中考数学压轴题：“动点产生的平行四边形问题”训练及解析

中考数学压轴题：“动点产生的平行四边形问题”训练及解析中考数学压轴题：“动点产生的平行四边形问题”训练及解析先思考三个问题：1．已知A、B、C三点，以A、B、C、D为顶点的平行四边形有几个，怎么画？2．在坐标平面内，如何理解平行四边形ABCD的对边AB与DC平行且相等？3．在坐标平面内，如何理解平行四边形ABCD的对角线互相平分？图1图2图3如图1，过△ABC的每个顶点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生三个点D．如图2，已知A(0,3)，B(－2,0)，C(3,1)，如果四边形ABCD是平行四边形，怎样求点D的坐标呢？点B先向右平移2个单位，再向上平移3个单位与点A重合，因为BA与CD平行且相等，所以点C(3,1)先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到点D(5,4)．如图3，如果平行四边形ABCD的对角线交于点G，那么过点G画任意一条直线（一般与坐标轴垂直），点A、C到这条直线的距离相等，点B、D到这条直线的距离相等．关系式xA＋xC＝xB＋xD和yA＋yC＝yB＋yD有时候用起来很方便．我们再来说说压轴题常常要用到的数形结合．如图4，点A是抛物线y＝－x2＋2x＋3在x轴上方的一个动点，AB⊥x轴于点B，线段AB交直线y＝x－1于点C，那么点A的坐标可以表示为(x,－x2＋2x＋3)，点C的坐标可以表示为(x,x－1)，线段AB的长可以用点A的纵坐标表示为AB＝yA＝－x2＋2x＋3，线段AC的长可以用A、C两点的纵坐标图4表示为AC＝yA－yC＝(－x2＋2x＋3)－(x－1)＝－x2＋x＋2．通俗地说，数形结合就是：点在图象上，可以用图象的解析式表示点的坐标，用点的坐标表示点到坐标轴的距离．例242021年湖南省岳阳市中考第24题如图1，抛物线经过A(1,0)、B(5,0)、C10(0,)3三点．设点E(x,y)是抛物线上一动点，且在x轴下方，四边形OEBF是以OB为对角线的平行四边形．（1）求抛物线的解析式；（2）当点E(x,y)运动时，试求平行四边形OEBF的面积S与x之间的函数关系式，并求出面积S的最大值；（3）是否存在这样的点E，使平行四边形OEBF为正方形？若存在，求点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“14岳阳24”，拖动点E运动，可以体验到，当点E运动到抛物线的顶点时，S最大．当点E运动到OB的垂直平分线上时，四边形OEBF恰好是正方形．思路点拨1．平行四边形OEBF的面积等于△OEB面积的2倍．2．第（3）题探究正方形OEBF，先确定点E在OB的垂直平分线上，再验证EO＝EB．图文解析（1）因为抛物线与x轴交于A(1,0)、B(5,0)两点，设y＝a(x－1)(x－5)．代入点C10(0,)3，得1053a=．解得23a=．所以抛物线的解析式为22210(1)(5)4333yxxxx=--=-+．（2）因为S＝S平行四边形OEBF＝2S△OBE＝OB·(－yE)＝22105(4)33xx--+＝210(65)3xx--+＝21040(3)33x--+．所以当x＝3时，S取得最大值，最大值为403．此时点E是抛物线的顶点（如图2）．（3）如果平行四边形OEBF是正方形，那么点E在OB的垂直平分线上，且EO＝EB．当x＝52时，22355(1)(5)()33222yxx=--=??-=-．此时E55(,)22-．如图3，设EF与OB交于点D，恰好OB＝2DE．所以△OEB是等腰直角三角形．所以平行四边形OEBF是正方形．所以当平行四边形OEBF是正方形时，E55(,)22-、F55(,)22．图2图3考点伸展既然第（3）题正方形OEBF是存在的，命题人为什么不让探究矩形OEBF有几个呢？如图4，如果平行四边形OEBF为矩形，那么∠OEB＝90°．根据EH2＝HO·HB，列方程22(1)(5)(5)3xxxx??---=-????．或者由DE＝12OB＝52，根据DE2＝254，列方程225225()(1)(5)234xxx??-+---=????．这两个方程整理以后都是一元三次方程4x3－28x2＋53x－20＝0，这个方程对于初中毕业的水平是不好解的．事实上，这个方程可以因式分解，51(4)()()022xxx---=．如图3，x＝52；如图4，x＝4；如图5，x＝12，但此时点E在x轴上方了．这个方程我们也可以用待定系数法解：设方程的三个根是52、m、n，那么4x3－28x2＋53x－20＝54()()()2xxmxn---．根据恒等式对应项的系数相等，得方程组441028,1010453,1020.mnmnmnmn++=??++=??=?解得4,1.2mn=???=??图4图5例252021年湖南省益阳市中考第20题如图1，直线y＝－3x＋3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y＝a(x－2)2＋k经过A、B两点，并与x轴交于另一点C，其顶点为P．（1）求a，k的值；（2）抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求点Q的坐标；（3）在抛物线及其对称轴上分别取点M、N，使以A、C、M、N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．】图1动感体验请打开几何画板文件名“14益阳20”，可以体验到，点Q在线段AB的垂直平分线上．还可以体验到，正方形的对角线为AC，有一个顶点恰为抛物线的顶点．思路点拨1．第（2）题的等腰三角形只考虑QA＝QB的情形．2．第（3）题的正方形不可能AC为边，只存在AC为对角线的情形．图文解析（1）由y＝－3x＋3，得A(1,0)，B(0,3)．将A(1,0)、B(0,3)分别代入y＝a(x－2)2＋k，得0,43.akak+=??+=?解得a＝1，k＝－1．（2）如图2，抛物线的对称轴为直线x＝2，设点Q的坐标为(2,m)．已知A(1,0)、B(0,3)，根据QA2＝QB2，列方程12＋m2＝22＋(m－3)2．解得m＝2．所以Q(2,2)．（3）点A(1,0)关于直线x＝2的对称点为C(3,0)，AC＝2．如图3，如果AC为正方形的边，那么点M、N都不在抛物线或对称轴上．如图4，当AC为正方形的对角线时，M、N中恰好有一个点是抛物线的顶点(2,－1)．因为对角线AC＝2．