知该微分三项式为某一函数的全微分，即)(dzFdyFdxFdUzyx++=。显然U是坐标x，y，z的函数，则定义：),,(zyxUU=———力场的势函数。如果质点从M0运动到M，则代入上述的线积分则有：),,(),,(00000zyxUzyxUdUWMMMM-=?=→→并且xUFx??=；yUFy??=；zUFz??=（二）、势能、势能函数前面我们纯粹从数学的角度引进了势函数，通过势函数，我们可方便地计算有势力的功。势函数的概念比较抽象，但在矢量场的分析中具有普遍的意义。在我们力学分析中，还经常用到物理意义较为明显的势能函数，由势能函数来代替势函数。现我们来看两者的关系。首先来定义势能的概念。所谓势能即：势能——当物体在势力场中某一位置时，具有作功的能量。显然，势能具有相对的意义。选取不同的基准位置，则同一位置的势能具有不同的数值。现以质点为例，由定义知：质点M点的势能等于质点从M点??→?运动到0M0时，力场中的力所作的功。根据前面的讨论，这个功为二点势函数的差。现我们用V来表示，即：UUdUWVMMMM-===?→00即),,(),,(000zyxUzyxUV-=显然V是x，y，z的函数。则我们称V——势能函数。现我们将基准面M0选定为零势面，即00=U故又有：UV-=这就是说，势能函数与势函数仅差一个负号。由此我们又有xUVFxx????==-；yUVFyy????==-；zUVFzz????==-几种常见的具体问题的势能函数书上P都有。势能函数可以判断系统在某位置是否稳定。当0MxxdVdx==0MxxdVdx≠≠且0220xxdVdx=则系统在0xx=位置是渐近是稳定的。（三）、机械能守恒定律：设系统有两个位置（和两个瞬时）则：=+=+2211VTVT常量如果设一个状态为任意位置的，一个是初始的，则上式对时间求导数，可以得运动微分方程。即由11TVTV+=+=常量，0dTdVdtdt+=机械能守恒定律在碰撞中常用，即碰撞前和碰撞后，机械能守恒（包括动量守恒，动量矩守恒等等）拉格朗日方程在推出动力学普遍方程时我们用的是直角坐标来表示质点系的运动。一般地说用直角坐标来表示质点系的运动并不总是方便的，特别是研究多自由度的非自由质点系动力学问题中，如果采用广义坐标来研究则方便得多。设有一具有理想的完整约束（即几何条件的约束）的非自由质点系，并设此质点系具有k个自由度数，故可用k个广义坐标12,,,kqqq表示质点系的位置。作一直角坐标系0xyz，设质点系中任一质点iM的位置，可用矢量(,,)iiiirxyz表示。显然，如果约束是非定常的，则位矢ir是广义坐标及时间的函数。即12(,,,,)iikrrqqqt=(1,2,,)in=（1）此处，n是质点系质点的数目。实际上这里也给出了质点系的约束方程有nk-个。irδjqδ(1,2,,)jk=1kiijjjrrqqδδ=?=?∑(1,2,,)in=（2）已知动力学普遍方程为：1()0niiiiiFmrrδ=-?=∑展开后得：110nniiiiiiiFrmrrδδ==?-?=∑∑（3）上式中左边第一项表示主动力系在质点系中的虚位移中的元功之和，写成广义坐标的形式，即11nkiijjijFrQqδδ==?=∑∑（4）式中，jQ是对应于广义坐标jq的广义力。（左边是主动力和直角坐标表示，而右边是广义力和广义位移表示。用不同的坐标，但表示的都是主动力所作的功，是一回事）（3）式左边第二项表示惯性力系在质点系中的虚位移中的元功之和，将（2）式代入得：11111()()nnkkniiiiiiijiijiijjijjrrmrrmrqmrqqqδδδ=====???=?=???