【推荐】2021高中数学第二章空间向量与立体几何从平面向量到空间向量教学案北师大选修6

【推荐】2021高中数学第二章空间向量与立体几何从平面向量到空间向量教学案北师大选修6§1从平面向量到空间向量[对应学生用书P15]小刚从学校大门口出发，向东行走100m，再向北行走600m，最后乘电梯上行20m到达住处．问题1：位移是既有大小又有方向的量，可用向量表示．那么，小刚从学校大门口到住处的总位移所对应的向量是三个位移所对应的向量的合成吗？提示：是．问题2：问题1中的位移是不在同一个平面内的位移，已不能用平面向量来刻画，应如何刻画这种位移？提示：用空间向量．问题3：若设大门口向东行走100m为a，再向北行走600m为b，最后乘电梯上行20m为c，则a，b，c夹角分别是多少？提示：π2.空间向量(1)空间向量及其模的表示方法：(2)向量的夹角：①定义：过空间任意一点O作向量a，b的相等向量OA和OB，则∠AOB叫作向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．②范围：[0，π]．③当〈a，b〉＝π2时，向量a与b垂直，记作a⊥b.④当〈a，b〉＝0或π时，向量a与b平行，记作a∥b.(3)特殊向量：如图，正方体ABCD－A′B′C′D′.问题1：在正方体的顶点为起点和终点的向量中，直线AB的方向向量有哪些？提示：AB，BA，AB''，BA''，DC，CD，DC''，CD''.问题2：在正方体的顶点为起点和终点的向量中，与平面ABCD垂直的向量有几个？提示：8个．向量、直线、平面(1)方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称AB为直线l的方向向量．与AB平行的任意非零向量a也是直线l的方向向量．(2)法向量：如果直线l垂直于平面α，那么把直线l的方向向量a叫作平面α的法向量．所有与直线l平行的非零向量都是平面α的法向量．1．空间向量是对平面向量的拓展和提高，平面向量研究的是向量在同一平面内的平移，空间向量研究的是向量在空间的平移，空间的平移包含平面内的平移．2．直线的方向向量与平面的法向量是不唯一的，直线的方向向量都平行于该直线，平面的法向量都垂直于该平面．[对应学生用书P16][例1]①若a，b是空间向量，则|a|＝|b|是a＝b的必要不充分条件；②若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|；③两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p；AC；⑤在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有AC＝11⑥空间中任意两个单位向量必相等．其中，正确的命题序号是________．[思路点拨]用空间向量的有关概念进行判断．[精解详析]以上命题①②④⑤正确．两向量若相等，必须方向相同且模相等．但相等的向量起点不一定相同，故③错；两个单位向量虽模相等，但方向不一定相同，故⑥错．[答案]①②④⑤[一点通]与平面向量一样，空间向量也有向量的模、向量的夹角、单位向量、零向量、相等向量、相反向量、平行向量的概念．两个向量是否相等，要看方向是否相同，模是否相等，与起点和终点位置无关．1．把空间所有单位向量归结到一个共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是()A．一个圆B．两个孤立的点C．一个球面D．以上均不正确解析：单位向量的模为1，把所有空间单位向量移到共同起点后，向量的终点到起点的距离均为1，构成了一个球面．答案：C2．下列命题中正确的个数是()①如果a，b是两个单位向量，则|a|＝|b|；②两个空间向量共线，则这两个向量方向相同；③若a，b，c为非零向量，且a∥b，b∥c，则a∥c；④空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：对于①：由单位向量的定义即得|a|＝|b|＝1，故①正确；对于②：共线不一定同向，故②错；对于③：正确；对于④：正确，在空间任取一点，过此点引两个与已知非零向量相等的向量，而这两个向量所在的直线相交于此点，两条相交直线确定一个平面，所以两个非零向量可以平移到同一平面内．答案：C3．如图所示的长方体中，AD＝2，AA1＝1，AB＝3.(1)试写出与AB相等的所有向量；(2)写出向量1AA的相反向量；(3)写出与向量BC的模相等的向量；(4)写出与向量11AD平行的向量．