制问题中的线性矩阵不等式及其求解

制问题中的线性矩阵不等式及其求解第2卷第4期1998年12月电机与控制学报ELECTRICMACHINESANDCONTROLVol.2No.4Dec.1998控制问题中的线性矩阵不等式及其求解3LMIsinControlProblemsandItsSolution王广雄林愈银谢冰(哈尔滨工业大学)WangGuangxiongLinYuyinXieBing(HarbinInstituteofTechnology)摘要介绍了有关线性矩阵不等式的一些基本概念。对用于求解线性矩阵不等式的MAT2LAB5.1中的线性矩阵不等式工具箱作了简要说明。为了说明线性矩阵不等式的求解过程。文中还给出了一个稳定性分析的例子。关键词线性矩阵不等式;LMI控制工具箱;决策向量分类号TP13;O231AbstractThispaperpresentssomebasicconceptsaboutLMIsincontrol,andgivesanintroductiontoMATLAB5.1/LMIControlToolbox,whichisusedtosolveLMIs.Inordertoillustratetheproce2dureofLMIssolving,anexampleisgiveninthispaper.Keywordslinearmatrixinequality;LMIControlToolbox;decisionvector收稿日期:1998-10-203国家高等学校博士学科点基金资助项目王广雄男1933年生,哈尔滨工业大学控制工程系教授、博士生导师。主要研究方向为H∞控制理论及应用,高精度伺服系统设计。1引言[1,2,3]随着控制技术的迅速发展,当今在反馈控制系统的设计中,常常需要考虑系统的不确定性,也即系统的鲁棒性。在处理不确定性系统的许多鲁棒控制问题及其控制系统理论中引起的许多其它控制问题时,都可转化成一种称为线性矩阵不等式或带有线性矩阵不等式限制条件的最优化问题。线性矩阵不等式以及线性矩阵不等式方法(技术)已是控制工程、系统辨识、结构设计等领域的一个强有力的设计工具。用线性矩阵不等式技术来求解控制问题,是目前和今后控制理论发展的一个重要方向。2线性矩阵不等式问题[1,4]在控制工程中,许多控制问题尤其是鲁棒控制问题,都可转化成一种称为线性矩阵不等式问题或带有线性矩阵不等式限制条件的简单的最优化问题的求解。线性矩阵不等式的一般形如下L(X)=x1A1+x2A2+…+xnAn+A0≤0(1)或L(X)≤0(2)其中,L(X)依靠于给定的对称矩阵A0,A1,…,An和决策向量x∈Rn,x=(x1,x2,…,xn)。这里,≤0代表负半定。通常把线性矩阵不等式写成式(2)而不写成式(1),在式(2)中矩阵为量X是一个对称矩阵即:X=XT。X的上三角矩阵中的元素和决策向量x中的元素一一对应。当有多个具有形如式(2)的线性矩阵不等式的限制条件时,可用下面定义的单一线性矩阵不等式L(X)≤0来表示,即L(X)=Blockdiag(L1(X),…,Lm(X))≤0(3)式中,Blockdiag(L1(X),…,Lm(X))是一个方块对角矩阵,L1(X),…,Lm(X)在它的对角线上。这样,控制问题就转化成求满足式(2)或者式(3)的决策向量x。在控制理论中,经常遇到的两种矩阵不等式为:a1李亚普诺夫(Lyapunov)不等式ATX+XA+Q≤0X=XT∈Rn×n(4)b1李卡第(Riccati)不等式ATX+XA+XBTBX+Q≤0X=XT∈Rn×n(5)显然,式(4)是线性矩阵不等式,式(5)由于含有二次项XBTBX,故此式是二次矩阵不等式而不是线性矩阵不等式,但利用Schur定理,可很容易将其变成线性矩阵不等式,即ATX+XA+QBTXXB-I还给≤0(6)在上述两种线性矩阵不等式中,对称矩阵X中的n(n+1)/2个未知的自由项(元素)构成了决策向量x,即x=(x11,…x1n,x22,…,x2n,…,xnn)。线性矩阵不等式的求解一般可归结为下列三类问题:a1可行性问题求x∈RP使得L(x)≤0(7)b1具有线性矩阵不等式限制条件的线性规划问题mincTx满足于L(x)≤0(8)c1具有线性矩阵不等式限制条件的广义特征值最小化问题minλ满足于C(x)≥0B(x)0A(x)≤λB(x)控(9)在控制理论中,大多数控制问题都可以转化成上述三种线性矩阵不等式问题中的一种。3LMI控制工具箱简要介绍[4]在60年代,已经提出了线性矩阵不等式,但由于求解形如式(7)～(9)所描述的线性矩阵不等式的算法还不够成熟。再加上求解量大,因而线性矩阵不等式在实际中未得到充分应用。近几年来,由于线性矩阵不等式的理论不断完善,求解算法也不断成熟,加上计算机的广泛应用,线性矩阵不等式的求解变得很方便,因此线性矩阵不等式在实际工程中尤其在控制工程理论中得到广泛的应用。由于用线性矩阵不等式求解控制理论中的问题是当今控制理论发展的一个重要方向,因此出现了许多计算机应用软件,其中以美国MathsWorks.Inc公司用C语言开发的MATLAB软件最为流行;到目前为止,已经推出了MATLAB5.1版本。在这个版本中,增加了用于求解线性矩阵不等式的线性矩阵不等式控制工具箱。线性矩阵不等式控制工具箱提供了在鲁棒控制设计中所遇到的凸最优化问题的解,同时给出了一个用于求解线性矩阵不等式的集成环境。