平面曲线的弧长与曲率

平面曲线的弧长与曲率§3平面曲线的弧长与曲率一、平面曲线的弧长1、平面曲线的弧长的概念一条线段的长度可直接度量，但一条曲线段的“长度”一般却不能直接度量，因此需用不同的方法来求.定义曲线弧长的基本思想是局部以直代曲,即用内接折线总长的极限定义弧长.定义1可求长曲线设平面曲线C由参数方程()()xxtyyt=??=?（tαβ≤≤）给出，设01{,,,}nPttt=是[,αβ]的一个划分[0,nttαβ==]，即01ntttαβ=111((),())Mxtyt=，…，((),())nnnMxtyt=。从端点0M开始用线段一次连接这些分点0M，1M，…，nM得到曲线的一条内接折线，用1iiMM-来表示1iiMM-的长度，则内接折线总长度为111nnniiiiSMM-====∑曲线C的弧长S定义为内接折线的总长在max0ipt=→时的极限：1011limlimnniippiiSMM-→→====∑如果S存在且为有限，则称C为可求长曲线。定义2设曲线C：()()xxtyyt=??=?（tαβ≤≤），且()xt，()yt在[,αβ]上连续可微，且导数()xt'，()yt'在[,αβ]上不同时为0（曲线C在[,αβ]无自交点），则曲线C称为光滑曲线.2、弧长公式定理10.1设曲线C为如上的光滑曲线，则曲线C是可求长的，且弧长S为：Sββαα==??注：利用微元法推导公式注：其它形式的弧长公式（1）设()yyx=在[a,b]上可微且导数()yx'可积，则曲线()yyx=（a≤x≤b）的弧长S为：aS=?（2）若曲线极坐标方程()rrθ=，αθβ≤≤，则当()rθ在[,αβ]上可微，且()rθ'可积时，Sβαθ=?（3）空间曲线()()()xxtyytzzt=??=??=?（tαβ≤≤），弧长S为Sβα=?其中x(t)，y(t)，z(t)在[,αβ]上可微，导数()xt'，()yt'，()zt'在[,αβ]上可积且曲线C在[,αβ]上无自交点。补例1求圆周cosxRt=，sinyRt=，02tπ≤≤的弧长S。补例2求抛物线212yx=，01x≤≤的弧长S。例3、求椭圆22221xyab+=（ba0）的弧长S。3、弧长的微分设C：()()xxtyyt=??=?（tαβ≤≤）是光滑曲线（()xt'，()yt'在[,αβ]连续且2()xt'＋2()0yt'≠）；且无自交点。若把公式中的积分上限β改为t，就得到曲线C，由端点0M到动点((),())Mxtyt的一段弧长。tSα=?由上限函数的可微性知()St'存在，()dStdSdt==二、平面曲线的曲率1、曲率的概念曲线的弯曲程度不仅与其切线方形的变化角度??的大小有关，而且还与所考察的曲线的弧长S?有关，并且曲率与?成正比，与S成反比。即一般曲线的弯曲程度可用kS??=?，其中k：曲线段AB的平均变化率；??：曲线段AB上切线方向的角度；S?：曲线段AB的弧长。例1、半径为R的圆：1kSSRR?ααα???====????。对于一般的曲线，如何刻画它在一点处的弯曲程度呢？0limskS?→?=?，称为曲线在A点的曲率，即0limsdkdSS??→?==?2、曲率的计算记()yyx=二阶可微，则在点x处的曲率为：因为tgy?'=，arctgy?'=，所以2211dyyddxdxyy??''''=?=''++，又因为dS=所以()3/221dykdSy?''=='+例1、求212yx=在任一点的曲率。3、曲率圆和曲率半径过点（x，y(x)）且与y＝y（x）在该点有相同的一阶及二阶导数的圆222()()xaybR-+-=称为曲率圆。曲率圆的中心和半径分别称为曲率中心和曲率半径。如何求曲线上一点（x，y(x)）处的曲率圆呢？因为1Rk=，()3/221yky''='+，则（a,b）在过（x，y(x)）的法线上：1()()()YyxXxyx-=--'。例1、求212yx=在点（0,0）的曲率圆方程？作业P252：1（1）、（3）、（5）§4旋转曲面的面积一、微元法提前在§1讲授二、旋转曲面的面积用微元法推出旋转曲面的面积公式：设y＝y(x)于[a,b]上非负，且连续可微，该曲线绕x轴旋转后所得的旋转面的侧面积：2baSπ=?曲线方程为],[,)(baxxfy∈=时，?'+=?badxxfxf)(1)(2S2π；曲线方程为],[,)(,)(βαχ∈==ttyytx时，?'+'=?βαχπdttytxy)()()(2S22.例1求半径为r的球带的面积S.例2作业P255：1（2）、（4），3（1）