经济数学1.5函数的连续性

一.函数连续的概念ESC§1.5函数的连续性二.初等函数的连续性§1.5函数的连续性三.函数的间断点ESC一.函数连续的概念在现实生活中有许多的量都是连续变化的，例如气温的变化，植物的生长，物体运动的路程等．这些现象反映在数学上就是函数的连续性．它是与函数极限密切相关的另一个基本概念．首先引入增量(改变量)的定义．ESC对函数,若自变量由改变到,自变量实际改变了,这时,函数值相应地由改变到,若记为函数相应的改变量,则)(xf0x)(0xfxx0x)(0xxfy).()(00xfxxfy改变量的定义ya1xb0x0Mxx0Mxox)(xfy)(0xf)(0xxfyx一.函数连续的概念ESC连续的直观理解某人爬山.在图中的蓝色山体部分,该人沿山体向前挪动一小步,他在水平方向前进了,在垂直方向上升了,显然当时,有这时,我们说该蓝色山体是连续的.xy0x.0y而在点,该人若在水平方向前进很微小的一点,垂直方向就要上升很多,即当时,不会有这时,我们说该山体在处不连续.0P0x.0y0P0P一.函数连续的概念ESCya1xb0x0Mxx0Mxox)(xfy)(0xf)(0xxfyx由图可看出,在处,当很微小时,也很微小.xy0x对函数:)(xfy特别当时,也有.这就是函数在点处连续的实质.0x0y)(xfy0x在处,曲线断开,作为曲线上的点的横坐标从左侧近旁变到右侧近旁时,曲线上的点的纵坐标呈现跳跃,即在处,当自变量有微小改变时,相应的函数值有显著改变.1xx1xy1xy一.函数连续的概念ESC函数在一点连续的定义,0)]()([limlim0000xfxxfyxx设函数在点及其左右邻近有定义,若)(xf0x则称函数在点处连续,称为该函数的连续点.)(xfy0x0x若记,0xxx则.00xxx于是上式等价于00lim()().xxfxfx(1)函数在点及其左右邻近有定义；)(xf0x(2)极限存在；)(lim0xfxx(3)极限的值等于该点的函数值)(lim0xfxx).(0xf函数在一点连续的三个条件:一.函数连续的概念(定义1.8)(定义1.9)ESC一.函数连续的概念定义1.8与的定义1.9可以互相推出，因此它们是等价的．也就是说，在使用时，可以根据情况任选其一．由定义1.9可以得出下面的结论:1．若函数在点处连续，则在点处的极限一定存在；反之，若在点处的极限存在，则函数在点处不一定连续．0x)(xf)(xfy0x)(xf0x)(xf0xESC一.函数连续的概念2．若函数在点处连续，在求时的极限，只需求出在点处的函数值即可．)(xfy0x0xx)(xf0x)(0xf3．当函数在点处连续时,有)(xfy0xxfxfxfxxxx00limlim0.这个等式的成立意味着在函数连续的前提下，极限符号与函数符号可以互相交换，这一结论给我们求极限带来很大方便．ESC一.函数连续的概念例如求．xxcoslim0解．10cos)limcos(coslim00xxxxESC一.函数连续的概念例1用定义证明在给定点处连续．352xy0x证)()(00xfxxfy)35(]3)(5[2020xxx20)(510xxx，0])(510[limlim2000xxxyxx，所以在给定点处连续．352xy0xESC一.函数连续的概念例2用定义证明在点处连续．xysin0x证00sin)sin(xxxy，22cos2sin20xxx因为，122cos0xx，所以222sin2xxy，于是当时，．由的任意性可知，在上连续．类似地，可以证明在上连续．0x0y0xxysinxycos),(),(ESC一.函数连续的概念若函数当时极限存在且等于，即)(xu0u0xx而函数在点连续，则复合函数当时的极限也存在，且)(ufy0u)]([xfy0xx)()](lim[)]([lim000ufxfxfxxxxESC一.函数连续的概念xxxxxx100)1ln(lim)1ln(lim．1eln])1(limln[10xxx解因为，且在点连续，则e)1(lim10xxxuylneu例3求．