函数单调性分析

函数单调性分析中学生数学·２０１２年３月上·第４３７期（高中）高考园地首都师范大学数学科学学院２０１０级研究生（１０００４８）龙艳君函数的单调性是高中数学中非常重要的知识点，也是每年高考必出的题．为了更加系统地了解初等函数的单调情况，下面我对函数的单调性作了一个分析．一、单调性的定义定义设ｆ为定义在Ｄ上的函数．若对任何的ｘ１，ｘ２∈Ｄ，当ｘ１＜ｘ２时，总有：（ⅰ）ｆ（ｘ１）≤ｆ（ｘ２），则称ｆ为Ｄ上的增函数，特别当成立严格不等式ｆ（ｘ１）＜ｆ（ｘ２）时，称ｆ为Ｄ上的严格增函数；（ⅱ）ｆ（ｘ１）≥ｆ（ｘ２），则称ｆ为Ｄ上的减函数，特别当成立严格不等式ｆ（ｘ１）＞ｆ（ｘ２）时，称ｆ为Ｄ上的严格减函数．增函数和减函数统称为单调函数，严格增函数和严格减函数统称为严格单调函数．利用定义是求函数单调性最初始、最基本的方法．对于某些简单函数，可以直接利用定义求得单调区间，但对于复杂一点的函数，定义法并不显得很理想．所以通常，对于基本初等函数，即最简单的函数，我们用定义求单调性．其中基本初等函数包括：常数函数ｙ＝ｃ（ｃ为常数）；幂函数ｙ＝ｘｎ（ｎ为实数）；指数函数ｙ＝ａｘ（ａ＞０，ａ≠１）；对数函数ｙ＝ｌｏｇａｘ（ａ＞０，ａ≠１）；三角函数ｙ＝ｓｉｎｘ，ｙ＝ｃｏｓｘ，ｙ＝ｔａｎｘ，ｙ＝ｃｏｔｘ．知道了基本初等函数的单调性，对于由基本初等函数复合而来的某些函数，我们可以用以下的方法判断其单调性．二、初等函数的单调性函数的四则运算：给定两个函数ｆ，ｘ∈Ｄ１和ｇ，ｘ∈Ｄ２，记Ｄ＝Ｄ１∩Ｄ２，并设Ｄ≠Φ．定义ｆ与ｇ在Ｄ上的和、差、积运算如下：Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ），ｘ∈Ｄ；Ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ），ｘ∈Ｄ；Ｈ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｇ（ｘ），ｘ∈Ｄ．若在Ｄ中剔除ｇ（ｘ）＝０的ｘ值，即令Ｄ＊＝Ｄ１∩ｘ／ｇ（ｘ）≠０，ｘ∈Ｄ｛｝２≠Φ，可在Ｄ＊上定义ｆ与ｇ的商运算如下：Ｌ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｇ（ｘ），ｘ∈Ｄ＊．函数的复合：设两函数：ｙ＝ｆ（ｕ），ｕ∈Ｄ；ｕ＝ｇ（ｘ），ｘ∈Ｅ，记Ｅ＊＝Ｅ∩ｘ／ｇ（ｘ）∈｛｝Ｄ≠Φ．定义ｙ＝ｆ（ｇ（ｘ）），ｘ∈Ｅ＊或ｙ＝（ｆｇ）（ｘ），ｘ∈Ｅ＊为ｆ和ｇ的复合函数．把由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算得到的函数，统称为初等函数．因为初等函数是经过基本初等函数有限次运算而得到的，那么基本初等函数的单调性对初等函数有什么影响呢？通过验算，我们发现对于满足一定条件的初等函数，可以根据函数单调性定义和不等式性质，得到以下结论（以下只介绍两个函数的运算）：（１）函数ｆ（ｘ）与函数ｆ（ｘ）＋ｃ（ｃ是常数）的单调性相同．（２）如果ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）的单调性相同，那么ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）也单调，且与它们相同．（３）如果ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）的单调性相反，那么ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）也单调，单调性与被减函数单调性相同．（４）函数ｆ（ｘ）与函数ｃｆ（ｘ）（ｃ是常数），当ｃ＞０时，它们的单调性相同；当ｃ＜０时，它们的单调性相反．