由于这个工具箱功能强大和友好的用户界面,因此可以开发自己的应用程序。对于第2节中提到的三个一般问题的求解,线性矩阵不等式控制工具箱提供了与之对应的三个求解函数:feasp(),mincx()以及gevp()函数。此外,该工具箱可用于:①多目标控制器综合。包括LQG综合,H∞综合和极点配置综合;②系统鲁棒性的分析和测试,包括检测时变线性系统的二次稳定性,带有参数的李亚普诺夫稳定性,混合的μ分析以及带有非线性成分的Popov准则;③系统的辨识、滤波、结构设计、图形理论、线性代数以及加权值问题等方面。同时,还提供了两个交互的图形用户界面(GUI):LMI编辑器和Magshape界面。初学者可以在LMI编辑器中很方便地描述线性矩阵不等式。4用线性矩阵不等式求解控制问题的实例[1]在控制工程理论中,大多数控制问题都可以转化成线性矩阵不等式问题,而后,可应用线性矩阵不等式控制工具箱中的命令和函数来求解这些线性矩阵不等式。下面本文用线性矩阵不等式方法来求解控制理论中的一个重要问题即控制系统的稳定性问题。首先,推导判别控制系统稳定性的线性矩阵不等式条件。假如,给定一个线性离散时间系统的系数矩阵A,当且仅当ρ(A)ρ(A)]?P:σ(PAP21)]?P:PAP-1(PAP21)21-I]?P:A(PTP)21AT-(PTP)21]?X:X=XT0,AXAT-X已知线性离散时间系统的系数矩阵A,若存在矩阵X=XT0,使线性矩阵不等式AXAT-X291电机与控制学报第2卷系统的稳定性。例题:给定离散时间系统的开环z传递函数为Gk(z)=5z5+4z4+z3+0.6z2+3z+0.5z5判别单位负反馈闭环系统的稳定性。根据上述线性矩阵不等式条件,若闭环系统要稳定,则必存在一个矩阵X=XT0,使线性矩阵不等式AXAT-Xnum=[5,4,1,0,6,3,0.5];%闭环系统的传递函数描述den=[6,4,1,0,6,3,0.5];[A,b,c,d]=tf2ss(num,den);%闭环系统的状态空间描述setlmis([]);%建立一个新的LMIx=lmivar(1,[51];%定义矩阵变量X=XT,其维数为5lyy=newlmi;%给LMI起名为LYY1miterm([lyy11x],A,A′);%LMI项:AXAT1miterm([lyy11x],-1,1);%LMI项:-X1misys=getlmis;[tmin,xfeas]=feasp(1misys);%计算可行性向量:xfeasxf=dec2mat(1misys,xfeas,x);%返回相应的矩阵变量X及其特征值eig(xf);A;%返回系数矩阵A及其特征值eig(A);计算结果:矩阵变量X及其特征值如下:X=110e+0083210284-111582021936012419118158-111582215652-111582021936012419012936-111582311000-111582021936012419012936-111582316358-111582-118158012419012936-111582411716eig(X)=110e+0083116582213503015447419673519794上述的计算结果表明,可找到一个对称的正定矩阵X使线性矩阵不等式AXAT-X在计算结果中,同时还给出了闭环系统的系数矩阵A及其特征值:A=-016667-011667-011000-015000-0108331100000000011000000000110000000001100000eig(A)=-011717-017133+015552i-017133-015552i014659+016139i014659-016139i系统矩阵A的特征值均在z平面的单位圆内,系统稳定,与上述用线性矩阵不等式条件判断结果一致。5结论本文对线性矩阵不等式和线性矩阵不等式问题作了简要描述,对线性矩阵不等式控制工具箱的功能作了简要说明;并利用MATLAB511软件中的线性矩阵不等式控制工具箱,结合系统稳定的线性矩阵不等式条件,给出了一个离散时间系统的稳定性分析的例子。在当今控制系统的设计中,控制问题变得越来越复杂,常常带有许多限制或者附加条件,这些一般都可转化成线性矩阵不等式条件,这样就可用基于线性矩阵不等式的设计方法来处理。线性矩阵不等式的描述以及求解程序是比较简单的,求解时间很短。因此,基于线性矩阵不等式的设计方法今后会有很大的发展和应用。参考文献1DoyleJ,PackardA,ZhouKM.ReviewofLFTs,LMIs,andμIEEECDC,1991:1227～12322CahinetP.ExplictcontrollerformulasforLMI-basedH∞synthesis,Automatica,1996,32(7):1007～10143IwasakiT,SkeltonRE.AllcontrollersforthegeneralH∞controlproblem;LMIexistanceconditionsandstatespacefor2mulas.Automatica,1994,30(8):1307～13174GahinetP,NermirovskiA.General-purposeLMIsolverswithbenchmarks.IEEECDC,1993:3162～3165391第2期控制问题中的线性矩阵不等式及其求解