【绿色通道】高三数学一轮复习 第2章函数、导数及其应用检测 文 新人教A版

【绿色通道】高三数学一轮复习第2章函数、导数及其应用检测文新人教A版单元质量检测(二)一、选择题1．已知集合A＝{(x，y)|y＝x2，x∈R}，B＝{(x，y)|y＝x，x∈R}，则集合A∩B中的元素个数为()A．0B．1C．2D．无穷解析：∵集合中表示的元素为点，元素分别在抛物线y＝x2及直线y＝x上，而直线y＝x与抛物线y＝x2有两个交点，∴A∩B中元素的个数为2.答案：C2．函数f(x)＝1x－x的图象关于()A．y轴对称B．直线y＝－x对称C．坐标原点对称D．直线y＝x对称解析：∵f(x)＝1x－x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(－x)＝1－x－(－x)＝－(1x－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，因此，f(x)＝1x－x的图象关于坐标原点对称．答案：C3．设a＝20.3，b＝0.32，c＝logx(x2＋0.3)(x1)，则a，b，c的大小关系是()A．a解析：∵a＝20.3＝1，∵x1，∴c＝logx(x2＋0.3)logxx2＝2，∴cab.答案：B4．函数f(x)＝lgx23的大致图象是()解析：∵f(x)＝lgx23＝lg3x2是偶函数，∴A、B不正确．又∵当x0时，f(x)为增函数，∴D不正确．答案：C5．设函数f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)，则f′(x)＝0有()A．分别位于(1,2)，(2,3)，(3,4)内三个根B．四个实根xi＝i(i＝1,2,3,4)C．分别位于(0,1)，(1,2)，(2,3)，(3,4)内四个根D．分别位于(0,1)，(1,2)，(2,3)内三个根解析：用数轴穿根法画出f(x)的图象，如右图：根据导函数的值与原函数的单调性之间的关系可知A选项正确．答案：A6．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()A.94e2B．2e2C．e2D.e22解析：y′＝ex，y′|x＝2＝e2＝k，∴切线为y－e2＝e2(x－2)，y＝e2x－e2的图象与坐标轴围成的图形如右图所示．∵|OA|＝1，|OB|＝e2，∴S△AOB＝12×e2×1＝e22.答案：D7．已知x≥0，y≥0，x＋3y＝9，则x2y的最大值为()A．36B．18C．25D．42解析：由x＋3y＝9，得y＝3－x3≥0，∴0≤x≤9.将y＝3－x3，代入u＝x2y，得u＝x2(3－x3)＝－x33＋3x2.u′＝－x2＋6x＝－x(x－6)．令u′＝0，得x＝6或x＝0.当0又x＝0时，u＝0，当x＝9时，u＝0.∴x＝6时，u＝x2y取最大值36.答案：A8．函数f(x)的图象如下图所示，下列数值排序正确的是()A．0B．0C．0D．0解析：f′(2)、f′(3)为x分别为2、3时对应图象上点的切线斜率，f(3)－f(2)＝f(3)－f(2)3－2，∴f(3)－f(2)为图象上x为2和3对应两点连线的斜率，所以选B.答案：B9．已知函数f(x)＝12x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是()A．m≥32B．m32C．m≤32D．m解析：因为函数f(x)＝12x4－2x3＋3m，所以f′(x)＝2x3－6x2，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝3，经检验知x＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f(3)＝3m－272，不等式f(x)＋9≥0恒成立，即f(x)≥－9恒成立，所以3m－272≥－9，解得m≥32.答案：A10．已知定义在R上的函数y＝f(x)满足下列三个条件：①对于任意的x∈R都有f(x＋4)＝f(x)；②对于任意的0≤x1()A．f(6.5)f(5)f(15.5)B．f(5)f(6.5)f(15.5)C．f(5)D．