（５）如果非负函数ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）单调性相同，那么ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）与它们单调性相同；如果非正函数ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）单调性相同，那么ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）与它们单调性相反；非负递增函数和非正递减函数的积单调递减；非负递减函数和非正递增函数的积单调递增．（６）如果非负函数ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）单调性相高考园地反，那么ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）的单调性与ｆ（ｘ）相同；如果非正函数ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）单调性相反，那么ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）的单调性与ｇ（ｘ）相同；如果ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）单调递增，那么ｆ（ｘ）≥０，ｇ（ｘ）≤０时ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）单调递减，ｆ（ｘ）≤０，ｇ（ｘ）≥０时ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）单调递增；如果ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）单调递减，那么ｆ（ｘ）≥０，ｇ（ｘ）≤０时ｆ（ｘ）ｇｘ单调递增，ｆ（ｘ）≤０，ｇ（ｘ）≥０时ｆ（ｘ）ｇｘ单调递减．（７）函数ｆ（ｘ）与１ｆ（ｘ）在ｆ（ｘ）≠０的区间里，单调性相反．（８）ｙ＝ｆ（ｕ），ｕ＝ｇ（ｘ）单调性相同，那么复合函数ｙ＝ｆ（ｇ（ｘ））是递增的；ｙ＝ｆ（ｕ），ｕ＝ｇ（ｘ）单调性相反，那么复合函数ｙ＝ｆ（ｇ（ｘ））是递减的．证明在这里只证明⑸的第一个性质，其它性质类似证明．若ｆ（ｘ）≥０且单调递增，ｇ（ｘ）≥０且单调递增．则对任意的ｘ１，ｘ２∈Ｄ，ｘ１＜ｘ２，有ｆ（ｘ１）≤ｆ（ｘ２）；ｇ（ｘ１）≤ｇ（ｘ２），因为ｆ（ｘ）≥０，ｇ（ｘ）≥０，所以０≤ｆ（ｘ１）ｇ（ｘ１）≤ｆ（ｘ２）ｇ（ｘ２），则ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）单调递增．若ｆ（ｘ）≥０且单调递减，ｇ（ｘ）≥０且单调递减．则对任意的ｘ１，ｘ２∈Ｄ，ｘ１＜ｘ２，有ｆ（ｘ１）≥ｆ（ｘ２）；ｇ（ｘ１）≥ｇ（ｘ２），因为ｆ（ｘ）≥０，ｇ（ｘ）≥０，所以０≤ｆ（ｘ２）ｇ（ｘ２）≤ｆ（ｘ１）ｇ（ｘ１），则ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）单调递减．三、导数在函数单调性中的应用观察发现，上述判断初等函数单调性的结论是有条件的，那对于那些不满足上述条件的初等函数，是不是就没法判断单调性了呢？在这里还有一件帮助我们求函数单调性的有力武器———导数的应用．如果函数在定义域上连续且可导，那么我们可以借助导数来判断其单调性．定理（１）、设ｆ（ｘ）在区间Ｄ上可导，则ｆ（ｘ）在Ｄ上递增（减）的充要条件是ｆ′（ｘ）≥０（≤０）．（２）设函数在区间Ｄ上可导，若ｆ′（ｘ）＞０（＜０），则ｆ（ｘ）在Ｄ上严格递增（减）．因此在利用导数求单调性时，可以先对原函数求导，令导数等于０，求出函数的驻点，再根据导函数在定义域各区间上的正负情况，判断函数的单调性．但值得注意的是，有时候驻点并不好求，或者无法用常规代数方法求得．