解：(1)与AB相等的向量有：DC，11DC，1AB.(2)向量1AA的相反向量有：1AA，1BB，1CC，1DD.(3)与向量BC的模相等的向量有：CB，11BC，11CB，11AD，11DA，AD，DA.(4)与向量11AD平行的向量有：11DA，11BC，11CB，BC，CB，AD，DA.[例2]如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求(1)〈AB，AB''〉，〈AD，DC''〉，〈AB，CD''〉．(2)〈AD'，BC〉，〈AD'，DC'〉．[思路点拨]按空间向量夹角的定义求解，空间向量a，b夹角范围是[0，π]．[精解详析](1)∵正方体ABCD－A′B′C′D′，∴AB∥A′B′，AD⊥D′C′，AB∥C′D′.∴〈AB，AB''〉＝0，〈AD，DC''〉＝π2，〈AB，CD''〉＝π.(2)∵正方体ABCD－A′B′C′D′，∴AD∥BC.∴〈AD'，BC〉＝〈AD'，AD〉＝π4.连接AC，则△ACD′为等边三角形．∴〈AD'，DC'〉＝2π3.[一点通]与求平面内两向量夹角类似，求空间两向量夹角时，采取平移的方法，把空间两向量的夹角转化为平面内某两条相交直线的角，进而用解三角形的知识求解．必须注意两向量夹角应保证两向量移至共同起点处，比如若〈AB，AC〉＝π4，而〈AB，CA〉＝3π4.4．正四面体S－ABC中，E，F分别为SB，AB中点，则〈EF，AC〉＝________.解析：如图所示，∵E，F为中点，∴EF∥SA，而△SAC为正三角形，∴∠SAC＝π3，∴〈EF，AC〉＝2π3.答案：2π35．在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝3，AA′＝1，AD＝6，求〈AC，AB'〉．解：如图，连接A′C′，BC′.∵AC＝AC''，∴∠BA′C′的大小就等于〈AC，AB'〉．由长方体的性质和三角形勾股定理知，在△A′BC′中A′B＝AA′2＋AB2＝2，A′C′＝AB2＋AD2＝3，BC′＝AD2＋AA′2＝7.∴cos∠BA′C′＝A′C′2＋A′B2－BC′22·A′C′·A′B＝12.∴∠BA′C′＝π3.即〈AC，AB'〉＝π3.[例3]如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形且PD＝AD＝CD，E，F分别是PC，PB的中点．(1)试以F为起点作直线DE的一个方向向量；(2)试以F为起点作平面PBC的一个法向量．[思路点拨](1)只要作出过F与DE平行的直线即可．(2)作出过F与平面PBC垂直的直线即可．[精解详析](1)连接EF.∵E，F分别是PC，PB的中点，∴EF綊12BC.又BC綊AD，∴EF綊12AD.取AD的中点M，连接MF，则由EF綊DM知四边形DEFM是平行四边形，∴MF∥DE.∴FM就是直线DE的一个方向向量．(2)∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC.又BC⊥CD，∴BC⊥平面PCD.∵DE平面PCD，∴DE⊥BC.又PD＝CD，E为PC中点，∴DE⊥PC.从而DE⊥平面PBC.∴DE是平面PBC的一个法向量．由(1)可知FM＝ED，∴FM就是平面PBC的一个法向量．[一点通]直线的方向向量有无数个，它们之间互相平行；平面的法向量也有无数个，它们之间也都互相平行且都垂直于平面．而过空间某点作直线的方向向量或平面的法向量时，可利用线面平行及线面垂直等相关知识，在该点处作出直线的平行线或平面的垂线即可．6．直线的方向向量是()A．唯一的B．相等的C．平行的D．相反的解析：与直线平行的任何非零向量都是直线的方向向量．答案：C7．下列说法中不正确的是()A．平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量B．一个平面的所有法向量互相平行C．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直D．如果a，b与平面α共面且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一个法向量解析：A，B，C正确，而D中，若a∥b，虽然n⊥a，n⊥b，但n不一定是平面的法向量．答案：D8．