二次函数压轴题等腰三角形存在性-直角三角形存在性

二次函数压轴题等腰三角形存在性-直角三角形存在性中考数学压轴题一、等腰三角形存在性1解题思想：分类讨论2解题技巧：坐标系内线段长度表示（1）线段在坐标轴上或平行于坐标轴在x轴或平行于x轴：x右-x左在y轴或平行于y轴：y上-y下（2）线段为倾斜（斜线段）A（XA,YA）B（XB,YB）C（XC,YC）由勾股定理得：AB2=AC2=BC2=3解题方法（1）代数法：（1）根据条件用坐标表示三边或三边的平方（2）分三种情况列方程，解方程（3）根据题目条件及方程解确定坐标（注意重根）（2）几何法：（1）先分三种情况A为顶点，B为顶点，C为顶点（2）画图，作圆法，垂直平分线法（3）计算：以两定点为腰则腰长已知，先求出腰长进行几何构造，注意不要漏解，以两定点为底则利用腰相等建立方程求解（表示腰长可结合代数法）。例1.如图，已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标．代数法：几何法：例2如图△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D、E分别是边AB、AC上的两个动点（D不与A、B重合），且保持DE∥BC，以ED为边，在点A的异侧作正方形DEFG．（1）试求△ABC的面积；（2）当边FG与BC重合时，求正方形DEFG的边长；（3）设AD=x，当△BDG是等腰三角形时，求出AD的长．只能选择几何法1先分析三种情况2根据已知表示三边长度（相似）3列方程计算同步练习：1．如图，抛物线254yaxax=-+经过ABC△的三个顶点，已知BCx∥轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC．（1）写出A,B,C三点的坐标并求抛物线的解析式；（2）探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在PAB△是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由．2.如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．ACByx011（1）求点B的坐标；（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．3.（2021?临沂第26题）如图，在平面直角坐标系中，直线y=—2x+10与x轴、y轴相交于A、B两点.点C的坐标是（8,4），连接AC、BC.（1）求过O、A、C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动.规定其中一个点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.设运动时间为t秒，当t为何值时，PA=QA？（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。二、直角三角形存在性解题方法（1）代数法：（1）根据条件用坐标表示三边或三边的平方（2）以直角顶点分三种情况，根据勾股定理列方程，解方程（3）根据题目条件及方程解确定坐标（2）几何法：（1）先分三种情况进行构造：若已知边做直角边，过直角边的两端点作垂线，则第三个顶点在垂线上，若已知边为斜边，可取斜边为直径作圆，直角顶点在圆上（2）计算：注意题目的几何背景，如有直接的相似则表示线段长度，进行相似求解，无直接相似则围绕顶点分别做坐标轴的平行线，构造一线三角模型进行相似求解。例1.（2021?枣庄）如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴的另一个交点为B.设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．代数法：几何法：例2.如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；代数法：几何法：2、如图，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线y=x2交于A，B两点，其中点A的横坐标是﹣2．(1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标．(2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．3.如图，在平面直角坐标系中，直线123yx=-+交x轴于点P，交y轴于点A，抛物线212yxbxc=-++的图象过点(1,0)E-，并与直线相交于A、B两点.⑴求抛物线的解析式（关系式）；⑵过点A作ACAB⊥交x轴于点C，求点C的坐标；⑶除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得MAB?是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由.4.如图，在平面直角坐标系中，直线33yx=--与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线223(0)yaxxca=-+≠经过ABC，，三点．（1）求过ABC，，三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标；（2）在抛物线上是否存在点P，使ABP△为直角三角形，若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由；5.（2021?甘肃）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（3，0），B（0，3）两点．（1）求此抛物线的解析式和直线AB的解析式；（2）如图①，动点E从O点出发，沿着OA方向以1个单位/秒的速度向终点A匀速运动，同时，动点F从A点出发，沿着AB方向以个单位/秒的速度向终点B匀速运动，当E，F中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动，连接EF，设运动时间为t秒，当t为何值时，△AEF为直角三角形？AOxyBFC