∑∑∑∑∑（5）（注意上式中和式次序的交换）为了将上式中位矢对时间的导数也用广义坐标形式表示，将上式括号中的式子改写为：()iiiiiiiiijjjrrrddmrmrmrqdtqdtq????=?-????（6）现在来证明上式中有关及的两个关系式：1）、将（1）式位置矢量对时间求导数，可求得任一质点的速度1kiiiijjjrrvrqtq=??==+??∑（7）此式中，jq表示广义坐标对时间的变化率，称为广义速度。并且知道irt??和ijrq??仅仅是广义坐标及时间的函数。由此可求得一个关系式iijvrqq??=??（8）2）、将（7）式对任一广义坐标qα求偏导数，得：221kiiiijjjvrrrqqqqtqqαααα=????==+??????∑（这里注意广义坐标相互是独立的，故jq只是时间的函数与其他广义坐标无关）另一方面，直接对（1）式位置矢量求广义坐标qα的偏导数后，再对时间t求偏导数得：221()kiiijjjrrrdqdtqtqqqααα=???=+?????∑由此得到另外一个关系式（比较上面两式）()iijjrrdqdtq??=??将这两个关系式代入（6）式之中，可得到：()iiiiiiiiijjjrvvdmvmvmvqdtqq????=?-????22()()22iiiijjmvmvddtqq??=-??（矢量自身点乘即平方）将此结果代入（5）式中，并引入质点系动能T212niiimvT==∑由此可求得：11()nkiiijijjjdTTmrrqdtqqδδ==???=-??∑∑（10）将（4）式和（10）式代入普遍方程（3）式中，最后求得1()0kjjjjjdTTQqdtqqδ=??--=??∑显然，上式对于任意的广义坐标变分jqδ恒等于零，因此，在各项中jqδ的系数，即所有括号项中均分别为零上式才恒成立，即jjjdTTQdtqq??-=??(1,2,,)jk=（11）这就是第二类拉格朗日方程。它描述具有完整约束的非自由质点系动力学的普遍规律。它是由k个二阶常微分方程组成的方程组，其中包含k个独立广义坐标。如将此方程组积分，就可求得解12,,,kqqq由时间参数表示的函数，这就是以广义坐标表示的质点系运动方程。它含有2k个由起始条件确定的常数，即0t=时的，质点系广义坐标和广义速度决定。当主动力具有势时，设质点系的势能为V，这主动力的广义力为：jjVQq?=-?(1,2,,)jk=因而拉格朗日方程可写成()jjjdTTdtqqq???∏-=-???(1,2,,)jk=由于势能V不依赖于广义速度，因而有0jVq?=?。如引入拉格朗日函数LTV=-，即它表示质点系的动能与势能之差。则上式可改写成：()0jjdLLdtqq??-=??(1,2,,)jk=此即在保守系统中，拉格朗日方程的形式。由此可知，当解决在保守系统中的质点系中的质点系动力学问题，即要写出系统的运动微分方程时，就归结成为求拉格朗日函数LTV=-的问题。显然，拉格朗日函数具有能量的量纲。这不但在机械系统中成立，在电动力学中，有些问题也可求出拉格朗日函数，从而通过拉格朗日方程，来建立电动力学的运动微分方程，故拉格朗日函数及拉格朗日方程，具有更为普遍的意义。求系统固有频率的方法物体结构的固有频率是表示系统的一种固有特性，故计算固有频率，在工程动态问题中是很重要的，必须熟练掌握。一、标准运动微分方程法用动力学方法（动量定理、动量矩定理、动能定理，或拉格朗日方程等），建立系统的运动微分方程。将方程写成标准形式，即：2n0xxω+=再由微分方程坐标参数的系数决定nω。注意这里所谓的坐标可以是线位移，也可以是角位移。