《高等数学(下册)》第八章练习题及答案

《高等数学(下册)》第八章练习题及答案《高等数学(下册)》第八章练习题一、填空题1.________________)sin(==dzxyz则，设2.设),cos(2yxz=，则=??)2,1(πxz3.函数22)(6yxyxz---=的极值点为4.设xyez=，则=dz5.设yzlnzx=，则=?zxz二、选择题)20(D.)02(C.)00(B.)22(A.)(33)(12233，，，，的极小值点为，函数、yxyxyxf--+=2、),(yxf在点),(00yx处偏导数),(),(0000yxfyxfyx''、存在是),(yxf在该点连续的().(a)充分条件，(b)必要条件，(c)充要条件，(d)既非充分条件又非必要条件。3、设)2ln(),(xyxyxf+=，则＝（）)1,1(-'xf.（A），31（B），31-（C），65（D）.65-三、计算题方程。处的切线方程与法平面，，在点求曲线、)121(2132???==xzxy2、设),(yxzz=是由方程0),(=--zyzxF确定的隐函数，F具有一阶连续偏导数，且,0≠'+'vuFF其中,,zyvzxu-=-=求.,yzxz????3、求曲面3222-=+-zxzyx在点)1,2,1(处的切平面及法线方程。4、设,222zyxeu++=而yxzsin2=,求xu??.5、求曲线tzeyextt===-,,,对应于0=t点处的切线和法平面方程。6、求函数)4(2yxyxz--=在闭域4,0,0≤+≥≥yxyx上的最大值及最小值。7、设2cos2=z(yx21-),求xz??和yz??.8、yfxfeyxfxy????=),(3，，求设9、的极大值或极小值求函数3),(22xyxyxyxf++-=10、dzyxzxyvyxuvuxfz的全微分对求复合函数设,,,2),,,(=+==11、yzxzxyxyz????=和求设),cos(12、处的切平面和法线方程上点求曲面)1,2,1(823222--=+zxzyyzxyzfyzxyfyxzyxzz??++==求有连续的一阶偏导，所确定，其中由方程函数、),(sin),(13四、综合应用题1.在平面xoy上求一点），（yxM，使它到三条直线，，00==yx01=++yx的距离平方和为最小，并求其最小值。2.在曲面2242yxz++=上求一点，使它到平面132=+-zyx的距离最近。五、证明题ayzcxzbyxfzczaybzaxvu=??+??==--满足：，所确定的函数，证明由方程具有连续偏导，，设)(0)()(.1φφ2.证明曲面)0(=++aazyx上任一点处的切平面在三个坐标轴上的截距之和为常数。《高等数学(下册)》第八章练习题答案一、填空题1.________________)sin(==dzxyz则，设2.)cos()21(2ππ-=??=，则，设xzyxz3.3)3()(622----=，的极值点为函数yxyxz4.)(xdyydxedzezxyxy+==则，设5.lnzxzxzyzzx+=??=则，设二、选择题)20(D.)02(C.)00(B.)22(A.)A(33)(12233，，，，的极小值点为，函数、yxyxyxf--+=.)()()()()()()()()()(2021000条件既非充分条件又非必要充要条件，必要条件，充分条件，在该点连续的，是存在，、，处偏导数，在点，、dcbadyxfyxfyxfyxyxfyx''.65)(65)(31)(31)()B()11()2ln()(3--=-'+=DCBAfxyxyxfx，，，，则，，设、三、计算题方程处的切线方程与法平面，，在点求曲线、)121(2132???==xzxy{}012340)1(3)2(41314211341T342=-++=-+-+--=-=-?=∴='='zyxzyxzyxxzxy即法平面方程为切线方程为，，切向量，解：.00)()(2yzxzzyvzxuFFFzyzxFyxzzvu????-=-=≠'+'=--=，求，，其中，且具有一阶连续偏导数，确定的隐函数，，是由方程，、设))(cos(xdyydxxy+)()(zyzxFzyxf--=，，，令解：，，，则vuzvyuxFFfFfFf'-'-=''=''='vuuzxFFFffxz'+''=''-=???vuvzyFFFffyz'+''=''-=???0)()1(0)(=??-'+??-'=--xzFxzFxzyzxFvu求偏导得：两边对，或将vuuFFFxz+'=???vuvFFFyz+'=??同理可求.)121(33222处的切平面及法线方程，，在点求曲面、-=+-zxzyx11423106430)1()2(4)1(3}143{2223)(222--=--=-=+--=-------=-=-=+=+-+-=zyxzyxzyxzxFyFzxFzxzyxzyxFzyx法线方程即切平面方程，，故，，则，，解：令)sin21(2)sin21(2u422sin2422222yxxeyzxexyxyxzyx+=+=??++++、.0111115=+--=--=-zyxzyx法平面方程：，、切线方程).0])4,0[(4]),4,0[(0]),4,0[(0(04)1,2(6minmax上都是最小值、在整个边界：最小值为、、最大值为∈=+∈=∈===yxyxxyyxzz).2sin()2sin(27yxyzyxxz-=??--=??，、.383323xyxyexyyfeyxf=??=??、、.3)1,2()1,2(9-=----极小值，、极小值点为f.)()2(210dyvfxufdxvfyufxfdyyzdxxzdzvfxufyzvfyufxfxz??+??+??+??+??=??+??=∴??+??=????+??+??=??、解：).sin()cos(1)sin()cos(1122xyyxyxyzxyxyxyxyxz-=??--=??、解：.14111261021411612+=-=--=+--zyxzyx法线方程为：、切平面方程为：.cos)1(cos),(sin13221212fxffxyyzfyzfxyyzxyyzxyfyxzxf'-'+'+=?????→?'+??+'+=??++=≠'时当求偏导，得：的两边直接对、解：由已知方程四、综合应用题.01,0,0),(1.并求其最小值平方和为最小，的距离，使它到三条直线平面上求一点在=++==yxyxyxMxoy41)4141()4141()4141(0120122)1()(222=------???=+++==+++=++++=，，且最小值为，求点为由问题实际意义可得所，得唯一驻点由，为到三条直线距离平方和解：点fyxyfyxxfyxyxyxfMyx).146,141,142().(2-答案：所求点是用拉格朗日乘数法做提示：这是条件极值，五、证明题ayzcxzbyxfzczaybzaxvu=??+??==--满足，所确定的函数，证明由方程具有连续偏导，，设)(0)()(.1φφacbacabyzcxzbcbayzcbaFFxzcbFaFaFczaybzaxzyxFvuvuvuvvuuzxvuzvyux=++=??+???+=??+=-=???--===--=φφφφφφφφφφφφφφφ)()(，，，则，，，令证：下面同上同理导得：如果直接将方程两边求注：vuvvuuvuucbayzcbaxzxzcxzbaφφφφφφφφφ+=??+=???=??-??-0.)0(.2截距之和为常数三个坐标轴上的上任一点处的切平面在证明曲面=++aazyxazyxzyx=++000000)(则，，，设曲面上任一点为解：azyxzyxF-++=)(，，令，zFyFxFzyx212121='='='，，则}212121{000zyxn，，法向量为=?0)(21)(21)(21000000=-+-+-?zzzyyyxxx切平面方程为00000zxyxxa++=?的截距分别为切平面在三个坐标轴上，00000zyyxyb++=00000zyzxzc++=000000000222zyzxyxzyxcba+++++=++故截距和为结论成立，)(2000azyx=++=