xxx)1ln(lim0ESC左连续由函数在点左极限与右极限的定义)(xf0x可以得到函数在点左连续与右连续的定义:)(xf0x若,则称函数在点处左连续.)()(lim00xfxfxx)(xf0x右连续若,则称函数在点处右连续.)()(lim00xfxfxx)(xf0x).(lim)()(lim)()(lim00000xfxfxfxfxfxxxxxx函数在点处连续的)(xf0x充分必要条件即是:函数在点处)(xf0x既左连续又右连续.一.函数连续的概念ESC例4设函数讨论在处的连续性..30,1,02,1)(xxxxxf)(xf0x解这是分段函数,是其分段点.因,又0x1)0(f,1)1(lim)(lim00xxfxx,1)1(lim)(lim00xxfxx所以函数在处右连续,但不左连续,从而它在不连续．0x0x一.函数连续的概念ESC函数在区间上连续:若函数在区间上每一点都连续,则称函数在上连续,或称为上的连续函数.)(xfI)(xfII)(xf初等函数在其有定义的区间内都是连续的．结论函数在闭区间上连续:函数在闭区间上连续是指：函数在开区间上连续;且在端点处右连续,在端点处左连续,即有:)(xf],[ba)(xf),(baab).()(lim)()(limbfxfafxfbxax，二.初等函数的连续性ESC二.初等函数连续性初等函数在其有定义的区间内都是连续的．结论根据这一结论,求初等函数在其定义区间内某点的极限时,只要求出该点的函数值即可.0x)1ln(4lim120xexxx例如,求初等函数在处有定义0x.44)01ln(041102eee由初等函数的连续性ESC三.函数的间断点定义1.10如果函数在点不连续，则称为的一个间断点．)(xfy0x0x)(xf如果在点处有下列三种情况之一，则点是的一个间断点．)(xf0x0x)(xf0x)(xf(1)在点处，没有定义；)(lim0xfxx(2)不存在；(3)虽然存在，但)(lim0xfxx)()(lim00xfxfxx．ESC三.函数的间断点例5考察函数在点处的连续性．11)(xxfy1x解因为在没有定义，11)(xxf1x所以是的一个间断点．1x11)(xxf11lim1xx，又因为所以点称为的无穷间断点．1x)(xfESC三.函数的间断点例6考察函数0,10,00,1)(xxxxxxfy，，，在点处的连续性．0xESC三.函数的间断点1)1(lim)(lim00xxfxx，解1)1(lim)(lim00xxfxx，即在处左、右极限不相等，由极限存在的充要条件可知，在处极限不存在．所以是的一个跳跃间断点．)(xf0x)(xf0x0x)(xfESC三.函数的间断点例7考察函数2,42,24)(2xxxxxfy，，在点处的连续性．2xESC三.函数的间断点解4)2(lim24lim)(lim2222xxxxfxxx．但是，)2()(lim2fxfx所以是的一个间断点，称为可去间断点．2x)(xfESC三.函数的间断点例8已知函数0,20,1)(2xbxxxxf，，在点处连续，求的值．0xb解1)1(lim)(lim200xxfxx，bbxxfxx)2(lim)(lim00，因为在处连续，则存在，等价于)(xf0x)(lim0xfx)(lim)(lim00xfxfxx，即．1bESC内容小结本节重点讲解了一、函数在一点连续的定义00lim()().xxfxfx二、左连续右连续的定义).(lim)()(lim)()(lim00000xfxfxfxfxfxxxxxx三、初等函数的连续性四、函数的间断点关键1.可去间断点.2.跳跃间断点.3.无穷间断点充要条件ESC课堂练习1.函数在处连续吗?1sin,0()0,0xxfxxx0x2.讨论函数在处的连续性?sin20()2010xxxfxxxex0x3.求函数的连续区间和间断点.21()32xfxxx4.设求的间断点,并指出其类型.210()10xxfxxx()fxESC课堂练习5.如何修改的定义域，使函数在点处连续？ln(1)0()00110xxxfxxxxxx≤-1()fx0x6.设函数ln(1)0(xxxaxfx）=0在处连续，求的值。0xaESC布置作业P19习题1.31（2）（4）（5）2.3.