例可绕水平轴摆动的物体，称为复摆（亦称物理摆），设物体的质量为m，对轴的转动惯量为J，中心C至轴O的距离为l，如图所示。求复摆微幅振动时的振动周期T。解：取偏角θ为坐标，以逆时针为正。由定轴转动时的动量矩定理，得复摆的运动微分方程为：sinJmglθθ=-在θ很微小时，可令sinθθ≈，于是上式可写为：0mglJθθ+=这就是所求系统的微分方程标准形式。其坐标θ前的系数就是系统固有圆频率的平方，即p=则系统的固有周期为：22Tpππ==二、静伸量长法对质量弹簧系统（如图）而言，当系统在平衡位置时，弹簧有静伸长stδ，(如图)。其平衡方程为：mgpkst==δ。故stmgkδ=。代入固有频率的表达式，则有：ωδδnkmmgmgstst===（1.2.1）进一步又有：fgst=12πδ（1.2.2）其中：k、m应为系统的等效刚度及等效质量。这些都要记住例均值悬臂梁长为l，弯曲刚度为EI，重量不计，自由端附有重Pmg=的物体，如图所示。试求出系统的固有频率。解：由材料力学知，在物体重力的作用下，梁的自由端将有静挠度33stPlEIδ=代入公式得：f===答：系统的固有频率为：f=三、能量法在阻尼可以略去不计的情况下，系统为一保守系统。振系在自由振动时的动能和势能之和（即机械能）保持常值。（仅质量—弹簧系统）现我们仍以质量——弹簧系统为例(如图)。不考虑阻尼，因大多数情况下小阻尼对固有频率的影响不大。现设系统的机械能是守恒的：那么系统在任何一个位置上具有的动能T和势能V的总和不变。就是说：UTV=+=机常数(a)当振体在平衡位置以外的任一位置，其动能可表示为：221xmT=(b)而这位置的势能V包括两部分，即：EgVVV+=(c)振体的重力势能———gV；及弹簧势能———EV取系统的平衡位置为势能的零点，则mgxVg-=201)(kxmgxdxkxmgVxE+=?+-=代入(c)式则得：221kxVVVEg=+=(d)EUTV=+=机常数(e)在振动过程中，振体达到平衡位置时，0=x即系统的势能为零，但振体的速度最大。也就是说，系统的全部机械能等于全部动能，即2maxmax21xmT=(f)当振体达到极端位置时，即maxxx=时，其速度等于零，即:0=x，故其动能为零。也就是说，系统的势能达到最大并且等于全部机械能，即：2max21maxkxV=(g)由于系统机械能是守恒的故有：maxmaxmaxVUT==（1.2.3）即2max2max22xkxm=于是我们就有：nmkxxω==maxmax(1.2.4)这就是计算系统固有频率的能量法。顺便说一下，如果将(a)式对时间求导数，即0=dtdU（1.2.5）可得到系统的微分方程，然后再用标准微分方程法求的系统的固有频率。一般来说固有频率的计算有三种方法三种法的特点：对于单个物体来说，用标准微分方程法较简单。对于已知静伸长量时，用静伸长量法较为方便。尤其是对一些连续弹性体来说更为方便。而能量法则主要用于系统较复杂的系统。象一些机构问题，则能显示出能量法的优点。因问题仅归结为写出系统的动能和势能即可。条件仅是系统的机械能守恒如图所示的机构，滑轮B和轮C半径相同且5rcm=，质量相等且4BCmmkg==。轮心C一弹簧，并与斜面平行030α=绳子A端挂一重物，质量为5kg弹簧静变形10stcmδ=，轮C作纯滚动时，求系统在平衡位置附近作微幅振动的频率。解：先求弹簧系数，静平衡时，一、取C轮为研究对象（如图）；二、受力分析（如图）。作用在轮上的力有绳子拉力ATmg=，轮自重Cmg，弹簧拉力stkδ，以及法向反力N和摩擦力F。三、列平衡方程。对C轮与斜面的接触点D取矩方程，即0DM=∑：(sin)0ACstmgrmgkrαδ-+=可解得：sin294.3(