关于线性变换的可对角化问题 毕业论文

关于线性变换的可对角化问题毕业论文本科毕业论文（设计）题目：关于线性变换的可对角化问题学生：学号:学院：专业:入学时间：年月日指导教师：职称:完成日期：年月日诚信承诺我谨在此承诺：本人所写的毕业论文《关于线性变换的可对角化问题》均系本人独立完成，没有抄袭行为，凡涉及其他作者的观点和材料，均作了注释，若有不实，后果由本人承担。承诺人（签名）：年月日关于线性变换的可对角化问题摘要：线性变换可对角化问题是高等代数的重要内容.我们可以通过探讨矩阵的可对角化问题来研究线性变换的可对角化问题.本文先给出可对角化的概念;再探讨线性变换可对角化的判定以及其在高等代数中应用，并简略介绍几种特殊的可对角化问题.关键词：线性变换可对角化；特征值；特征向量；最小多项式；矩阵可对角化；实对称矩阵DiagonolizationoflineartransformationAbstract:Thediagonolizationoflineartransformation,whichcanbestudiedbythediagonalizationofmatrix,isimportantinhigheralgebra.Inthispaper,wefirstintroducetheconceptionofdiagonolization,thendiscussthedecisionofdiagonolizationoflineartransformationanditsapplicationsintheadvancedalgebra,moreover,weintroducebrieflyseveralkindsofspecialdiagonolizationproblems.Keywords:Diagonalizationoflineartransformation;Eigenvalue;Eigenvector;Minimalpolynomial;Matrixdiagonalization;Realsymmetricmatrices目录1引言(1)2可对角化的概念(1)3判定方法(1)4两个矩阵同时合同对角化(4)5几类特别的可对角化矩阵(6)6应用(6)6.1矩阵相似的判断(6)6.2方阵高次幂(7)6.3化实对称矩阵为对角形矩阵(7)6.4求特征值(8)6.5经典例题(8)7小结(9)参考文献(10)1引言我们要想研究可对角化问题,可以从它在某组基下的矩阵下手.那我们该如何研究这个问题?它的概念是什么?对角化有哪些判断方法?它们应该如何应用?下面将综合介绍一下以上问题.2可对角化的概念定义[8]设δ是n维线性空间V的一个线性变换,A为δ在某一组基下的矩阵且A与矩阵B相似，其中矩阵B是对角形矩阵，则称A可对角化,也称线性变换δ可对角化.我们把B叫做A的相似对角形矩阵.3判定方法3.1定理1[8]设n维线性空间内有一个线性变换，且A为它在某一组基下的矩阵，要是A为对角形矩阵，那么δ可对角化.例1设在三维线性空间内有一个线性变换δ，??????????=4000300031A是δ在基321,,ααα下的矩阵，由于1A为对角形矩阵，可知δ可对角化.3.2定理2[1]设δ是n维线性空间内的一个线性变换，且δ有n个线性无关的特征向量，则δ可对角化.证明“必要性”假设δ可对角化，令=),,,(21nαααδ),,,(21nααα????????????mλλλ21.即iiiαλαδ=)(，ni,2,1=；特征值为nλλλ21,，则nααα,,,21是δ的特征向量,由已学知识可知nααα,,,21是不相关的.“充分性”设有n个不相关的向量nααα,,,21，并且它们都是δ的特征向量，设iiiαλαδ=)(，其中ni,2,1=；将nααα,,,21作为线性空间中的一组基，则满足：)(,),(),((21nαδαδαδ)),,,(2211nnαλαλαλ==),,,(21nααα????????????mλλλ21.即δ在基nααα,,,21下的矩阵为对角形矩阵，从而δ可对角化.例2[2]??????????----=163222123A是δ在基321,,ααα下的矩阵，试利用定理2判断δ是否可对角化.解由于)4()2(1632221232+-=+---+--=-λλλλλλAE，A的特征值为：4,2321-===λλλ.对于221==λλ，由()02=-XAE知基础解系是：??????????-012和??????????101.由已学知识可知它们是线性无关的，故它们对应的特征向量为：2112ααε+-=,312ααε+=.对于43-=λ，由()04=-XAE知基础解系是：????????????????-13231.由已学知识可知它是线性无关的，故它对应的特征向量为：32133231αααε+-=.由以上可知δ包含三个特征向量1ε，2ε，3ε，并且它们是线性无关的.其个数刚好等于空间维数，由定理1知δ可对角化.3.2推论1[2]设δ是n维线性空间V的一个线性变换，若在数域P中δ的特征多项式包含n个互不相等的根，那么δ可对角化.例3设二维线性空间内有一个线性变换δ，??????=3102A是它在基21,αα下的矩阵，试利用推论1判断δ是否可对角化.解由3102---=-λλλAE)3)(2(--=λλ知A的特征值为3,221==λλ.因为它们是不相等的，所以特征值的个数与空间维数相等.由推论1知δ可对角化.3.3推论2[5]设n维线性空间V内有一个线性变换δ，其中δ的特征值是nλλλ,,21，并且它们是不相同的.用iiriiααα,,,21来表示iλ对应的ir个特征向量，;,,2,1ki=那么：[]1nrrri=+++21，则δ可对角化.[]2nrrri例4已知,4001300132??????????=A??????????=4000301033A，试利用推论2判断它们是否可对角化.解通过计算02=-AEλ和03=-AEλ知32,AA的特征值是相同的，它们全部为31=λ（二重），42=λ.