上海市2021届高三上学期期末考试数学试题(精品解析)

上海市2021届高三上学期期末考试数学试题(精品解析)2021年上海市闵行区七宝中学高考数学一模试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.设集合P1={x|x2+ax+1＞0}，P2={x|x2+ax+2＞0}，其中a∈R，下列说法正确的是（）A.对任意a，P1是P2的子集B.对任意a，P1不是P2的子集C.存在a，使得P1不是P2的子集D.存在a，使得P2是P1的子集【答案】A【解析】解：由x2+ax+1＞0，则有x2+ax+2=x2+ax+1+1＞0+1＞0，由x2+ax+2＞0，则有x2+ax+1=x2+ax+2-1＞-1，不能推出x2+ax+1＞0，即P1?P2，故选：A．由不等式的性质得：由x2+ax+1＞0，则有x2+ax+2=x2+ax+1+1＞0+1＞0，由x2+ax+2＞0，不能推出x2+ax+1＞0，由集合间的关系得：P1?P2，得解．本题考查了集合间的关系，不等式的性质，属简单题．2.△ABC中，a2：b2=tanA：tanB，则△ABC一定是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形【答案】D【解析】解：∵a2：b2=tanA：tanB，由正弦定理可得，==∵sinAsinB≠0∴∴sinAcosA=sinBcosB即sin2A=sin2B∴2A=2B或2A+2B=π∴A=B或A+B=，即三角形为等腰或直角三角形故选：D．由已知a2：b2=tanA：tanB，利用正弦定理及同角基本关系对式子进行化简，然后结合二倍角公式在进行化简即可判断本题考查同角三角函数的基本关系，正弦定理的应用，式子变形是解题的关键和难点．3.抛物线y=2x2上有一动弦AB，中点为M，且弦AB的长度为3，则点M的纵坐标的最小值为（）A.B.C.D.1【答案】A【解析】解：设直线AB的方程为y=kx+b，联立，化为2x2-kx-b=0，由题意可得△=k2+8b＞0．∴x1+x2=，x1x2=-．∵|AB|=×=3，1AB中点M的纵坐标=x=+b==．故选：A．设直线AB的方程为y=kx+b，与抛物线方程联立得到△＞0即根与系数的关系，再利用中点坐标公式和基本不等式即可得出．熟练掌握抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为与抛物线方程联立得到△＞0，即根与系数的关系、中点坐标公式和基本不等式等是解题的关键．4.已知正数数列{an}满足an+1≥2an+1，且an＜2n+1对n∈N*恒成立，则a1的范围为（）A.[1，3]B.（1，3）C.（0，3]D.（0，4）【答案】C【解析】解：正数数列{an}满足an+1≥2an+1，可得1+an+1≥2（an+1），设bn=1+an，（an＞0，bn＞1）即有b2≥2b1，b3≥2b2，…，bn≥2bn-1，累乘可得bn≥b1?2n-1，可得1+an≥（1+a1）?2n-1，又an＜2n+1对n∈N*恒成立，可得1+2n+1＞1+an≥（1+a1）?2n-1，即有1+2n+1＞（1+a1）?2n-1，可得a1＜3+恒成立，由3+＞3，可得0＜a1≤3．故选：C．由条件可得1+an+1≥2（an+1），设bn=1+an，（an＞0，bn＞1），运用累乘法，结合不等式恒成立，即可得到所求范围．本题考查数列的递推式，注意累乘法的运用，考查等比数列的通项公式，考查不等式的性质和恒成立思想，属于中档题．二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.设A={x||x|≤2021，x∈R}，B={x|y=，x∈R}，则A∩B=______．【答案】?【解析】解：A={x|-2021≤x≤2021}，B={2021}；∴A∩B=?．故答案为：?．可解出集合A，B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，绝对值不等式的解法，以及交集的运算．6.已知定义域在[-1，1]上的函数y=f（x）的值域为[-2，0]，则函数y=f（cos）的值域是______．【答案】[-2，0]【解析】解：∵cos∈[-1，1]；∴；即y∈[-2，0]；∴该函数的值域为[-2，0]．