三角学的起源与发展

三角学的起源与发展壹、三角學的起源與發展三角學之英文名稱Trigonometry，約定名於西元1600年，實際導源於希臘文trigono(三角)和metrein(測量)，其原義為三角形測量（解法），以研究平面三角形和球面三角形的邊和角的關係為基礎，達到測量上的應用為目的的一門學科。早期的三角學是天文學的一部份，後來研究範圍逐漸擴大，變成以三角函數為主要對象的學科。現在，三角學的研究範圍已不僅限於三角形，且為數理分析之基礎，研究實用科學所必需之工具。(一)西方的發展三角學﹝Trigonometry﹞創始於西元前約150年，早在公元前300年，古代埃及人已有了一定的三角學知識，主要用於測量。例如建築金字塔、整理尼羅河泛濫後的耕地、通商航海和觀測天象等。公元前600年左右古希臘學者泰勒斯(p13)利用相似三角形的原理測出金字塔的高，成為西方三角測量的肇始。公元前2世紀後希臘天文學家希帕霍斯（HipparchusofNicaea）為了天文觀測的需要，作了一個和現在三角函數表相仿的「弦表」，即在固定的圓內，不同圓心角所對弦長的表，他成為西方三角學的最早奠基者，這個成就使他贏得了「三角學之父」的稱謂。公元2世紀，希臘天文學家數學家托勒密(Ptolemy)(85-165)繼承希帕霍斯的成就，加以整理發揮，著成《天文學大成》13卷，包括從0°到90°每隔半度的弦表及若干等價於三角函數性質的關係式，被認為是西方第一本系統論述三角學理論的著作。約同時代的梅內勞斯（Menelaus）寫了一本專門論述球三角學的著作《球面學》，內容包球面三角形的基本概念和許多平面三角形定理在球面上的推廣，以及球面三角形許多獨特性質。他的工作使希臘三角學達到全盛時期。(二)中國的發展我國古代沒有出現角的函數概念，只用勾股定理解決了一些三角學範圍內的實際問題。據《周髀算經》記載，約與泰勒斯同時代的陳子已利用勾股定理測量太陽的高度，其方法後來稱為「重差術」。1631西方三角學首次輸入，以德國傳教士鄧玉函、湯若望和我國學者徐光啟(p20)合編的《大測》為代表。同年徐光啟等人還編寫了《測量全義》，其中有平面三角和球面三角的論述。1653年薛風祚與波蘭傳教士穆尼閣合編《三角算法》，以「三角」取代「大測」，確立了「三角」名稱。1877年華蘅煦等人對三角級數展開式等問題有過獨立的探討。現代的三角學主要研究角的特殊函數及其在科學技術中的應用，如幾何計算等，多發展於20世紀中。貳、三角函數的演進正弦函數、餘弦函數、正切函數、餘切函數、正割函數、餘割函數統稱為三角函數（Trigonometricfunction）。儘管三角知識起源於遠古，但是用線段的比來定義三角函數，是歐拉(p16)（1707-1783）在《無窮小分析引論》一書中首次給出的。在歐拉之前，研究三角函數大都在一個確定半徑的圓內進行的。如古希臘的托勒密定半徑為60；印度人阿耶波多（約476-550）定半徑為3438；德國數學家里基奧蒙特納斯（1436-1476）為了精密地計算三角函數值曾定半徑600,000；後來為製訂更精密的正弦表又定半徑為107。因此，當時的三角函數實際上是定圓內的一些線段的長。意大利數學家利提克斯（1514-1574）改變了前人的做法，即過去一般稱AB為的正弦，把正弦與圓牢牢地連結在一起（如下頁圖），而利提克斯卻把它稱為∠AOB的正弦，從而使正弦值直接與角掛勾，而使圓O成為從屬地位了。到歐拉(Euler)時，才令圓的半徑為1，即置角於單位圓之中，從而使三角函數定義為相應的線段與圓半徑之比。1.正弦、餘弦正弦定理是由伊朗著名的天文學家阿布爾.威發(940-998)首先發現與証明的。中亞細亞人阿爾比魯尼﹝973-1048﹞(p15)給三角形的正弦定理作出了一個証明。也有說正弦定理的証明是13世紀的那希爾丁在《論完全四邊形》中第一次把三角學作為獨立的學科進行論述，首次清楚地論証了正弦定理。他還指出，由球面三角形的三個角，可以求得它的三個邊，或由三邊去求三個角。