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为CC1中点．(1)试以E点为起点作直线AD1的方向向量；(2)试以B1点为起点作平面ABC1D1的法向量．解：(1)如图所示，取BC中点F，连EF，BC1，则EF∥BC1.又AD1∥BC1.∴EF∥AD1，∴EF为直线AD1的方向向量．(2)连B1C，则B1C⊥BC1.又AB⊥面BCC1B1，∴AB⊥B1C.∴B1C⊥面ABC1D1.BC为平面ABC1D1的法向量．∴11．空间向量是平面向量概念的拓展，也只有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，它的起点可以是空间内的任意一点，只要保证它的大小和方向不改变．它是可以自由平移的，与起点无关．数量可以比较大小，但向量不可以比较大小，向量的模是个非负实数，可以比较大小．2．由向量相等的定义可以知道，对于一个向量，只要大小和方向分别相同，那它们就是相等向量，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．3．平行向量的方向不一定相同，表示共线向量的有向线段也不一定在同一条直线上．[对应课时跟踪训练五1．空间向量中，下列说法正确的是()A．如果两个向量的长度相等，那么这两个向量相等B．如果两个向量平行，那么这两个向量的方向相同C．如果两个向量平行，并且它们的模相等，那么这两个向量相等D．同向且等长的有向线段表示同一向量解析：只有两个向量方向相同且长度相等，才能为相等向量．故D正确．答案：D2．下列说法中正确的是()A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反B．若a是b的相反向量，则|a|＝|b|C．如果两个向量平行，则这两向量相等D．在四边形ABCD中，AB＝DC解析：模相等的两向量，方向不一定相同或相反；相反向量模相等，方向相反；平行向量并不一定相等；若AB＝DC，则四边形ABCD是平行四边形．答案：B3．在四边形ABCD中，若AB＝DC，且|AC|＝|BD|，则四边形ABCD为()A．菱形B．矩形C．正方形D．不确定解析：若AB＝DC，则AB＝DC，且AB∥DC，∴四边形ABCD为平行四边形，又|AC|＝|BD|，即AC＝BD，∴四边形ABCD为矩形．答案：B4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ACC1A1的法向量是()A．BDB．1BCC．1BDD．1AB解析：∵BD⊥AC，BD⊥AA1，∴BD⊥面ACC1A1，故BD为平面ACC1A1的法向量．答案：A5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，以A1为起点，以正方体的其余顶点为终点的向量中，与向量1BC垂直的向量有________．解析：A1B1⊥面BCC1B1，∴1AB⊥1BC；A1D⊥AD1，而AD1∥BC1，∴1AD⊥1BC.答案：1AB1AD6．如图正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是AB，AD，BC，CC1的中点，则〈EF，GH〉＝________.解析：连接DB，BC1，DC1，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，△BDC1为等边三角形．∵E，F，G，H分别是AB，AD，BC，CC1的中点，∴EF∥BD，GH∥BC1.∴〈EF，GH〉＝〈BD，1BC〉＝60°.答案：60°7.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1顶点为起点或终点的向量中：(1)写出与1BB相等的向量；(2)写出与BA相反的向量；(3)写出与BA平行的向量．解：(1)1CC，1DD，1AA.(2)DC，11DC，1AB，AB.(3)AB，CD，DC，11DC，11CD，1AB，11BA.8．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，1AB＝a，11AD＝b，1AA＝c，E，F，G，H，P，Q分别是AB，BC，CC1，C1D1，D1A1，A1A的中点，求〈PQ，EF〉，〈PQ，GH〉，〈GH，FE〉．解：由题意知，六边形EFGHPQ为正六边形，所以〈PQ，EF〉＝∠HPQ＝2π3；〈PQ，GH〉＝∠FGH＝2π3；〈GH，FE〉等于∠QEF的补