首先讨论2A，对于31=λ（二重），由()032=-XAE知它的基础解系是：()T0,0,11=α.因为31=λ是2A的特征值而且是二重根，但只对应一个特征向量，故2A只包含2个特征向量.它的个数比空间维数要少，由推论2知2A不可对角化.最后讨论3A，对于31=λ（二重），由()033=-XAE知它的基础解系是：()()TT01000121，，和，，==εε.对于42=λ，由()043=-XAE知它的基础解系是：()T1013，，=ε；故3A有3个特征向量而且它们是线性无关的，特征向量的个数与空间维数相等，由推论2知3A可对角化.3.4定理3[7]在数域P上，设kλλλλ，，，，3,21是矩阵A的所有互不相同的特征值.如果满足()()()()0321=----EAEAEAEAkλλλλ，那么A可以对角化.例5设有一个线性变换δ，??????????----=163222123A是它在基321,,ααα下的矩阵，试利用定理3判断δ能否可对角化.解由上面例2知()()422+-=-λλλAE，故4-2与是矩阵A的所有不同特征值.又()()??????????=??????????--??????????----=+-00000000036322212736324212142EAEA.通过定理3知A可以对角化.3.5定理4[9]A是复数域上的矩阵，当矩阵A的最小多项式没有重根时，则A可以对角化.例6设一个线性变换δ，??????????----=163222123A是它在基321,,ααα下的矩阵，试利用定理4判断δ是否可对角化.解由上面例2知()()422+-=-λλλAE，则A的最小多项式有以下两种可能：()()()()42422+-+-λλλλ或.计算()()042=+-EAEA推出A的最小多项式为()()42+-λλ.通过定理4知A可对角化.4[10]两个矩阵同时合同对角化4.1定义[10]设矩阵A，BnnR?∈，若存在可逆矩阵P，使APPT和BPPT同时为对角形矩阵，则A、B可同时合同对角化.4.2[10]同时合同对角化的计算方法下面是以A为n阶实对阵正定矩阵，B为n阶实对阵矩阵为例给出计算步骤：（1）求出A的n个特征值，再求出特征向量；（2）对于每个不一样的特征值，把它们的特征向量标准正交化后通过列的形式构成n阶正交阵1P，那么()nTdiagAPPλλλ，，，2111=，令??????=ndiagPPλλλ111211，，，，则P是可逆的，同时满足APPTE=；（3）解出BPPT，再求出它的n个特征值iμ和它的n个特征向量iη；（4）对每个不同的特征值，把它们的特征向量标准正交化后通过列的形式构成n阶正交矩阵Q，则()()nTTdiagQBPPQμμμ，，，21=；（5）记PQT=，则()nTTdiagBTTEATTμμμ，，，，21==.例7设??????????=??????????=202111010202121012BA，，求可逆矩阵T将A、B可同时合同对角化.解计算0=-AEλ可知321321===λλλ，，为A的特征值.对于11=λ，由()01=-XAEλ得出它的一个特征向量为()T0111，，-=ξ；对于22=λ，由()02=-XAEλ得出它的一个特征向量为()T1002，，=ξ；对于33=λ，由()03=-XAEλ得出它的一个特征向量为()T0113，，=ξ.将其单位化得()TTT?????==?????-=021,2110002121321，，，，，，，，ααα.则正交矩阵????????????????-=01021021210211P，??????????=32111APPT.记????????????????-=????????????????=02106102161021312111PP，则??????????????-=210321010321021APPT.其特征方程为()031131=??????--??????+=-μμμμBPPET.它们的特征值为31131321==-=μμμ，，.由()01=-XBPPETμ知()T23011-=，，η是1μ的一个特征向量；由()02=-XBPPETμ知()T0102，，=η是2μ的一个特征向量；由()03=-XBPPETμ知()T23013+=，，η是3μ的一个特征向量；将其单位化，则??????????????????????++--+-=322322032223010322103221Q；于是有：()??????????????-=31131QBPPQTT.??????????????????++--+--==021032613032613326103261PQT，则T可逆，且()??????????????-====31131BTTEEQQQAPPQATTTTTTT，，故T就是合乎题意的矩阵.5几类特别的可对角化矩阵命题4.1[4]如果一个矩阵为实对称矩阵，那么该矩阵可以对角化.命题4.2[4]如果一个矩阵为对合矩阵()EA=2，那么该矩阵可以对角化.命题4.3[4]如果一个矩阵为周期矩阵)(EAm=，那么该矩阵可以对角化.命题4.4[7]如果一个矩阵为幂等矩阵()AA=2，那么该矩阵可以对角化.命题4.5[7]如果一个矩阵为循回矩阵，那么该矩阵可以对角化.命题4.6[4]如果一个矩阵为幂零矩阵)00(=≠mAA，，那么该矩阵不可以对角化.解通过计算01=-AEλ，02=-AEλ和03=-AEλ知321,,AAA的特征值相同，它们全部为31=λ（二重），42=λ；其中1A已经是对角形矩阵，所以只需判断2A，3A是否可对角化.首先讨论2A，对于31=λ（二重），由()032=-XAE知它的基础解系是：()T0,0,11=α.因为31=λ是2A的特征值而且是二重根，但只对应一个特征向量，故2A只包含2个特征向量.它的个数比空间维数要少，由推论2知2A不可对角化，则1A与2A不相似.最后讨论3A