故答案为：[-2，0]．可以看出-1，从而对应的函数值，这便得出了该函数的值域．考查函数定义域、值域的概念，本题可换元求值域：令cos=t，-1≤t≤1，从而得出f（t）∈[-2，0]．7.若行列式的展开式的绝对值小于6的解集为（-1，2），则实数a等于______．【答案】4【解析】解：∵行列式的展开式的绝对值小于6的解集为（-1，2），∴|ax-2|＜6的解集为（-1，2），∴-6＜ax-2＜6，即-4＜ax＜8解集为（-1，2），解得a=4．故答案为：4．推导出|ax-2|＜6的解集为（-1，2），从而-4＜ax＜8解集为（-1，2），由此能求出a的值．本题考查实数值的求法，考查行列式展开法则、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.在（0，2π）内使sin3x＞cos3x成立的x的取值范围是______．【答案】（，）【解析】解：由题意，设f（x）=sin3x-cos3x，x∈（0，2π），∴f（x）=（sinx-cosx）（sin2x+sinxcosx+cos2x）=（sinx-cosx）（1+sin2x），又1+sin2x＞0恒成立，∴sinx-cosx＞0，即sinx＞cosx，即＜x＜时，f（x）＞0，∴（0，2π）内使sin3x＞cos3x成立的x的取值范围是（，）．故答案为：（，）．设f（x）=sin3x-cos3x，x∈（0，2π），化f（x）=（sinx-cosx）（1+sin2x），判断sinx-cosx＞0时（x）＞0，由此求出不等式成立的x的取值范围．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了转化应用问题，是中档题．9.在等差数列{an}中，S7=8，则a4=______．【答案】【解析】解：在等差数列{an}中，由S7=，得．故答案为：．由等差数列的性质及前n项和列式求解．3本题考查等差数列的前n项和，考查等差数列的性质，是基础题．10.已知f（x+1）=2x-2，那么f-1（2）的值是______．【答案】3【解析】解：令t=x+1则x=t-1所以f（t）=2t-1-2所以f（x）=2x-1-2令f（x）=2x-1-2=2，解得x=3∴f-1（2）=3故答案为：3．令t=x+1，将已知等式中的x一律换为t，求出f（t）即得到f（x），然后令f（x）=2x-1-2=2，求出相应的x，即为f-1（2）的值．已知f（ax+b）的解析式，求f（x）的解析式，一般用换元的方法或配凑的方法，换元时，注意新变量的范围，同时考查了反函数求值，属于基础题．11.甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，已知甲、乙相邻，则甲、丙相邻的概率为______．【答案】【解析】解：甲、乙相邻的方法有=12种情况，如果满足甲、丙相邻，则有=4种情况，所以所求的概率为P==．故答案为：．4人排成一排，其中甲、乙相邻的情况有12种，其中甲丙相邻的只有4种，由此能求出甲乙相邻，则甲丙相邻的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．12.若P（x，y）是双曲线上的动点，则|x-y|最小值是______．【答案】2【解析】解：P（x，y）是双曲线上的动点，设：x=，y=2tanθ，所以|x-y|=|-2tanθ|==，表达式的几何意义是单位圆上的点与（0，）距离的2倍，可得：∈[2，2+2]，故答案为：22．利用双曲线方程，通过三角代换转化求解x，y，然后求解|x-y|的最小值．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．13.设点P到平面α的距离为，点Q在平面α上，使得直线PQ与平面α所成角不小于30°且不大于60°，则这样的PQ所构成的区域体积为______．【答案】【解析】解：如图，过P作PO⊥α，则PO=，当∠PQO=60°时，OQ=1，当∠PQO=30°时，OQ=3．∴PQ所构成的区域体积为V=．故答案为：．由题意画出图形，分别求出两个圆锥的半径，代入圆锥体积公式作差即可．本题考查圆锥体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．