f(15.5)f(5)f(6.5)解析：由①知f(x)是周期函数，周期T＝4，∴f(5)＝f(1)，又∵y＝f(x＋2)的图象关于y轴对称，即y＝f(x＋2)为偶函数，∴f(－x＋2)＝f(x＋2)，∴f(6.5)＝f(2.5)＝f(2＋0.5)＝f(2－0.5)＝f(1.5)，f(15.5)＝f(12＋3.5)＝f(3.5)＝f(2＋1.5)＝f(2－1.5)＝f(0.5)，又∵对于任意0≤x111．设f(x)＝xe－2＋x2，g(x)＝exx，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，若有f(x1)k≤g(x2)k＋1恒成立，则正数k的取值范围是()A．(0,1)B．(0，＋∞)C．[1，＋∞)D.??????12e2－1，＋∞解析：f(x)＝1x＋1e2x，∴x＝e－1时，f(x)最大．g′(x)＝ex·x－exx2＝ex(x－1)x2.∴x＝1为g(x)在(0，＋∞)上的极小值点，也是最小值点．由题意知，f(e－1)k≤g(1)k＋1，即e2k≤ek＋1.∴k≥1.答案：C12．定义在R上的可导函数f(x)，已知y＝ef′(x)的图象如下图所示，则y＝f(x)的增区间是()A．(－∞，1)B．(－∞，2)C．(0,1)D．(1,2)解析：由题意知，x∈(－∞，2)时，y≥1.即f′(x)≥0，x∈(2，＋∞)时，y≤1，即f′(x)13．在弹性限度内，弹簧所受的压缩力F与缩短的距离l按胡克定律F＝kl计算．今有一弹簧原长90cm，每压缩1cm需0.049N的压缩力，若把这根弹簧从80cm压缩至60cm(在弹性限度内)，则外力克服弹簧的弹力做了多少功________．解析：由F＝kl，得0.049＝0.01k.解之得k＝4.9.所做的功为W＝??0.60.84.9ldl＝4.9×l22|0.80.6＝0.686J.答案：0.686J14．设f(x)是连续偶函数，且当x0时f(x)是单调函数，则满足f(x)＝f(x＋3x＋4)的所有x之和为________．解析：∵f(x)为偶函数且在x0时单调∴f(x)＝f(x＋3x＋4)?|x|＝|x＋3x＋4|∴x2＋3x－3＝0①或x2＋5x＋3＝0②由方程①的两根之和为－3，方程②的两根之和为－5，故满足f(x)＝f(x＋3x＋4)的所有x之和为－8.答案：－815．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝3x2＋2xf′(2)，则f′(5)＝________.解析：f′(x)＝6x＋2f′(2)，∴f′(2)＝12＋2f′(2)．∴f′(2)＝－12.∴f′(5)＝30－24＝6.答案：616．规定[x]表示不超过x的最大整数，例如[2,3]＝2，[－2.7]＝－3，函数y＝[x]的图象与函数y＝ax的图象在[0,2021)内有2021个交点，则a的取值范围是________．解析：依题意y＝[x]＝?????0(0≤x……2021(2021≤x＝i(i≤x画出y＝[x]及y＝ax的图象，从图象中可以看出，使两函数在[0,2021)内有2021个交点需202120212021，1]三、解答题17．已知函数f(x)＝(13)x，x∈[－1,1]，函数g(x)＝f2(x)－2af(x)＋3的最小值为h(a)，求h(a)．解：∵x∈[－1,1]∴(13)x∈[13，3]．设t＝(13)x，t∈[13，3]．则φ(t)＝t2－2at＋3＝(t－a)2＋3－a2，当a当13≤a≤3时，g(x)min＝h(a)＝φ(a)＝3－a2；当a3时，g(x)min＝h(a)＝φ(3)＝12－6a.∴h(a)＝?????289－2a3(a3)3－a2(13≤a≤3)12－6a(a3).18．设a0，函数f(x)＝ax＋bx2＋1，b为常数．(1)证明：函数f(x)的极大值点和极小值点各有一个；(2)若函数f(x)的极大值为1，极小值为－1，试求a的值．(1)证明：f′(x)＝－ax2－2bx＋ax2＋2，令f′(x)＝0，得ax2＋2bx－a＝0(*)∵Δ＝4b2＋4a20，∴方程(*)有两个不相等的实根，记为x1，x2(x1则f′(x)＝－ax－x1x－x2x2＋2，(2)解：由(1)得?????fx1＝ax1＋bx21＋1＝－1fx2＝ax2＋bx22＋1＝1，即?????ax1＋b＝－x21－1①ax2＋b＝x22＋1②两式相加，得a(x1＋x2)＋2b＝x22－x21.