這是區別球面三角與平面三角的重要標誌。至此三角學開始脫離天文學，走上獨立發展的道路。托勒密（ClaudiusPtolemy）的《天文學大成》第一卷除了一些初級的天文學資料之外，還包括了上面講的弦表：它給出一個圓從（21）°到180°每隔半度的所有圓心角所對的弦的長度。圓的半徑被分為60等分，弦長以每一等分為單位，以六十進位制表達。這樣，以符號crda表示圓心角ａ所對的弦長，例如crd36°=37p4'55，意思是：36°圓心角的弦等於半徑的6037（或37個小部分），加上一個小部分的604，再加上一個小部分的360055，從下圖看出，弦表等價於正弦函數表，因為0A公元6世紀初，印度數學家阿耶波多製作了一個第一象限內間隔3°45'的正弦表，依照巴比倫人和希臘人的習慣，將圓周分為360度，每度為60分，整個圓周為21600份，然後據2πr=216000，得出r=3438﹝近似值﹞，然後用勾股定理先算出30°、45°、90°的正弦之後，再用半角公式算出較小角的正弦值，從而獲得每隔3°45'的正弦長表；其中用同一單位度量半徑和圓周，孕育著最早的弧度制概念。他在計算正弦值的時候，取圓心角所對弧的半弦長，比起希臘人取全弦長更近於現代正弦概念。印度人還用到正矢和餘弦，並給出一些三角函數的近似分數式。2.正切、餘切著名的敘利亞天文學、數學家阿爾一巴坦尼﹝850-929﹞於920年左右，製成了自0°到90°相隔1°的餘切[cotangent]表。公元727年，僧一行受唐玄宗之命撰成《大行曆》。為了求得全國任何一地方一年中各節氣的日影長度，一行編出了太陽天頂距和八尺之竿的日影長度對應表，而太陽天頂距和日影長度的關係即為正切﹝tangent﹞函數。而巴坦尼編製的是餘切函數表，而太陽高度﹝角﹞和太陽天頂距﹝角﹞互為餘角，這樣兩人的發現實際上是一回事，但巴坦尼比一行要晚近200年。14世紀中葉，中亞細亞的阿魯伯﹝1393-1449﹞，原是成吉思汗的後裔，他組織了大規模的天文觀測和數學用表的計算。他的正弦表精確到小數9位。他還製造了30°到45°之間相隔為1'，45°到90°的相隔為5'的正切表。在歐洲，英國數學家、坎特伯雷大主教布拉瓦丁﹝1290？-1349﹞首先把正切、餘切引入他的三角計算之中。3.正割、餘割正割﹝secant﹞及餘割﹝cosecant﹞這兩個概念由阿布爾─威發首先引入。sec這個略號是1626年荷蘭數基拉德﹝1595-1630﹞在他的《三角學》中首先使用，後經歐拉採用才得以通行。正割、餘割函數的現代定義亦是由歐拉給出的。歐洲的「文藝復興時期」，﹝14世紀-16世紀﹞偉大的天文學家哥白尼﹝1473-1543﹞提倡地動學說，他的學生利提克斯見到當時天文觀測日益精密，認為推算更精確的三角函數值表刻不容緩。於是他定圓的半徑為1015，以製作每隔10的正弦、正切及正割值表。當時還沒有對數，更沒有計算機。全靠筆算，任務十分繁重。利提克斯和他的助手們以堅毅不拔的意志，勤奮工作達12年之久，遺憾的是，他生前沒能完成這項工作，直到1596年，才由他的學生鄂圖﹝1550-1605﹞完成並公佈於世，1613年海得堡的彼提克斯﹝1561-1613﹞又修訂了利提克斯的三角函數表，重新再版。後來英國數學家納皮爾發現了對數，這就大大地簡化了三角計算，為進一步造出更精確的三角函數表創造了條件。4.三角函數符號毛羅利科早於1558年已採用三角函數符號，但當時並無函數概念，於是只稱作三角線（trigonometriclines）。他以sinus1marcus表示正弦，以sinus2marcus表示餘弦。而首個真正使用簡化符號表示三角線的人是T.芬克。他於1583年創立以“tangent”（正切）及“secant”（正割）表示相應之概念，其後他分別以符號“sin.”,“tan.”,“sec.”,“sin.com”,“tan.com”,“sec.com”表示正弦，正切，正割，餘弦，餘切，餘割，首三個符號與現代之符號相同。