对于这种导函数，我们要分析讨论定义域中是否存在导函数的零点，在这里可以利用介值定理判断．如果没有零点，说明定义域中的函数单调性相同，这时候可以用特殊点法求导数的正负，从而求得函数单调性．如果有零点，可以先设零点，再根据题目具体条件进一步求单调性．四、函数的单调性在高考题中运用根据前文对函数单调性的分析，下面看一下它在高考题中的应用．２０１１年北京高考第１８题的第（１）问是：已知函数ｆ（ｘ）＝（ｘ－ｋ）２ｅｘｋ，求ｆ（ｘ）的单调区间．我们做一个变形，使这个函数更具有一般性．如果令ｘ＝ｋ＋ｋｔ，则ｆ（ｘ）＝（ｘ－ｋ）２ｅｘ＝（ｋ＋ｋｔ－ｋ）２ｅｋ＋ｋｔ＝（ｋ２ｅ）ｔ２ｅｔ＝ｃｔ２ｅｔ；（其中常数ｃ＝ｋ２ｅ）更为一般地，考虑定义在实数Ｒ上的函数：ｇ（ｘ）＝ｘｎｅｘ；（ｎ＝２，３，…）令ｇ１（ｘ）＝ｘｎ；ｇ２＝ｅｘ，则ｇ（ｘ）＝ｇ１（ｘ）ｇ２（ｘ）；即ｇ（ｘ）为指数函数和幂函数的乘积．由前面的结论可知：当ｘ≥０时，ｇ１（ｘ）≥０单调递增，ｇ２（ｘ）≥０单调递增，所以ｇ（ｘ）＝ｘｎｅｘ单调递增；当ｘ＜０时，无法直接利用初等函数单调性来判断，但因为ｇ（ｘ）＝ｘｎｅｘ在Ｒ上连续且可导，所以我们可以利用导数．（下转第４１页）高考园地ｆ′（ｘ）＝ωｃｏｓωｘ，所以ωｃｏｓπω３＝０，解得πω３＝π２＋ｋπ，ω＝３２＋３ｋ，其中ｋ∈Ｚ，结合选项易得答案（Ｃ）．三、利用导数处理函数图像问题例５（２０１１年山东卷）函数ｙ＝ｘ２－２ｓｉｎｘ的图像大致是（）．（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）分析这是一道考查考生读图和识图能力的中等难度题目，作为一道选择题，解题时可从函数的一些性质，如单调性、对称性（奇偶性）、定义域与值域、定点等角度来排除选择．下面我们利用导数判断函数的单调性，并作图观察，从而直接得到答案．解ｙ′＝１２－２ｃｏｓｘ，当ｙ′＞０，即ｃｏｓｘ＜１４时，函数ｙ＝ｘ２－２ｓｉｎｘ单调递增；当ｙ′＜０，即ｃｏｓｘ＞１４时，函数ｙ＝ｘ２－２ｓｉｎｘ单调递减．在同一直角坐标系下作出函数ｙ＝ｃｏｓｘ和ｙ＝１４的图像（如图所示），对应该图容易选出正确答案（Ｃ）．通过对上述几个题目的分析，希望同学们对导数这个有利工具有一个新的认识！（责审王雷檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪）（上接第４３页）ｇ１′（ｘ）＝ｎｘｎ－１；ｇ２′＝ｅｘ＞０；ｇ′（ｘ）＝ｎｘｎ－１ｅｘ＋ｘｎｅｘ＝（ｎ＋ｘ）ｘｎ－１ｅｘ．分别令ｇ１′（ｘ）＝０，ｇ′（ｘ）＝０．可得ｇ１′（ｘ）的驻点：ｘ＝０；ｇ（ｘ）的驻点：ｘ１＝０；ｘ２＝－ｎ．分两种情况讨论：当ｎ为奇数时，ｘ１＝０不是ｇ１（ｘ）的极值点，也不是ｇ（ｘ）的极值点．此时ｇ１′（ｘ）≥０；ｘ２＝－ｎ是ｇ′（ｘ）的极小值点，此时ｇ１（ｘ），ｇ２（ｘ），ｇ（ｘ）的单调情况如下：ｇ１（ｘ）单调递增；ｇ２（ｘ）单调递增；当ｘ∈（－∞，－ｎ）时，ｇ（ｘ）单调递减；当ｘ∈［－ｎ，０）时，ｇ（ｘ）单调递增．当ｎ为偶数时，ｘ１＝０是ｇ１（ｘ）的极小值点，也是ｇ（ｘ）的极小值点．ｘ２＝－ｎ是ｇ′（ｘ）的极大值点，此时ｇ１（ｘ），ｇ２（ｘ），ｇ（ｘ）的单调情况如下：ｇ１（ｘ）单调递增；ｇ２（ｘ）单调递减；当ｘ∈（－∞，－ｎ）时，ｇ（ｘ）单调递增；当ｘ∈［－ｎ，０）时，ｇ（ｘ）单调递减．由此可知，当函数ｆ１（ｘ），ｆ２（ｘ）在区间上不满足初等函数单调性的结论时，则函数ｆ（ｘ）＝ｆ１（ｘ）ｆ２（ｘ）在此区间可能还有极值点．本文由浅入深地介绍了判断函数单调性的一些方法，我们做题时可以交叉使用，具体看哪种方法最简便．其中用定义求函数单调性是最根本的方法；用初等函数的结论求单调性，利用了基本初等函数经过运算后单调性的变化；利用导数求单调性，是导数在函数性质中的一个应用．至此，我们对函数的单调性有了更加清晰的认识，希望能对大家做此类题时有所帮助．（责审连四清）