14.已知AB为单位圆上弦长为的弦，P为单位圆上的点，若f（λ）=||的最小值为m（其中λ∈R），当点P在单位圆上运动时，则m的最大值为______．【答案】【解析】解：设λ=，则f（λ）=||=|-|=||，又C点在直线AB上，要求f（λ）最小值，等价为求出||的最小值，显然当CP⊥AB时，CP最小，可得f（λ）的最小值m为点P到AB的距离，∵|AB|=，∴|BC|=，则|OC|===，则|CP|=|OP|+|OC|=1+=，即m的最大值为，故答案为：．设λ=，根据向量减法的运算法则，转化为点到直线的距离，利用直线和圆相交时的垂径定理结合勾股定理进行求解即可．本题考查向量共线定理的运用，以及圆的垂径定理和勾股定理的运用，利用向量的基本运算结合数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．15.已知函数f（a，x）=sinx+cosx随着a，x在定义域内变化时，该函数的最大值为______【答案】2【解析】解：函数f（a，x）=sinx+cosx=sin（x+θ）（θ为辅助角），5即有f（a，x）≤（sin（x+θ）=1取得等号），由柯西不等式可得（+）2≤（1+1）（a+1-a）=2，当且仅当a=时，取得等号，即有+≤，即f（a，x）的最大值为2．故答案为：2．运用辅助角公式和正弦函数的值域可得f（a，x）≤，再由柯西不等式，计算可得所求最大值．本题考查函数的最值求法，注意运用辅助角公式和正弦函数的值域，以及柯西不等式，考查运算能力，属于中档题．16.已知定义在R+上的函数f（x）=，设a，b，c为三个互不相同的实数，满足，f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围为______．【答案】（81，144）【解析】解：作出f（x）的图象如图：当x＞9时，由f（x）=4-=0，得x=16，若a，b，c互不相等，不妨设a＜b＜c，因为f（a）=f（b）=f（c），所以由图象可知0＜a＜3＜b＜9，9＜c＜16，由f（a）=f（b），得1-log3a=log3b-1，即log3a+log3b=2，即log3（ab）=2，则ab=9，所以abc=9c，因为9＜c＜16，所以81＜9c＜144，即81＜abc＜144，所以abc的取值范围是（81，144）．故答案为：（81，144）．先判断函数的性质以及图象的特点，设a＜b＜c，由图象得ab是个定值，利用数形结合的思想去解决即可．本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合得到ab是个常数是解决本题的关键．综合考查学生的推理能力．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.在长方体ABCD-A1B1C1D1中（如图），AD=AA1=1，AB=2，点E是棱AB的中点．（1）求异面直线AD1与EC所成角的大小；（2）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，试问四面体D1CDE是否为鳖臑？并说明理由．【答案】解：（1）取CD中点F，连接AF，则AF∥EC，∴∠D1AF为异面直线AD1与EC所成角．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，由AD=AA1=1，AB=2，得，AF=，，∴△AD1F为等边三角形，则．∴异面直线AD1与EC所成角的大小为；（2）连接DE，∵E为AB的中点，∴DE=EC=，又CD=2，∴DE2+CE2=DC2，得DE⊥CE．∵D1D⊥底面DEC，则D1D⊥CE，∴CE⊥平面D1DE，得D1E⊥CE．∴四面体D1CDE的四个面都是直角三角形，故四面体D1CDE是鳖臑．【解析】（1）取CD中点F，连接AF，则AF∥EC，即∠D1AF为异面直线AD1与EC所成角，解三角形可得△AD1F为等边三角形，从而得到异面直线AD1与EC所成角的大小；（2）证明DE⊥CE，进一步得到D1E⊥CE，可知四面体D1CDE是鳖臑．本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中直线与直线，直线与平面位置关系的判