後來的符號多有變化，下列的表便顯示了它們之發展變化。T.cpl1729年，丹尼爾．伯努利是先以符號表示反三角函數，如以AS表示反正弦。1736年歐拉以At表示反正切，一年後又以Asincb表示於單位圓上正弦值相等於bc的弧。1772年，C．申費爾以arc.tang.表示反正切；同年，拉格朗日採以α+11sin.arc表示反正弦函數。1776年，蘭伯特則以arc.sin表示同樣意思。1794年，鮑利以Arc.sin表示反正弦函數。其後這些記法逐漸得到普及，去掉符號中之小點，便成現今通用之符號，如arcsinx，arccosx等。於三角函數前加arc表示反三角函數，而有時則改以於三角函數前加大寫字母開頭Arc，以表示反三角函數之主值。另一較常用之反三角函數符號如sin-1x，tan-1x等，是赫謝爾於1813年開始採用的，把反三角函數符號與反函數符號統一起來，至今亦有應用。參、三角函數的和差化積公式下列公式稱為三角函數的和差化積公式。法國著名數學家韋達﹝1540-1603﹞(p18)在他的著名的三角學著作《標準數學》中收集並整理了有關三角公式並給予補充，其中就有他給出的恒等式:【後記】三角函數名稱的由來和補充想知道為何三角函數要叫做sin，cos這些名字嗎？經過了多方的查取資料，找到了下圖：上面這個圖稱為三角圓（半徑＝1），是用圖形的方式表達各函數。其中我們可以看到，sinθ為PM線段，也就是圓中一條弦（對2θ圓周角）的一半，所以稱為「正弦」。而cosθ是OM線段，但OM＝NP，故我們也可以將cosθ視為NOP（90°-θ）的正弦值，也就是θ的餘角的正弦值，故稱之為「餘弦」。其餘類推。另外，除了課本中教的六種三角函數外，我們還查到了其他的三角函數，如上圖中的versθ、coversθ和exsecθ。事實上，在歷史上曾出現過的三角函數種類超過十種呢！但最後只剩下這六種常用的。其他的還有如半正矢（havθ）、古德曼函數和反古德曼函數等。【補充：小歷史】大部分的三角函數一開始都是由於天文上的需要而造出來的。在三角函數傳入中國時，正、餘矢函數還未廢棄，故徐光啟將八種三角函數稱為「八線」。後來因為矢類函數廢棄不用，故八線之名漸被「三角」取代，但統一的名稱還是到了民國以後才確立的。參考資料：1.梁宗巨（1995），《數學歷史典故》(九章出版社)2.王懷權《幾何發展史》(凡異出版社)參考網站：1./泰勒斯﹝TalesofMiletus﹞約公元前625-前547，古希臘古希臘哲學家、自然科學家。生於小亞細亞西南海岸米利都，早年是商人，曾遊歷巴比倫、埃及等地。泰勒斯是希臘最早的哲學學派──伊奧尼亞學派的創始人，他幾乎涉獵了當時人類的全部思想和活動領域，被尊為『希臘七賢』之首。而他更是以數學上的發現而出名的第一人。他認為處處有生命和運動，並以水為萬物的本源。泰勒斯在數學方面的劃時代貢獻是開始引入了命題證明的思想，它標誌著人們對客觀事物的認識從經驗上升到理論。這在數學史上是一次不尋常的飛躍，其重要意義在於：1.保證命題的正確性，使理論立於不敗之地；2.揭露各定理之間的內在聯繫，使數學構成一個嚴密的體系，為進一步發展打下基礎；3.使數學命題具有充份的說服力，令人深信不疑。數學自此從具體的、實驗的階段過渡到抽象的、理論的階段，逐漸形成一門獨立的、演譯的科學。證明命題是希臘幾何學的基本精神，而泰勒斯是希臘幾何學的先驅。在幾何學中，下列的基本成果歸功於他：1.圓被任一直徑所平分；2.等腰三角形的兩底角相等；3.兩條直線相交，對頂角相等；4.已知三角形兩角和夾邊，三角形即已確定；5.對半圓的圓周角是直角；6.相似三角形對應邊成比例等等。泰勒斯在埃及時還曾利用日影及比例關係算出金字塔的高，說明相似形已有初步認識。在天文學中他曾精確地預測了公元前585年5月28日發生的日食，還可能寫過《航海天文學》一書，並已知按春分、夏至、秋分、冬至劃分四季是不等長的。阿爾-比魯尼al-Biruni﹝973-1050﹞比魯尼