∵x1＋x2＝－2ba，∴x22－x21＝0，即(x2＋x1)(x2－x1)＝0，又x1∴a(x2－1)＝0，得x1＝－1，x2＝1，由②得a＝2.19．已知函数f(x)对任意实数x，y均有f(x)＋f(y)＝2f(x＋y2)f(x－y2)，f(0)≠0，且存在非零常数c，使f(c)＝0.(1)求f(0)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明；(3)求证f(x)是周期函数，并求出f(x)的一个周期．解：(1)∵任意x，y∈R均有f(x)＋f(y)＝2f(x＋y2)f(x－y2)，令x＝y＝0，∴2f(0)＝2f(0)·f(0)，∵f(0)≠0，∴f(0)＝1.(2)令y＝－x，∴f(x)＋f(－x)＝2f(0)f(x)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(3)∵f(2c＋x)＋f(x)＝2f(2c＋2x2)·f(2c2)，∵f(c)＝0，∴f(2c＋x)＋f(x)＝0，即f(2c＋x)＝－f(x)，∴f(x)＝－f(2c＋x)＝－[－f(2c＋(2c＋x))]＝f(4c＋x)，∴f(x)的周期为4c.20．某森林出现火灾，火势正以每分钟100m2的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防员前去，在火灾发生后五分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火50m2，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁1m2森林损失费为60元，问应该派多少消防队员前去救火，才能使总损失最少？解：设派x名消防员前去救火，用t分钟将火扑灭，总损失为y元，则t＝5×10050x－100＝10x－2，y＝灭火材料、劳务津贴＋车辆、器械、装备费＋森林损失费＝125tx＋100x＋60(500＋100t)＝125x·10x－2＋100x＋30000＋60000x－2解法一：y＝1250·x－2＋2x－2＋100(x－2＋2)＋30000＋60000x－2＝31450＋100(x－2)＋62500x－2≥31450＋2100×62500＝36450，当且仅当100(x－2)＝62500x－2，即x＝27时，y有最小值36450，.故应该派27名消防员前去救火，才能使总损失最少，最少损失为36450元．解法二：y′＝1250(x－2－x)(x－2)2＋100－60000(x－2)2＝100－62500(x－2)2，令100－62500(x－2)2＝0，解得x＝27或x＝－23(舍)．当x∴x＝27时，y取最小值，最小值为36450元，故应该派27名消防员前去救火，才能使总损失最少，最少损失为36450元．21．已知函数f(x)＝ax＋1x2(x≠0，常数a∈R)．(1)讨论常数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f(x)在x∈[3，＋∞)上为增函数，求a的取值范围．解：(1)定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称；当a＝0时，f(x)＝1x2，满足对定义域上任意x，f(－x)＝f(x)，∴a＝0时，f(x)是偶函数；当a≠0时，f(1)＝a＋1，f(－1)＝1－a，若f(x)为偶函数，则a＋1＝1－a，a＝0矛盾，若f(x)为奇函数，则1－a＝－(a＋1),1＝－1矛盾，∴当a≠0时，f(x)是非奇非偶函数．(2)任取x1x2≥3，f(x1)－f(x2)＝ax1＋1x21－ax2－1x22＝a(x1－x2)＋x22－x21x1x2＝(x1－x2)(a－x1＋x2x21x22)，∵x1－x20，f(x)在[3，＋∞)上为增函数，∴ax1＋x2x21x22，即a1x1x22＋1x21x2在[3，＋∞)上恒成立，∵1x1x22＋1x21x2227，∴a≥227.22．设函数f(x)＝1xlnx(x0且x≠1)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)已知21x